2013年四川省自贡市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‘1．（5分）（2013•自贡一模）的值为（ ） A．B．C．D．考点：二倍角的正弦．专题：计算题．分析：把所求的式子提取后，利用二倍角的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，即可求出值．解答：解：=×2=sin=．故选B点评：此题考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式，特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．2．（5分）（2013•自贡一模）复数的虚部是（ ） A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用复数的代数形式的乘除运算，得到=+i，再由复数的概念能求出复数的虚部．解答：解：===+i，∴复数的虚部是．故选B．点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 3．（5分）（2013•自贡一模）集合M={x||x﹣3|＜4}，N={x|x2+x﹣2＜0，x∈Z}，则M∩N（ ）16\n A．{0}B．{2}C．∅D．{x|2≤x≤7}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：解绝对值不等式求出集合M，解二次不等式求出集合N，利用交集是定义求出M∩N即可．解答：解：因为|x﹣3|＜4，所以﹣1＜x＜7，所以M={x|﹣1＜x＜7}；因为x2+x﹣2＜0，所以﹣2＜x＜1，所以N={x|x2+x﹣2＜0，x∈Z}={﹣1，0}；则M∩N={x|﹣1＜x＜7}∩{﹣1，0}={0}．故选A．点评：本题考查不等式的解法，求集合的交集的运算，注意集合中元素的限制条件，否则容易出错，是高考常会考的题型． 4．（5分）（2013•成都模拟）已知平面向量，满足，与的夹角为60°，则“m=1”是“”的（ ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：证明题．分析：由已知中平面向量，满足，与的夹角为60°，分别判断“m=1”⇒“”与“”⇒“m=1”的真假，根据充要条件的定义即可得到结论．解答：解：∵向量，满足，与的夹角为60°，∴=1，•=1当m=1时，==﹣•=0故当时，﹣m•=1﹣m=0，故m=1故“m=1”是“”的充要条件故选C点评：本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断，数量积判断两个平面向量的垂直关系，其中根据已知条件判断“m=1”⇒“16\n”与“”⇒“m=1”的真假，是解答本题的关键． 5．（5分）（2013•自贡一模）已知对数函数f（x）=logax是增函数，则函数f（|x|+1）的图象大致是（ ） A．B．C．D．考点：对数函数的图像与性质；函数的图象与图象变化．专题：数形结合．分析：先导出再由函数f（x）=logax是增函数知，a＞1．再由对数函数的图象进行判断．解答：解：由函数f（x）=logax是增函数知，a＞1．故选B．点评：本小题主要考查了对数函数的图象与性质，以及分析问题和解决问题的能力．这类试题经常出现，要高度重视． 6．（5分）（2013•自贡一模）要得到函数的图象，可以将函数y=3sin2x的图象（ ） A．沿x轴向左平移单位B．沿x轴向右平移单位 C．沿x轴向左平移单位D．沿x轴向右平移单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：利用三角函数的恒等变换化简函数y的解析式为3sin[2（x+）]，将函数y=3sin2x的图象沿x轴向左平移单位可得y=3sin[2（x+）]的图象．解答：解：∵函数=3sin[﹣2x+]=3sin（﹣2x）=﹣3sin（2x﹣）=3sin（2x﹣+π）=3sin（2x+）=3sin[2（x+）]，将函数y=3sin2x的图象沿x轴向左平移单位可得y=3sin[2（x+]的图象，16\n故选A．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换以及函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换，属于中档题． 7．（5分）（2013•自贡一模）某小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量（单位：m3）的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15m3的住户的户数为（ ） A．10B．50C．60D．140考点：茎叶图．专题：计算题．分析：由题意及所给样本的频率分布直方图，可知：用水量在[15，20）的频率，用水量在[20，25）的频率，再利用分层抽样的定义即可求解．解答：解：由图可知，用水量在[15，20）的频率是0.05×5=0.25，故应在用水量在[15，20）中抽取200×0.25=50人；用水量在[20，25）的频率是0.01×5=0.05，故应在用水量在[20，25）中抽取200×0.05=10人；则小区内用水量超过15m3的住户的户数为60．故选C；点评：此题考查了学生识图及计算能力，还考查了分层抽样及频率分布直方图，是一道基础题； 8．（5分）（2013•自贡一模）运行如图所示的程序框图，则输出X的值为（ ） A．﹣2B．3C．4D．816\n考点：程序框图．专题：计算题．分析：会根据s←s+（﹣1）nn计算s的值及判断出当n←5时跳出循环结构，即可得出答案．解答：解：∵n←1，s←1+（﹣1）1×1；∴n←2，s←0+（﹣1）2×2；∴n←3，s←2+（﹣1）3×3；∴n←4，s←﹣1+（﹣1）4×4；∴n←5，s←3+（﹣1）5×5．当n=6时，应跳出循环程序，并输出s的值是﹣2．故选A．点评：正确理解循环结构的功能和会使用判断框中的条件判断何时跳出循环结构是解题的关键． 9．（5分）（2013•自贡一模）某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲乙同时参加，则他们发言时不能相邻．那么不同的发言顺序种数为（ ） A．360B．520C．600D．720考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题．分析：根据题意，分2种情况讨论，①只有甲乙其中一人参加，②甲乙两人都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目，由加法原理计算可得答案．解答：解：根据题意，分2种情况讨论，若只有甲乙其中一人参加，有C21•C53•A44=480种情况；若甲乙两人都参加，有C22•C52•A44=240种情况，其中甲乙相邻的有C22•C52•A33•A22=120种情况；则不同的发言顺序种数480+240﹣120=600种，故选C．点评：本题考查组合的应用，要灵活运用各种特殊方法，如捆绑法、插空法． 10．（5分）（2013•自贡一模）设l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，下列命题中正确的个数是（ ）①若l⊥α，则l与α相交②若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α④若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n． A．1B．2C．3D．4考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：综合题．分析：根据空间线面位置关系的有关定理对四个命题逐个进行判断即可找出命题中正确的个数．解答：解：由于直线与平面垂直是相交的特殊情况，故命题①正确；由于不能确定直线m，n的相交，不符合线面垂直的判定定理，命题②不正确；根据平行线的传递性．l∥n，故l⊥α时，一定有n⊥α．即③正确；由垂直于同一平面的两直线平行得m∥n，再根据平行线的传递性，即可得l∥n．即④正确．故正确的有①③④共3个．故选C点评：16\n空间点、线、面的位置关系．这类试题一般称之为空间点线面位置关系的组合判断题，主要考查对空间点、线、面位置关系的概念、定理，考查特例反驳和结论证明，特别是把空间平行关系和垂直关系的相关定理中抽掉一些条件的命题，其目的是考查考生对这些定理掌握的熟练程度 11．（5分）（2013•自贡一模）已知函数则函数y=f[f（x）]+1的零点个数是（ ） A．4B．3C．2D．1考点：函数的零点与方程根的关系．专题：计算题；压轴题．分析：由已知中函数我们可以求出函数y=f[f（x）]+1的解析式，令y=0，我们可以分别求出方程f[f（x）]+1=0的根，进而得到其零点的个数解答：解：由函数可得，由，故函数y=f[f（x）]+1共4个零点，故选A．点评：本题考查的知识点是函数的零点，与方程根的关系，其中根据已知中函数Y=f（x）的解析式，求出函数y=f[f（x）]+1的解析式，是解答本题的关键． 12．（5分）（2013•浙江模拟）定义域为[a，b]的函数y=f（x）图象的两个端点为A、B，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λa+（1﹣λ）b∈[a，b]，已知向量，若不等式恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上“k阶线性近似”．若函数在[1，2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为（ ）16\n A．[0，+∞）B．C．D．考点：函数与方程的综合运用．专题：压轴题；新定义．分析：本题求解的关键是得出M、N横坐标相等，将恒成立问题转化为求函数的最值问题．解答：解：由题意，M、N横坐标相等，恒成立即k恒大于等于，则k≥的最大值，所以本题即求的最大值．由N在AB线段上，得A（1，0），B（2，）AB方程y=（x﹣1）由图象可知，MN=y1﹣y2=x﹣﹣（x﹣1）=﹣（+）≤（均值不等式）故选D．点评：解答的关键是将已知条件进行转化，同时应注意恒成立问题的处理策略． 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．（4分）（2013•自贡一模）若实数a，b均不为零，且x2α=（x＞0），则（xα﹣2xb）9展开式中的常数项等于 ﹣672 ．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：根据题意，x2α=，代入（xα﹣2xb）9中可得（xα﹣2x﹣2a）9，可得其展开式为Tr+1=（﹣2）r•C93•（xa）9﹣3r；进而将r=3代入展开式，计算可得答案．解答：解：根据题意，x2α=，则（xα﹣2xb）9=（xα﹣2x﹣2a）9，其展开式为Tr+1=C9r•（xα）9﹣r•（﹣2x﹣2a）r=（﹣2）r•C93•（xa）9﹣3r；令r=3时，可得其展开式的常数项为（﹣2）3•（xa）9﹣3r=﹣672；故答案为：﹣672．点评：本题考查二项式定理的运用，解题时关键在于对其展开式的形式的记忆与有理数指数幂的化简计算． 14．（4分）（2013•自贡一模）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于 ．16\n考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图知，原几何体是一个球和一个正方体构成的组合体，再根据三视图得到球的半径和正方体的棱长，即可求体积解答：解：由三视图知原几何体是一个球和一个正方体构成的组合体，球的直径为2，半径为1，正方体的棱长为2∴原几何体的体积为：故答案为：点评：本题考查三视图，要求能把三视图还原成原几何体，能根据三视图找到原几何体的长度关系，要求有较好的空间想象力．属简单题 15．（4分）（2013•自贡一模）代号为“狂飙”的台风于某日晚8点在距港口的A码头南偏东60°的400千米的海面上形成，预计台风中心将以40千米/时的速度向正北方向移动，离台风中心350千米的范围都会受到台风影响，则A码头从受到台风影响到影响结束，将持续多少小时 2.5小时 ．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题．分析：将台风中心视为点B，进而可知AB的长度，过B作BC垂直正东线于点C，进而可知BC=200，AC=200，在BC线上取点D使得AD=350千米进而根据勾股定理求得DC，进而乘以2，再除以速度即是A码头从受到台风影响的时间．解答：解：在距港口的A码头南偏东60°的400千米的海面将台风中心视为点B，则AB=400过B作BC垂直正东线于点C，则BC=200，AC=200台风中心350千米的范围都会受到台风影响所以在BC线上取点D使得AD=350千米因为AC=200千米，AD=350千米∠DCA是直角根据勾股定理DC==50千米因为350千米的范围内都会受到台风影响16\n所以影响距离是50×2=100千米T=0=2.5（小时）故答案为2.5小时．点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了考生运用所学知识解决实际问题的能力． 16．（4分）（2013•自贡一模）已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对∀x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立．当x1，x2∈[0，2]，且x1≠x2时，都有，给出下列命题：（1）f（2）=0；（2）直线x=﹣4是函数y=f（x）图象的一条对称轴；（3）函数y=f（x）在[﹣4，4]上有四个零点；（4）f（2012）=f（0）．其中正确命题的序号为 （1）（2）（4） （把所有正确命题的序号都填上）．考点：命题的真假判断与应用；函数恒成立问题．专题：计算题．分析：由函数y=f（x）是R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，我们令x=﹣2，可得f（﹣2）=f（2）=0，进而得到f（x+4）=f（x）恒成立，再由当x1，x2∈[0，2]，且x1≠x2时，都有，得函数在区间[0，2]单调递减，由此我们画出函数的简图，然后对题目中的四个结论逐一进行分析，即可得到答案．解答：解：∵对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立当x=﹣2，可得f（﹣2）=0，又∵函数y=f（x）是R上的偶函数∴f（﹣2）=f（2）=0，故（1）正确；由f（2）=0，知f（x+4）=f（x）+f（2）=f（x），故周期为4．又由当x1，x2∈[0，2]且x1≠x1时，都有，∴函数在区间[0，2]单调递减，由函数是偶函数，知函数在[﹣2，0]上单调递增，再由函数的周期为4，得到函数f（x）的示意图如下图所示：由图可知：（1）正确，（2）正确，（3）错误，（4）正确故答案：（1）（2）（4）．点评：本题考查的知识点是函数的图象，函数的奇偶性，函数的周期性，函数的零点，解答的关键是根据已知，判断函数的性质，并画出函数的草图，结合草图分析题目中相关结论的正误． 16\n三、解答题：共6小题，满分74分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）（2013•自贡一模）有两个不透明的箱子，每个箱子都装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字1、2、3、4．（1）甲从其中一个箱子中摸出一个球，乙从另一个箱子摸出一个球，谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同则为平局），求甲获胜的概率；（2）摸球方法与（Ⅰ）同，若规定：两人摸到的球上所标数字相同甲获胜，所标数字不相同则乙获胜，这样规定公平吗？考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；概率的意义．专题：计算题．分析：（1）甲从其中一个箱子中摸出一球，乙从另一个箱子中摸出一球共有16种结果，列举出所有的结果和甲摸出的球标的数字大的事件数，得到概率．（2）根据所给的两个人获胜的说法，做出两个人获胜的概率，把两个概率进行比较得到这种说法不公平．解答：解：（1）甲从其中一个箱子中摸出一球，乙从另一个箱子中摸出一球共有16种结果，列举如下：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）．其中甲摸出的球标的数字大共有（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），共6种，记事件A={甲获胜}∴（2）两人摸到的球上标数字相同（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），共有4种结果，故P（甲胜）=，而两人摸出球上标数字不相同共有16﹣4=12种，故P（乙胜）=．∴不公平答：（1）甲获胜的概率；（2）不公平点评：本题考查概率的意义和用列举法来列举出所有的事件数，本题解题的关键是不重不漏的列举出所有的事件数． 18．（12分）（2009•福建）等比数列{an}中，已知a1=2，a4=16（I）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：计算题；转化思想．分析：（I）由a1=2，a4=16直接求出公比q再代入等比数列的通项公式即可．16\n（Ⅱ）利用题中条件求出b3=8，b5=32，又由数列{bn}是等差数列求出．再代入求出通项公式及前n项和Sn．解答：解：（I）设{an}的公比为q由已知得16=2q3，解得q=2（Ⅱ）由（I）得a3=8，a5=32，则b3=8，b5=32设{bn}的公差为d，则有解得．从而bn=﹣16+12（n﹣1）=12n﹣28所以数列{bn}的前n项和．点评：本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查归化与转化思想． 19．（12分）（2013•自贡一模）已知函数．（I）求函数f（x）的周期和最小值；（II）在锐角△ABC中，若f（A）=1，，，求△ABC的面积．考点：两角和与差的正弦函数；平面向量数量积的运算；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：将函数解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，后两项提取，利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，（I）找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小值正周期；由正弦函数的值域即可求出函数的最小值；（II）由第一问确定的函数解析式及f（A）=1，得到关系式，根据A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，再利用平面向量的数量积运算法则化简而•=，得到||•||的值，再由sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．解答：解：f（x）=2sinxcosx+（2cos2x﹣1）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），（Ⅰ）∵ω=2，∴T==π；∵﹣1≤sin（2x+）≤1，即﹣2≤2sin（2x+）≤2，∴f（x）的最小值为﹣2；16\n（Ⅱ）∵f（A）=2sin（2A+）=1，∴sin（2A+）=，∵0＜A＜π，∴2A+=，即A=，而•=||•||cosA=，∴||•||=2，则S△ABC=||•||sinA=．点评：此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的定义域与值域，平面向量的数量积运算法则，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 20．（12分）（2013•自贡一模）如图，四棱锥P﹣ABCD的底ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1，E，F分别是AB，BC的中点N在轴上．（I）求证：PF⊥FD；（II）在PA上找一点G，使得EG∥平面PFD；（III）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A﹣PD﹣F的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间向量及应用．分析：（I）连接AF，由勾股定理可得DF⊥AF，由PA⊥平面ABCD，利用线面垂直性质定理可得DF⊥PA，再由线面垂直的判定定理得到DF⊥平面PAF，进而可得PF⊥FD；（Ⅱ）过点E作EH∥FD交AD于点H，过点H作HG∥DP交PA于点G，由此可确定G点位置，使得EG∥平面PFD；（Ⅲ）确定∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，取AD的中点M，则FM⊥AD，FM⊥平面PAD，在平面PAD中，过M作MN⊥PD于N，连接FN，确定∠MNF即为二面角A﹣PD﹣F的平面角，进而可得结论．解答：（Ⅰ）证明：连接AF，则AF=DF=16\n又AD=2，∴DF2+AF2=AD2，∴DF⊥AF又PA⊥平面ABCD，∴DF⊥PA，又PA∩AF=A，∴DF⊥平面PAF，PF⊂平面PAF∴DF⊥PF；（Ⅱ）解：过点E作EH∥FD交AD于点H，则EH∥平面PFD，且有AH=再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且AG=AP，∴平面GEH∥平面PFD，∴EG∥平面PFD．从而满足AG=AP的点G即为所求；（Ⅲ）解：∵PA⊥平面ABCD，∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，且∠PBA=45°．∴PA=AB=1取AD的中点M，则FM⊥AD，FM⊥平面PAD，在平面PAD中，过M作MN⊥PD于N，连接FN，则PD⊥平面FMN，所以∠MNF即为二面角A﹣PD﹣F的平面角∵Rt△MND∽Rt△PAD，∴=，∵PA=1，MD=1，PD=，且∠FMN=90°∴MN=，FN=，cos∠MNF==．点评：本题考查线面垂直的判定，考查线面平行，考查面面角，解题关键是熟练掌握空间线面关系的判定，性质，正确作出面面角． 21．（12分）（2013•自贡一模）已知函数的图象过原点，f（x）=F′（x），g（x）=f′（x），f（1）=0，函数y=f（x）与y=g（x）的图象交于不同的两点A、B．（Ⅰ）若y=F（x）在x=﹣1处取得极大值2，求函数y=F（x）的单调区间；16\n（Ⅱ）若使g（x）=0的x值满足，求线段AB在x轴上的射影长的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题；综合题．分析：（Ⅰ）求F（x）的解析式，只需得到含两个a，b的等式，根据函数F（x）在x=﹣1处有极大值，可知，函数在x=﹣1处导数等于0，根据极大值为2，可知，x=﹣1时，函数值等于7，这样，就可求出a，b．对函数求导，再令导数大于0，解出x的范围，为函数的增区间，令导数小于0，解出x的范围，为函数的减区间．（Ⅱ）由题意，f（x）=ax2﹣2bx+c=ax2﹣（a+c）x+c，，g（x）=2ax﹣2b=2ax﹣（a+c），联立可得ax2﹣（3a+c）x+a+2c=0，利用韦达定理，可求线段AB在x轴上的射影长．从而可求线段AB在x轴上的射影长的取值范围．解答：解：∵F（x）的图象过原点，∴d=0．又f（x）=F'（x）=ax2﹣2bx+c，f（1）=0，，∴a+c=2b．…①…（2分）（Ⅰ）由y=F（x）在x=﹣1处取得极大值2知：f（﹣1）=a+2b+c=0，…②，…③…（4分）由①②③得解：a=3，b=0，c=﹣3，∴F（x）=x3﹣3x．…（5分）由f（x）=3x2﹣3≥0，得x≥1或x≤﹣1；由f（x）=3x2﹣3≤0，得﹣1≤x≤1．∴F（x）的单调递减区间为[﹣1，1]，单调递增区间为（﹣∞，﹣1]和[1，+∞）．…（7分）（Ⅱ）f（x）=ax2﹣2bx+c=ax2﹣（a+c）x+c，，g（x）=2ax﹣2b=2ax﹣（a+c），由，得ax2﹣（3a+c）x+a+2c=0．…（8分）设A，∴线段AB在x轴上的射影长．…（9分）由．…（（10分）∴当，∴．…（12分）点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查函数的极值，考查曲线相交，有一定的综合性． 22．（14分）（2013•自贡一模）设函数．16\n（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若x≥0时，恒有f（x）≤ax3，试求实数a的取值范围；（Ⅲ）令，试证明：．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；数列与函数的综合．专题：计算题；压轴题．分析：（I）先求导数，再求出f'（x）＞0时x的范围；并且求出f'（x）＜0时x的范围；进而解决单调性问题．（II）令g（x）=f（x）﹣ax3=x﹣ln（x+）﹣ax3．则g′（x）=，令h（x）=，求其导数，下面对a进行分类讨论：（1）当a≥时，（2）当0＜a＜时，（3）当a≤0时，h′（x）＞0，最后综合得出实数a的取值范围．（III）在（II）中取a=，则x∈[0，]，时，x﹣ln（x+）＞x3，即x3+ln（x+）＜x，令x=（）2n，利用等比数列求和公式即可证明结论．解答：解：（I）函数的定义域为R，由于f′（x）=1﹣≥0，知f（x）是R上的增函数．（II）令g（x）=f（x）﹣ax3=x﹣ln（x+）﹣ax3．则g′（x）=，令h（x）=，则h′（x）=，（1）当a≥时，h′（x）≤0，从而h（x）是[0，+∞）上的减函数，因h（0）=0，则x≥0时，h（x）≤0，也即g′（x）≤0，进而g（x）是[0，+∞）上的减函数，注意g（0）=0，则x≥0时，g（x）≤0，也即f（x）≤ax3，16\n（2）当0＜a＜时，在[0，]，h′（x）＞0，从而x∈[0，]时，也即f（x）＞ax3，（3）当a≤0时，h′（x）＞0，同理可知：f（x）＞ax3，综合，实数a的取值范围[，+∞）．（III）在（II）中取a=，则x∈[0，]，时，x﹣ln（x+）＞x3，即x3+ln（x+）＜x，令x=（）2n，则＜（）2n，∴点评：本小题主要考查导数在最大值、最小值问题中的应用、数列与函数的综合等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．解决此类问题的关键是熟练掌握求导该生并且利用导数解决函数的单调区间问题．16
