解题思维4 高考中结构不良试题的提分策略1.在①b1+b3=a2,②a4=b4,③S5=-25这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的k存在,求出k的值;若k不存在,说明理由.设等差数列{an}的前n项和为Sn,{bn}是等比数列, ,b1=a5,b2=3,b5=-81,是否存在k,使得Sk>Sk+1且Sk+1<Sk+2? 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,sinAcosA=sinB+sinCcosB+cosC.(1)若△ABC还同时满足下列四个条件中的三个:①a=7,②b=10,③c=8,④△ABC的面积S=103,请指出这三个条件,并说明理由.(2)若a=3,求△ABC周长L的取值范围.3.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,2b2=(b2+c2-a2)(1-tanA).(1)求角C;(2)若c=210,D为BC中点,在下列两个条件中任选一个,求AD的长度.条件①:△ABC的面积S=4且B>A.条件②:cosB=255.注:如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分.4.在①离心率为3,且经过点(3,4);②a2c=4,且焦距为2;这两个条件中任选一个,补充在下面的问题中,若问题中的直线l存在,求出l的方程;若问题中的直线l不存在,说明理由.问题:已知曲线C:mx2+ny2=1(m,n≠0)的焦点在x轴上, ,是否存在过点P(-1,1)的直线l,与曲线C交于A,B两点,且P为线段AB的中点? 注:若选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.答案解题思维4 高考中结构不良试题的提分策略\n1.因为{bn}为等比数列,且b2=3,b5=-81,设公比为q,则b5=b2q3,即3q3=-57,所以q=-3.则bn=-(-3)n-1.所以a5=b1=-1.假设存在k,使得Sk>Sk+1且Sk+1<Sk+2,则Sk+1是等差数列{an}的前n项和Sn中的唯一最小值,所以{an}为递增数列(d>0)且a1<0.若选择条件①,则a2=b1+b3=-10,又a5=a2+3d,所以d=3>0,又a1=a2-d=-13<0,所以存在满足题意的k,且k=4.若选择条件②,则a4=b4=27,由a5=-1得d=-28<0,所以满足题意的k不存在.若选择条件③,则S5=5(a1+a5)2=-25,a1=-9<0,d=2>0.所以满足题意的k存在,且k=4.2.由sinAcosA=sinB+sinCcosB+cosC,得sinAcosB+sinAcosC=cosAsinB+cosAsinC,sinAcosB-cosAsinB=cosAsinC-sinAcosC,所以sin(A-B)=sin(C-A).因为A,B,C∈(0,π),所以A-B=C-A,即2A=B+C,所以A=π3.(1)△ABC还同时满足条件①③④.理由如下:若△ABC同时满足条件①②,则由正弦定理得sinB=bsinAa=537>1,这不可能,所以△ABC不能同时满足条件①②,若△ABC同时满足条件③④,则△ABC的面积S=12bcsinA=12×b×8×32=103,所以b=5,与条件②b=10矛盾,此时可求得a=7或a=-7(舍去).所以△ABC还同时满足的三个条件为①③④.(2)在△ABC中,由正弦定理得bsinB=csinC=asinA=23.因为C=2π3-B,所以b=23sinB,c=23sin(2π3-B).所以L=a+b+c=3+23[sinB+sin(2π3-B)]=6(32sinB+12cosB)+3=6sin(B+π6)+3,因为B∈(0,2π3),所以B+π6∈(π6,5π6),sin(B+π6)∈(12,1],所以△ABC周长L的取值范围为(6,9].3.(1)在△ABC中,由余弦定理知b2+c2-a2=2bccosA,所以2b2=2bccosA(1-tanA),所以b=c(cosA-sinA),由正弦定理知bc=sinBsinC,得sinB=sinC(cosA-sinA),所以sin(A+C)=sinC(cosA-sinA),即sinAcosC+cosAsinC=sinCcosA-sinCsinA,所以sinAcosC=-sinCsinA,因为sinA≠0,所以cosC=-sinC,所以tanC=-1,又0<C<π,所以C=3π4.\n(2)若选择条件①,因为△ABC的面积S=4=12absinC=12absin3π4,所以ab=82,由余弦定理知c2=(210)2=40=a2+b2-2abcos3π4,所以a2+b2+2ab=40.由a2+b2+2ab=40,ab=82,解得a=4,b=22或a=22,b=4.因为B>A,所以b>a,所以a=22,b=4,又D为BC中点,所以CD=2,在△ACD中,AD2=CA2+CD2-2CA·CD·cosC=16+2-2×4×2cos3π4=26,所以AD=26.若选择条件②,因为cosB=255,所以sinB=1-cos2B=55,又sin∠BAC=sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosB=1010,由正弦定理知csinC=asin∠BAC,所以a=csin∠BACsinC=22,又D为BC中点,所以BD=2,在△ABD中,由余弦定理知AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cosB,得AD=26.4.若选条件①.由题设得曲线C为焦点在x轴上的双曲线.设m=1a2,n=-1b2(a>0,b>0),则曲线C的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),(题眼)由题设得a2+b2a2=3,9a2-16b2=1,解得a2=1,b2=2,所以曲线C的方程为x2-y22=1.(i)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,则直线l与曲线C有且仅有一个交点(-1,0),不符合题意.(ii)当直线l的斜率存在时,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y-1=k(x+1),即y=k(x+1)+1,代入x2-y22=1得(2-k2)x2-2k(k+1)x-(k2+2k+3)=0 (*),若2-k2=0,即k=±2时,方程(*)有且仅有一解,不符合题意;若2-k2≠0,即k≠±2时,其判别式Δ=[-2k(k+1)]2-4(k2-2)(k2+2k+3)=8(2k+3)>0,则k>-32,所以方程(*)有两个不同实数解时,k>-32且k≠±2,于是x1+x2=--2k(k+1)2-k2=2×(-1)=-2,解得k=-2,与k>-32且k≠±2矛盾.\n所以不存在直线l,与曲线C交于A,B两点,且P为线段AB的中点.若选条件②.由题设得曲线C为焦点在x轴上的椭圆.设m=1a2,n=1b2(a>b>0),则曲线C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),由题设得a2c=a2a2-b2=4,2a2-b2=2,解得a2=4,b2=3,所以曲线C的方程为x24+y23=1.(i)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,代入x24+y23=1得y=±32,P(-1,1)不是线段AB的中点,不符合题意.(ii)当直线l的斜率存在时,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y=k(x+1)+1,代入x24+y23=1得(3+4k2)x2+8k(k+1)x+4(k2+2k-2)=0,其判别式Δ=[8k(k+1)]2-4·(3+4k2)·4(k2+2k-2)=16(9k2-6k+6)>0恒成立,于是x1+x2=-8k(k+1)3+4k2=2×(-1)=-2,解得k=34,故y=34(x+1)+1=34x+74,即3x-4y+7=0,所以存在直线l:3x-4y+7=0,与曲线C交于A,B两点,且P为线段AB的中点.(12分)
