第九章 直线和圆的方程第一讲 直线方程与两直线的位置关系1.[改编题]下列说法正确的是( )A.“a=-1”是“直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直”的充要条件B.直线ax+2y+6=0与直线x+(a-1)y+a2-1=0互相平行,则a=-1C.过(x1,y1),(x2,y2)两点的所有直线的方程为y-y1y2-y1=x-x1x2-x1D.经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=02.[2021湖北宜昌模拟]如图9-1-1,已知A(4,0)、B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是( )A.25 B.33C.6 D.210图9-1-13.[2021天津模拟]已知点A(-1,1)、B(1,2)、C(0,-1),过点C的直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是( )A.[-2,3]B.[-2,0)∪(0,3]C.(-∞,-2]∪[3,+∞)D.以上都不对4.[2020江西模拟]“m=4”是“直线mx+(3m-4)y+3=0与直线2x+my+3=0平行”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.[2020甘肃模拟]已知直线l1:xsinα+y-1=0,直线l2:x-3ycosα+1=0,若l1⊥l2,则sin2α=( )A.35B.-35C.23D.-236.已知直线l1:ax+by+1=0与直线l2:2x+y-1=0互相垂直,且l1经过点(-1,0),则b= . 7.[2020福建宁德诊断]我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术,即圆内接正多边形的边数无限增加时,其面积可无限逼近圆面积.这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就.现作出圆x2+y2=2的一个内接正\n八边形,使该正八边形的其中4个顶点在平面直角坐标系的坐标轴上,则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的是( )A.x+(2-1)y-2=0B.(1-2)x-y+2=0C.x-(2+1)y+2=0D.(2-1)x-y+2=08.[2020安徽皖江名校第一次联考]过原点O作直线l:(2m+n)x+(m-n)y-2m+2n=0的垂线,垂足为P,则点P到直线x-y+3=0的距离的最大值为( )A.2+1B.2+2C.22+1D.22+29.[2020安徽十校高三摸底考试]已知直线l过点(33,0)且不与x轴垂直,圆C:x2+y2-2y=0,若直线l上存在一点M,使OM交圆C于点N,且OM=32NM,其中O为坐标原点,则直线l的斜率的最小值为( )A.-1B.-3C.-6D.-3310.[2017全国卷Ⅰ,20,12分]设A,B为曲线C:y=x24上两点,A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率;(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.答案第九章 直线和圆的方程第一讲 直线方程与两直线的位置关系1.B 对于A:当a=-1时,“直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直”,当直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直时,即a2+(-1)×(-a)=0,解得a=-1或a=0,故“a=-1”是“直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直”的充分不必要条件,故A错误;对于B:直线ax+2y+6=0与直线x+(a-1)y+a2-1=0互相平行,则a(a-1)=2×1,且2(a2-1)≠6(a-1),解得a=-1,故B正确;对于C:过(x1,y1),(x2,y2)(且x1≠x2,y1≠y2)两点的所有直线的方程为y-y1y2-y1=x-x1x2-x1,故C错误;对于D:经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程有两种情况.①经过原点的直线为x-\ny=0,②当直线不经过原点时,设在坐标轴上的截距为a,则直线方程为xa+ya=1,所以1a+1a=1,解得a=2,故x+y-2=0,故D错误.2.D 点P关于y轴的对称点P'的坐标是(-2,0),设点P关于直线AB:x+y-4=0的对称点为P″(a,b),由b-0a-2×(-1)=-1,a+22+b+02-4=0,解得a=4,b=2,故光线所经过的路程|P'P″|=(-2-4)2+22=210,故选D.3.C 如图D9-1-3所示,∵过点C的直线l与线段AB有公共点,∴直线l的斜率k≥kBC或k≤kAC,又kBC=2-(-1)1-0=3,kAC=1-(-1)-1-0=-2.∴k≥3或k≤-2,∴直线l的斜率k的取值范围是(-∞,-2]∪[3,+∞),故选C.图D9-1-34.C 由m=4,易得直线4x+8y+3=0与直线2x+4y+3=0平行;由直线mx+(3m-4)y+3=0与直线2x+my+3=0平行,得m2=3m-4m,解得m=2或m=4,经检验,当m=2时,直线2x+2y+3=0与直线2x+2y+3=0重合,故m=4,所以“m=4”是“直线mx+(3m-4)y+3=0与直线2x+my+3=0平行”的充要条件,故选C.5.A 因为l1⊥l2,所以sinα-3cosα=0,所以tanα=3,所以sin2α=2sinαcosα=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanα1+tan2α=35.故选A.6.-2 因为l1⊥l2,所以2a+b=0,又-a+1=0,所以b=-2.7.C 作出符合题意的圆内接正八边形ABCDEFGH,如图D9-1-4所示,易知A(2,0),B(1,1),C(0,2),D(-1,1),则直线AB,BC,CD的方程分别为y=1-01-2(x-2),y=(1-2)x+2,y=(2-1)x+2.整理为一般式,即x+(2-1)y-2=0,(1-2)x-y+2=0,(2-1)x-y+2=0,分别对应题中的A,B,D选项.故选C.图D9-1-4\n8.A 将(2m+n)x+(m-n)y-2m+2n=0整理,得(2x+y-2)m+(x-y+2)n=0.由题意得2x+y-2=0,x-y+2=0,解得x=0,y=2,可知直线l过定点Q(0,2).由题意知点O与点P重合或直线OP⊥l,所以点P的轨迹是以OQ为直径的圆,圆心为(0,1),半径为1.因为圆心(0,1)到直线x-y+3=0的距离d=|0-1+3|2=2,所以点P到直线x-y+3=0的距离的最大值为2+1.故选A.9.B 设点M(x,y),由OM=32NM,得N(x3,y3),又点N(x3,y3)在圆C上,则(x3)2+(y3)2-2·y3=0,即x2+y2-6y=0.设直线l的方程为y=k(x-33),∵点M在直线l上,∴直线l与曲线x2+y2-6y=0有交点,∴|-3-33k|1+k2≤3,解得-3≤k≤0,则直线l的斜率的最小值为-3,故选B.10.(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≠x2,y1=x124,y2=x224,x1+x2=4,于是直线AB的斜率k=y1-y2x1-x2=x1+x24=1.(2)由y=x24,得y'=x2.设M(x3,y3),由题设及(1)知x32=1,解得x3=2,于是M(2,1).设直线AB的方程为y=x+m,则线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.将y=x+m代入y=x24得x2-4x-4m=0.Δ=16(m+1)>0,则m>-1,解得x1=2+2m+1,x2=2-2m+1.从而|AB|=2|x1-x2|=42(m+1).由题设知|AB|=2|MN|,即42(m+1)=2(m+1),解得m=7.所以直线AB的方程为y=x+7.
