专题检测（十八）函数的图象与性质A组——“12＋4”满分练一、选择题1.函数y＝log2(2x－4)＋的定义域是( )A.(2，3) B.(2，＋∞)C.(3，＋∞)D.(2，3)∪(3，＋∞)解析：选D 由题意得解得x＞2且x≠3，所以函数y＝log2(2x－4)＋的定义域为(2，3)∪(3，＋∞)，故选D.2.若函数f(x)满足f(1－lnx)＝，则f(2)＝( )A.B.eC.D.－1解析：选B 法一：令1－lnx＝t，则x＝e1－t，于是f(t)＝，即f(x)＝，故f(2)＝e.法二：由1－lnx＝2，得x＝，这时＝＝e，即f(2)＝e.3.(2019·长沙市统一模拟考试)下列函数中，图象关于原点对称且在定义域内单调递增的是( )A.f(x)＝sinx－xB.f(x)＝ln(x－1)－ln(x＋1)C.f(x)＝D.f(x)＝解析：选D 由题意，f(x)＝sinx－x，该函数是奇函数，满足图象关于原点对称的条件，而f′(x)＝cosx－1≤0，即在定义域内f(x)＝sinx－x单调递减，故A不满足；对于B，研究定义域可得即该函数的定义域为(1，＋∞)，所以该函数是非奇非偶函数，故B不满足；对于C，函数的定义域为R，f(－x)＝f(x)，所以该函数是偶函数，\n不满足图象关于原点对称的条件，故C不满足；对于D，函数的定义域为R，f(－x)＝－f(x)，所以该函数是奇函数，满足图象关于原点对称的条件，又f′(x)＝>0，所以该函数在其定义域内单调递增，满足题目中的条件，故选D.4.(2019·江西九江两校3月联考)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象过坐标原点，且满足f(－x)＝f(－1＋x)，则函数f(x)在[－1，3]上的值域为( )A.[0，12]B.C.D.解析：选B 因为函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象过坐标原点，所以f(0)＝0，则b＝0.由f(－x)＝f(－1＋x)，可知函数的图象的对称轴为直线x＝－，即－＝－，所以a＝1，则f(x)＝x2＋x＝－，所以当x＝－时，f(x)取得最小值，且最小值为－.又f(－1)＝0，f(3)＝12，所以f(x)在[－1，3]上的值域为.故选B.5.函数f(x)＝的图象大致为( )解析：选C 函数f(x)＝是非奇非偶函数，排除A、B；函数f(x)＝的零点是x＝±e－1，当x＝e时，f(e)＝<，排除选项D.6.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，则( )A.f(－25)<f(11)<f(80)\nB.f(80)<f(11)<f(－25)C.f(11)<f(80)<f(－25)D.f(－25)<f(80)<f(11)解析：选D 因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3).由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1).因为f(x)在区间[0，2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间[－2，2]上是增函数，所以f(－1)<f(0)<f(1)，即f(－25)<f(80)<f(11).7.设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间上的图象，则f(2019)＋f(2020)＝( )A.2B.1C.－1D.0解析：选B 因为函数f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，所以f(2019)＝f(2019－673×3)＝f(0)，f(2020)＝f(2020－673×3)＝f(1)，由题中图象知f(0)＝0，f(1)＝1，所以f(2019)＋f(2020)＝f(0)＋f(1)＝0＋1＝1，故选B.8.(2019·湖北武汉3月联考)设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是( )A.(－∞，0]B.[0，1)C.[1，＋∞)D.[－1，0]解析：选B 由题意知g(x)＝x2f(x－1)＝画出函数g(x)的图象(图略)，由图可得函数g(x)的单调递减区间为[0，1).故选B.9.(2019·湖北省部分重点中学4月联考)已知函数f(x)＝g(x)＝－f(－x)，则函数g(x)的图象大致是( )\n解析：选D 先画出函数f(x)＝的图象，如图(1)所示，再根据函数f(x)与－f(－x)的图象关于坐标原点对称，即可画出函数－f(－x)的图象，即g(x)的图象，如图(2)所示，故选D.10.(2019·湖北武汉部分重点中学3月联考)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(1)＝－1，若f(2x－1)≥－1，则x的取值范围为( )A.(－∞，－1]B.[1，＋∞)C.[0，1]D.(－∞，0]∪[1，＋∞)解析：选C 由题意，得f(x)在(－∞，0]上单调递增，且f(1)＝－1，所以f(2x－1)≥f(1)，则|2x－1|≤1，解得0≤x≤1.故选C.11.已知函数f(x)＝对于任意的x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x2)－f(x1)]＞0成立，则实数a的取值范围是( )A.(－∞，3]B.(－∞，3)C.(3，＋∞)D.[1，3)解析：选D 由(x1－x2)[f(x2)－f(x1)]＞0，得函数f(x)为R上的单调递减函数，则解得1≤a＜3.故选D.12.已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|＜g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)( )A.有最小值－1，最大值1B.有最大值1，无最小值C.有最小值－1，无最大值D.有最大值－1，无最小值解析：选C 作出函数g(x)＝1－x2和函数|f(x)|＝|2x－1|的图象如图①所示，得到函数h(x)的图象如图②所示，由图象得函数h(x)有最小值－1，无最大值.\n二、填空题13.(2019·山东济宁期末改编)已知函数f(x)＝若f(e)＝－3f(0)，则b＝________，函数f(x)的值域为________________.解析：由f(e)＝－3f(0)得1＋b＝－3×(－1)，即b＝2，即函数f(x)＝当x＞1时，y＝lnx＋2＞2；当x≤1时，y＝ex－2∈(－2，e－2].故函数f(x)的值域为(－2，e－2]∪(2，＋∞).答案：2 (－2，e－2]∪(2，＋∞)14.(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax，若f(ln2)＝8，则a＝________.解析：设x>0，则－x<0.∵当x<0时，f(x)＝－eax，∴f(－x)＝－e－ax.∵f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝e－ax，∴f(ln2)＝e－aln2＝(eln2)－a＝2－a.又∵f(ln2)＝8，∴2－a＝8，∴a＝－3.答案：－315.已知定义在R上的偶函数f(x)满足当x≥0时，f(x)＝loga(x＋1)(a>0，且a≠1)，则当－1<f(－1)<1时，a的取值范围为________.解析：因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－1)＝f(1)＝loga2.因为－1<f(－1)<1，所以－1<loga2<1，所以loga<loga2<logaa.①当a>1时，原不等式等价于解得a>2；\n②当0<a<1时，原不等式等价于解得0<a<.综上，实数a的取值范围为∪(2，＋∞).答案：∪(2，＋∞)16.(2019·河北保定两校3月联考)对于函数y＝f(x)，若存在x0，使f(x0)＋f(－x0)＝0，则称点(x0，f(x0))是曲线f(x)的“优美点”.已知f(x)＝若曲线f(x)存在“优美点”，则实数k的取值范围为________.解析：由“优美点”的定义，可知若点(x0，f(x0))是曲线y＝f(x)的“优美点”，则点(－x0，－f(x0))也在曲线y＝f(x)上.如图，作出函数y＝x2＋2x(x＜0)的图象，然后作出其关于原点对称的图象，此图象对应的函数解析式为y＝－x2＋2x(x＞0).设过定点(0，2)的直线y＝k1x＋2与曲线y＝f(x)＝－x2＋2x(x＞0)切于点A(x1，f(x1))，则k1＝y′|＝－2x1＋2＝，解得x1＝或x1＝－(舍去)，所以k1＝－2＋2.由图可知，若曲线y＝f(x)存在“优美点”，则k≤2－2.答案：(－∞，2－2]B组——“5＋3”提速练1.设y＝f(x)是R上的奇函数，且f(x)在区间(0，＋∞)上递减，f(2)＝0，则f(x)＞0的解集是( )A.(－∞，－2) B.(0，2)C.(－∞，－2)∪(0，2)D.(－2，0)∪(0，2)解析：选C 根据题意，函数f(x)是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减，且f(2)＝0，则函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(－2)＝－f(2)＝0.当x＞0时，若f(x)＞0，即f(x)＞f(2)，必有0＜x＜2，当x＜0时，若f(x)＞0，即f(x)＞f(－2)，必有x＜－2，即f(x)＞0的解集是(－∞，－2)∪(0，2).2.(2019·全国卷Ⅲ)函数y＝在[－6，6]的图象大致为( )\n解析：选B ∵y＝f(x)＝，x∈[－6，6]，∴f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，排除选项C.当x＝4时，y＝＝＝≈7.97∈(7，8)，排除选项A、D.故选B.3.已知函数f(x)为偶函数，且函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，若g(3)＝2，则f(－2)＝( )A.－2B.2C.－3D.3解析：选D 因为函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，且g(3)＝2，所以f(2)＝3，因为函数f(x)为偶函数，所以f(－2)＝f(2)＝3，故选D.4.(2019·重庆4月调研)已知函数f(x)＝2x＋log3，若不等式f>3成立，则实数m的取值范围是( )A.(1，＋∞) B.(－∞，1)C.D.解析：选D 由>0，得－2<x<2，因为y＝2x在(－2，2)上单调递增，y＝log3＝log3＝log3在(－2，2)上单调递增，所以函数f(x)为增函数，又f(1)＝3，所以不等式f>3成立等价于不等式f＞f(1)成立，所以解得<m<1.故选D.5.在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f(x)的图象恰好经过n(n∈N*)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数，给出下列函数：①f(x)＝sin2x；②g(x)＝x3；③h(x)＝；④φ(x)＝lnx.\n其中是一阶整点函数的是( )A.①②③④B.①③④C.①④D.④解析：选C 对于函数f(x)＝sin2x，它的图象(图略)只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函数，排除D；对于函数g(x)＝x3，它的图象(图略)经过整点(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一阶整点函数，排除A；对于函数h(x)＝，它的图象(图略)经过整点(0，1)，(－1，3)，…，所以它不是一阶整点函数，排除B.6.已知函数f(x)的图象关于点(－3，2)对称，则函数h(x)＝f(x＋1)－3的图象的对称中心为________.解析：函数h(x)＝f(x＋1)－3的图象是由函数f(x)的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到的，又f(x)的图象关于点(－3，2)对称，所以函数h(x)的图象的对称中心为(－4，－1).答案：(－4，－1)7.设函数f(x)＝则满足f(x)＋f(x－1)<2的x的取值范围是________.解析：当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－[－x(－x－1)]＝－x(x＋1)，①若x<0，则x－1<－1，由f(x)＋f(x－1)<2得－x(x＋1)－(x－1)x<2，即－2x2<2，即x2>－1，此时恒成立，此时x<0.②若x≥1，则x－1≥0，由f(x)＋f(x－1)<2得x(x－1)＋(x－1)(x－2)<2，即x2－2x<0，即0<x<2，此时1≤x<2.③若0≤x<1，则x－1<0，则由f(x)＋f(x－1)<2得x(x－1)－(x－1)x<2，即0<2，此时不等式恒成立，此时0≤x<1，综上x<2，即不等式的解集为(－∞，2).答案：(－∞，2)8.若函数y＝f(x)满足：对于y＝f(x)图象上任意一点P(x1，f(x1))，总存在点P′(x2，f(x2))也在y＝f(x)图象上，使得x1x2＋f(x1)f(x2)＝0成立，称函数y＝f(x)是“特殊对点函数”.\n给出下列五个函数：①y＝x－1；②y＝ex－2；③y＝lnx；④y＝(其中e为自然对数底数).其中是“特殊对点函数”的序号是________.(写出所有正确的序号)解析：由P(x1，f(x1))，P′(x2，f(x2))满足x1x2＋f(x1)·f(x2)＝0，知·＝0，即⊥.①y＝x－1.当P(1，1)时，由图象知满足⊥的点P′(x2，f(x2))不在y＝x－1上，故①y＝x－1不是“特殊对点函数”；②y＝ex－2.作出函数y＝ex－2的图象，由图象知，满足⊥的点P′(x2，f(x2))都在y＝f(x)图象上，则②是“特殊对点函数”；③y＝lnx.当P(1，0)时，满足⊥的点不在y＝lnx上，故③y＝lnx不是“特殊对点函数”；④y＝.作出函数y＝的图象，由图象知，满足⊥的点P′(x2，f(x2))都在y＝f(x)图象上，则④是“特殊对点函数”.答案：②④
