解题思维6 高考中立体几何解答题的提分策略1.[12分]如图6-1,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,PA=PD.(1)证明:BC⊥PB.(2)若PA⊥PD,PB=AB,求二面角A-PB-C的余弦值.图6-12.[12分]如图6-2,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.(1)求证:AB1⊥平面A1BD.(2)求锐二面角A-A1D-B的余弦值.图6-23.[2021惠州市二调,12分]一副标准的三角板(如图6-3)中,∠ABC为直角,∠A=60°,∠DEF为直角,DE=EF,BC=DF.把BC与DF重合,拼成一个三棱锥(如图6-4),设M是AC的中点,N是BC的中点.第6页共6页\n(1)求证:平面ABC⊥平面EMN.(2)若AC=4,二面角E-BC-A为直二面角,求直线EM与平面ABE所成角的正弦值. 图6-3 图6-44.[新角度题,12分]如图6-5,EC⊥平面ABC,BD∥EC,AC=AB=BD=12EC=2,点F为线段DE上的动点.(1)试在BC上找一点O,使得AO⊥CF,并证明.(2)在第(1)问的基础上,若AB⊥AC,则平面ACE与平面AOF所成的锐二面角的大小可否为π4?图6-5答案解题思维6 高考中立体几何解答题的提分策略1.(1)如图D6-1,取AD的中点E,连接PE,BE,BD,第6页共6页\n图D6-1∵PA=PD,∴PE⊥AD.∵底面ABCD为菱形,且∠BAD=60°,∴△ABD为等边三角形,∴BE⊥AD.∵PE∩BE=E,PE,BE⊂平面PBE,∴AD⊥平面PEB,又PB⊂平面PEB,∴AD⊥PB.∵AD∥BC,∴BC⊥PB.(4分)(2)设AB=2,则AB=PB=AD=2,BE=3.∵PA⊥PD,E为AD的中点,∴PA=2,PE=1,∴PE2+BE2=PB2,∴PE⊥BE.以E为坐标原点,分别以EA,EB,EP所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图D6-2所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,3,0),P(0,0,1),C(-2,3,0),图D6-2∴AB=(-1,3,0),AP=(-1,0,1),BP=(0,-3,1),BC=(-2,0,0).设平面PAB的法向量为n1=(x1,y1,z1),∵n1·AB=0,n1·AP=0,∴-x1+3y1=0,-x1+z1=0,令x1=1,得z1=1,y1=33,∴n1=(1,33,1)为平面PAB的一个法向量.设平面BPC的法向量为n2=(x2,y2,z2),则n2·BP=0,n2·BC=0,∴-3y2+z2=0,-2x2=0,令y2=-1,得x2=0,z2=-3,即n2=(0,-1,-3)为平面BPC的一个法向量.∴n1·n2|n1|·|n2|=-277.设二面角A-PB-C的平面角为θ,由图可知θ为钝角,第6页共6页\n则cosθ=-277.(12分)2.(1)取BC的中点O,连接AO.∵△ABC为等边三角形,∴AO⊥BC.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,又平面ABC∩平面BCC1B1=BC,∴AO⊥平面BCC1B1.取B1C1的中点O1,连接OO1,以O为原点,OB,OO1,OA的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O-xyz,如图D6-3所示,则B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2,3),A(0,0,3),B1(1,2,0),∴AB1=(1,2,-3),BD=(-2,1,0),BA1=(-1,2,3),∴AB1·BD=0,AB1·BA1=0,∴AB1⊥BD,AB1⊥BA1.∵BD∩BA1=B,∴AB1⊥平面A1BD.(6分)(2)设平面A1AD的法向量为n=(x,y,z).∵AD=(-1,1,-3),AA1=(0,2,0),∴n·AD=0,n·AA1=0,∴-x+y-3z=0,2y=0,∴y=0,x=-3z,令z=1,得n=(-3,0,1)为平面A1AD的一个法向量.由(1)知AB1⊥平面A1BD,∴AB1为平面A1BD的一个法向量,∴cos<n,AB1>=n·AB1|n|·|AB1|=-3-32×22=-64,∴锐二面角A-A1D-B的余弦值为64.(12分)3.(1)∵M是AC的中点,N是BC的中点,∴MN∥AB,(1分)∵AB⊥BC,∴MN⊥BC.(2分)第6页共6页\n∵BE=EC,N是BC的中点,∴EN⊥BC.(3分)又MN∩EN=N,MN⊂平面EMN,EN⊂平面EMN,(4分)∴BC⊥平面EMN.(5分)又BC⊂平面ABC,∴平面ABC⊥平面EMN.(6分)(2)由(1)可知,EN⊥BC,MN⊥BC,∴∠ENM为二面角E-BC-A的平面角,又二面角E-BC-A为直二面角,∴∠ENM=90°,即EN⊥MN.(7分)以点N为坐标原点,NM,NC,NE所在直线分别为x,y,z轴建立如图D6-4所示的空间直角坐标系N-xyz,(8分)图D6-4∵AC=4,∴AB=2,BC=23,∴NE=3,MN=1,则N(0,0,0),E(0,0,3),M(1,0,0),B(0,-3,0),A(2,-3,0),∴EM=(1,0,-3),BE=(0,3,3),BA=(2,0,0).(9分)设m=(x,y,z)为平面ABE的法向量,则m·BA=0,m·BE=0,即2x=0,3y+3z=0,得x=0,令y=1,则z=-1,∴平面ABE的一个法向量为m=(0,1,-1).(10分)设直线EM与平面ABE所成的角为θ,则sinθ=|cos<m,EM>|=|m·EM|m||EM||=322=64,(11分)即直线EM与平面ABE所成角的正弦值为64.(12分)4.(1)BC的中点即为所找的点O.∵AB=AC,∴AO⊥BC,又EC⊥平面ABC,AO⊂平面ABC,∴EC⊥AO.(2分)∵BC∩EC=C,BC⊂平面BDEC,EC⊂平面BDEC,∴AO⊥平面BDEC.又CF⊂平面BDEC,∴AO⊥CF.(4分)(2)以A为坐标原点,AB,AC所在直线分别为x轴、y轴,过点A且平行于EC的直线为z轴建立如图D6-5所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),E(0,-2,4),D(-2,0,2),O(-1,-1,0),第6页共6页\n图D6-5AO=(-1,-1,0),ED=(-2,2,-2).(6分)设EF=λED(0≤λ≤1),则可得F(-2λ,2λ-2,4-2λ),则AF=(-2λ,2λ-2,4-2λ).设平面AOF的法向量为m=(x,y,z),则m·AO=0,m·AF=0,即-x-y=0,-2λx+(2λ-2)y+(4-2λ)z=0,令x=1,则y=-1,z=2λ-12-λ,则m=(1,-1,2λ-12-λ)为平面AOF的一个法向量.(9分)易得平面ACE的一个法向量为n=(1,0,0).令|cos<m,n>|=|m·n||m||n|=1(2λ-12-λ)2+2=22,解得λ=12.故当F为DE的中点时,平面ACE与平面AOF所成的锐二面角的大小为π4.(12分)第6页共6页
