第七章 不等式第三讲 基本不等式练好题·考点自测1.[2021河南驻马店模拟]设0<a<b,则下列不等式正确的是( ) A.a<b<ab<a+b2B.a<ab<a+b2<bC.a<ab<b<a+b2D.ab<a<a+b2<b2.下列结论正确的个数为( )①函数y=x+1x的最小值是2;②函数f(x)=cosx+4cosx,x∈(0,π2)的最小值为4;③“x>0且y>0”是“xy+yx≥2”的充要条件;④若a>0,则a3+1a2的最小值为2a;⑤不等式a2+b2≥2ab与a+b2≥ab有相同的成立条件.A.0B.1C.2D.33.[2020天津,14,5分]已知a>0,b>0,且ab=1,则12a+12b+8a+b的最小值为 . 4.[2019天津,13,5分][理]设x>0,y>0,x+2y=5,则(x+1)(2y+1)xy的最小值为 . 5.[2017江苏,10,5分]某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是 . 拓展变式1.(1)[2020江苏,12,5分]已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是 . (2)[2017山东,12,5分]若直线xa+yb=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为 . 2.[2020安徽合肥二模]若a+b≠0,则a2+b2+1(a+b)2的最小值为 . 答案第三讲 基本不等式第3页共3页\n1.B 因为0<a<b,所以a-ab=a(a-b)<0,故a<ab;因为b-a+b2=b-a2>0,所以b>a+b2;由基本不等式知a+b2>ab.综上所述,a<ab<a+b2<b,故选B.2.A 当x<0时,y≤-2,故①错误;易知当且仅当cosx=2时f(x)取最小值,但cosx不可能为2,所以等号不可能成立,故②错误;当x<0且y<0时,不等式xy+yx≥2也成立,故③错误;2a不是定值,故④错误;a2+b2≥2ab对于a,b∈R都成立,而a+b2≥ab只有当a>0,b>0时才成立,故⑤错误.选A.3.4 依题意得12a+12b+8a+b=a+b2ab+8a+b=a+b2+8a+b≥2a+b2×8a+b=4,当且仅当a>0,b>0,ab=1,a+b2=8a+b,即ab=1,a+b=4时取等号.因此12a+12b+8a+b的最小值为4.4.43 因为x+2y=5,x>0,y>0,所以(x+1)(2y+1)xy=2xy+2y+x+1xy=2xy+6xy=2xy+6xy≥22xy·6xy=212=43,当且仅当x+2y=5,2xy=6xy,即x=3,y=1,或x=2,y=32时取等号,故原式取得的最小值为43.5.30 一年购买600x次,则总运费与总存储费用之和为600x×6+4x=4(900x+x)≥8900x·x=240,当且仅当x=30时取等号,故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.1.(1)45 解法一 由5x2y2+y4=1得x2=15y2-y25,则x2+y2=15y2+4y25≥215y2·4y25=45,当且仅当15y2=4y25,即y2=12时取等号,则x2+y2的最小值是45.解法二 4=(5x2+y2)·4y2≤[(5x2+y2)+4y22]2=254(x2+y2)2,则x2+y2≥45,当且仅当5x2+y2=4y2=2,即x2=310,y2=12时取等号,则x2+y2的最小值是45.(2)8 ∵直线xa+yb=1(a>0,b>0)过点(1,2),∴1a+2b=1.∵a>0,b>0,∴2a+b=(2a+b)(1a+2b)=4+ba+4ab≥4+2ba·4ab=8,当且仅当ba=4ab和1a+2b=1同时成立,即a=2,b=4时等号成立,∴2a+b的最小值为8.2.2 解法一 因为2ab≤a2+b2,所以(a+b)2≤2(a2+b2).由a+b≠0,知a2+b2+1(a+b)2≥a2+b2+12(a2+b2)≥212=2,当且仅当a=b且a2+b2=12(a2+b2),即a=b=±418时两个等号同时成立.故a2+b2+1(a+b)2的最小值为2.解法二 因为a2+b2≥2ab,所以2(a2+b2)≥(a+b)2,所以a2+b2≥(a+b)22,第3页共3页\n所以a2+b2+1(a+b)2≥(a+b)22+1(a+b)2≥212=2,当且仅当a=b且(a+b)22=1(a+b)2,即a=b=±418时两个等号同时成立.故a2+b2+1(a+b)2的最小值为2.第3页共3页
