第二章函数的概念与基本初等函数I第八讲 函数模型及其应用1.[2021长春市第一次质量监测]中国茶文化博大精深,茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明,某种绿茶用85℃的水泡制,等到茶水温度降至60℃时饮用,可以产生最佳口感.为分析泡制一杯最佳口感的茶水所需的时间,某研究人员每隔1mIn测量一次茶水的温度,根据所得数据作出如图2-8-1所示的散点图.观察散点图的分布情况,下列可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律的函数模型是( )图2-8-1A.y=mx2+n(m>0)B.y=mx+n(m>0)C.y=max+n(m>0,a>0且a≠1)D.y=mlogax+n(m>0,a>0且a≠1)2.[2021晋南高中联考]2019年7月,中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录.良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例,实证了华夏五千年文明史.考古学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量N随时间t(单位:年)的衰变规律满足:N=N0·2-t5730(N0表示碳14原来的质量),经过测定,良渚古城某文物样本中碳14的质量是原来的0.6倍,据此推测良渚古城遗址存在的时期距今大约是(参考数据:log23≈1.6,log25≈2.3)( )A.3440年B.4011年C.4580年D.5160年3.[2021山东新高考模拟]中国的5G技术处于领先地位,5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式:C=Wlog2(1+SN).它表示:在受噪声干扰的信道中,最大信息传递速度C取决于信道带宽W,信道内信号的平均功率S,信道内部的高斯噪声功率N的大小,其中SN叫作信噪比.当信噪比比较大时,公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式,若不改变带宽W,而将信噪比SN从1000提升至4000,则C大约增加了(附:lg2≈0.3010)( )A.10%B.20%C.50%D.100%第5页共5页\n4.[2020四川绵阳中学模拟]某数学小组进行社会实践调查,了解到鑫鑫桶装水经营部在为如何定价而发愁.通过进一步调研了解到如下信息:该经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元,销售单价与日均销售量的关系如下表:销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240根据以上信息,你认为定价为多少时才能获得最大利润?( )A.每桶8.5元B.每桶9.5元C.每桶10.5元D.每桶11.5元5.[2021山东省临沂市期中]已知某公司生产某产品的年固定成本为100万元,每生产1千件需另投入27万元,设该公司一年内生产该产品x千件(0<x≤25)并全部销售完,每千件的销售收入为R(x)(单位:万元),且R(x)=108-13x2(0<x≤10),-x+175x+57(10<x≤25).(1)写出年利润f(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:千件)的函数解析式;(2)当年产量为多少千件时,该公司在这一产品的生产中所获年利润最大?(注:年利润=年销售收入-年总成本)6.[2021江苏启东中学模拟]某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召,因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”.调研过程中发现:某珍稀水果树的单株产量W(单位:千克)与肥料费用10x(单位:元)满足如下关系:W(x)=5(x2+2),0≤x≤2,50x1+x,2<x≤5,其他成本投入(如培育管理、施肥等人工费)20x元.已知这种水果的市场价大约为15元/千克,且销路畅通供不应求.记该珍稀水果树的单株利润为f(x)(单位:元).(1)求f(x)的函数关系式;(2)当投入的肥料费用为多少时,该珍稀水果树的单株利润最大?最大利润是多少?7.[2020安徽省太湖中学模拟]某公司计划投资开发一种新能源产品,预计能获得10万元~1000万元的收益.现准备制定一个对开发科研小组的奖励方案:资金y(单位:万元)随收益x(单位:万元)的增加而增加,且资金总数不超过9万元,同时资金总数不超过收益的20%.第5页共5页\n(1)若建立奖励方案的函数模型为y=f(x),试研究这个函数的定义域、值域和yx的取值范围;(2)现有两个奖励方案的函数模型:①y=x150+2;②y=4lgx-3.试分析这两个函数模型是否符合公司的要求,并说明理由.8.[2020武汉市部分高中联考]某市一家商场的新年最高促销奖设立了三种领奖方式,这三种领奖方式如下.方式一:每天到该商场领取奖品,价值为40元.方式二:第一天领取的奖品的价值为10元,以后每天比前一天多10元.方式三:第一天领取的奖品的价值为0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番.若三种领奖方式对应的奖品总价值均不超过1200元,则促销奖的领奖活动最长设置为几天?在领奖活动最长的情况下,你认为哪种领奖方式让领奖者受益最多?答案第八讲 函数模型及其应用1.C 由散点图的连线是曲线可知,B选项不符合题意;对于A选项,因为A中的函数是二次函数,其图象对称轴为y轴,与题中图象不符,故排除A;对于D选项,D中的函数图象过定点(1,n),且必穿过x轴,D选项不符题意.故符合条件的只有指数函数图象,故选C.2.B 由题意知,N=N0·2-t5730=0.6·N0,即2-t5730=0.6,-t5730=log20.6,∴t=(-5730)×(log23-log25)≈4011,故选B.3.B 将信噪比SN从1000提升至4000时,C增加了Wlog2(1+4000)-Wlog2(1+1000)Wlog2(1+1000)≈log24000-log21000log21000=23log210=23lg2≈23×0.3010≈0.2=20%,故C大约增加了20%,故选B.4.D 通过题中表格可知销售单价每增加1元,日均销售量减少40桶,设每桶水的价格为(6+x)元(x≥0),日利润为y元,则y=(6+x-5)(480-40x)-200=-40x2+440x+480(x≥0),∵-40<0,∴当x=4402×40=5.5时y有最大值,∴每桶水的价格为11.5元时,日利润最大,故选D.第5页共5页\n5.(1)当0<x≤10时,f(x)=xR(x)-(100+27x)=81x-x33-100;当10<x≤25时,f(x)=xR(x)-(100+27x)=-x2+30x+75.故f(x)=81x-x33-100(0<x≤10),-x2+30x+75(10<x≤25).(2)当0<x≤10时,由f'(x)=81-x2=-(x+9)(x-9),得当x∈(0,9)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(9,10)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.故f(x)max=f(9)=81×9-13×93-100=386.当10<x≤25时,f(x)=-x2+30x+75=-(x-15)2+300≤300.综上得当x=9时,年利润取最大值386.所以当年产量为9千件时,该公司在这一产品的生产中所获年利润最大.6.(1)由已知得f(x)=15W(x)-20x-10x=15W(x)-30x=15×5(x2+2)-30x,0≤x≤2,15×50x1+x-30x,2<x≤5=75x2-30x+150,0≤x≤2,750x1+x-30x,2<x≤5.(2)由(1)得f(x)=75x2-30x+150,0≤x≤2,750x1+x-30x,2<x≤5=75(x-15)2+147,0≤x≤2,780-30[251+x+(1+x)],2<x≤5,当0≤x≤2时,f(x)max=f(2)=390;当2<x≤5时,f(x)=780-30[251+x+(1+x)]≤780-30×2251+x·(1+x)=480,当且仅当251+x=1+x,即x=4时等号成立.因为390<480,所以当x=4时,f(x)max=480.故当投入的肥料费用为40元时,该珍稀水果树的单株利润最大,最大利润是480元.7.(1)y=f(x)的定义域是[10,1000],值域是(0,9],yx∈(0,0.2].(2)①不符合要求,②符合要求,理由如下.当y=x150+2时,yx=1150+2x的最大值是31150>0.2,不符合要求.当y=4lgx-3时,该函数在定义域上为增函数,最大值为9.yx≤0.2⇔y-0.2x≤0.令g(x)=4lgx-3-0.2x,则g'(x)=20-xln105xln10<0.所以g(x)≤g(10)=-1<0,即yx≤0.2.故函数y=4lgx-3符合公司的要求.8.设促销奖的领奖活动为x天,三种方式对应的奖品总价值分别为f(x),g(x),h(x)(f(x),g(x),h(x)的单位均为元).则f(x)=40x;g(x)=10+20+30+…+10x=5x2+5x;第5页共5页\nh(x)=0.4+0.4×2+0.4×22+…+0.4×2x-1=0.4·2x-0.4.要使奖品总价值不超过1200元,则f(x)≤1200,g(x)≤1200,h(x)≤1200,x∈N,即x≤30,x2+x-240≤0,2x≤3001,x∈N,解得x<12,x∈N.又f(11)=400,g(11)=660,h(11)=818.8,所以h(11)>g(11)>f(11).故促销奖的领奖活动最长设置为11天,在这11天内选择方式三会让领奖者受益最多.第5页共5页
