第二章函数的概念与基本初等函数I第六讲 函数的图象练好题·考点自测1.下列说法正确的是( )A.若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称B.若函数y=f(x)满足f(x+1)=f(x-1),则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称C.当x∈(0,+∞)时,函数y=f(|x|)的图象与y=|f(x)|的图象相同D.函数y=f(1-x)的图象可由y=f(-x)的图象向左平移1个单位长度得到2.[2020天津,3,5分]函数y=4xx2+1的图象大致为( ) 3.[2020石家庄市高三测试]已知函数f(x)=1,x>0,0,x=0,-1,x<0,则函数g(x)=f(x)·(ex-1)的大致图象是( ) A B C D4.[2018全国卷Ⅲ,7,5分]下列函数中,其图象与函数y=lnx的图象关于直线x=1对称的是( )A.y=ln(1-x)B.y=ln(2-x)C.y=ln(1+x)D.y=ln(2+x)5.[新课标全国Ⅰ,5分]设函数y=f(x)的图象与y=2x+a的图象关于直线y=-x对称,且f(-2)+f(-4)=1,则a=( )A.-1B.1C.2D.46.设f(x)=|lg(x-1)|,若1<a<b且f(a)=f(b),则ab的取值范围是 . 拓展变式1.(1)[2020河南开封4月模拟]函数y=cosx+ln|x|的大致图象为( )第5页共5页\n(2)[2020山东临沂4月模拟]已知函数f(x)=12x2-2x+1,x∈[1,4].当x=a时,f(x)取得最大值b,则函数g(x)=a|x+b|的大致图象为（）(3)[2020广州阶段模拟][平面向量与函数图象综合]如图2-6-3所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成的,它们的圆心分别是O,O1,O2,动点P从点A出发沿着圆弧按A→O→B→C→A→D→B的路线运动(其中A,O1,O,O2,B五点共线),记点P运动的路程为x,设y=|O1P|2,y与x的函数解析式为y=f(x),则y=f(x)的图象大致是( )2.(1)[2016全国卷Ⅱ,12,5分][理]已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=x+1x与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则∑i=1m(xi+yi)=( )A.0B.mC.2mD.4m(2)函数f(x)=lgx-sinx在(0,+∞)上的零点个数是( )A.1B.2C.3D.4第5页共5页\n(3)已知函数f(x)=-x2+2x,x≤0,ln(x+1),x>0.若|f(x)|≥ax恒成立,则a的取值范围是( )A.(-∞,0]B.(-∞,1]C.[-2,1]D.[-2,0](4)设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x-1),已知当x∈[0,1]时,f(x)=(12)1-x,则:①2是函数f(x)的周期;②函数f(x)在(1,2)上单调递减,在(2,3)上单调递增;③函数f(x)的最大值是1,最小值是0;④当x∈(3,4)时,f(x)=(12)x-3.其中所有正确命题的序号是 . 答案第六讲 函数的图象1.A 由函数的性质知A正确,B错误;令f(x)=-x,则当x∈(0,+∞)时,f(|x|)=f(x)=-x,|f(x)|=x,f(|x|)≠|f(x)|,故C错误;y=f(-x)的图象向左平移1个单位长度得到y=f[-(x+1)]=f(-x-1)的图象,故D错误.2.A 解法一 令f(x)=4xx2+1,显然f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数,排除C,D,由f(1)>0,排除B,故选A.解法二 令f(x)=4xx2+1,由f(1)>0,f(-1)<0,结合选项可知A正确.3.D 解法一 g(x)=f(x)(ex-1)=ex-1,x>0,0,x=0,1-ex,x<0,当x>0时,将函数y=ex的图象向下平移一个单位长度得到函数y=ex-1的图象,当x<0时,作函数y=ex-1的图象关于x轴对称的图象,得到函数y=1-ex的图象,故选D.第5页共5页\n解法二 g(x)=f(x)(ex-1)=ex-1,x>0,0,x=0,1-ex,x<0,当x=1时,g(x)>0,排除A,当x=-1时,g(x)>0,排除B,当x→-∞时,g(x)→1,排除C,选D.4.B 解法一 设所求函数图象上任意一点的坐标为(x,y),则其关于直线x=1对称的点的坐标为(2-x,y),由对称性知点(2-x,y)在函数y=lnx的图象上,所以y=ln(2-x).故选B.解法二 由题意知,对称轴上的点(1,0)既在函数y=lnx的图象上,也在所求函数的图象上,代入选项中的函数表达式逐一检验,排除选项A,C,D,选B.5.C 设(x,y)是函数y=f(x)图象上任意一点,它关于直线y=-x对称的点为(-y,-x),由函数y=f(x)的图象与y=2x+a的图象关于直线y=-x对称,可知点(-y,-x)在y=2x+a的图象上,即-x=2-y+a,解得y=-log2(-x)+a,所以f(-2)+f(-4)=-log22+a-log24+a=1,解得a=2,故选C.6.(4,+∞) 画出函数f(x)=|lg(x-1)|的图象,如图D2-6-1所示.由1<a<b且f(a)=f(b)可得-lg(a-1)=lg(b-1),解得ab=a+b>2ab(由于a<b,故取不到等号),所以ab>4.1.(1)A 令f(x)=y=cosx+ln|x|,由f(-x)=cos(-x)+ln|-x|=cosx+ln|x|=f(x),可知f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,可排除选项B;由函数f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠0},可排除选项C;当x→+∞时,f(x)→+∞,可排除选项D.故选A.(2)C 因为f(x)=12x2-2x+1=12(x-2)2-1,x∈[1,4],所以当x=4时,f(x)取得最大值,f(x)max=12×(4-2)2-1=1.由此可得a=4,b=1,所以g(x)=4|x+1|.于是可先作y=4x的图象,再将图象在y轴左侧的部分删去,保留图象在y轴上及y轴右侧的部分,并将y轴右侧的部分翻折到y轴左侧,得到y=4|x|的图象,最后将y=4|x|的图象向左平移1个单位长度,即得g(x)=4|x+1|的图象,对照选项可知,C符合.故选C.(3)A 当x∈[0,π]时,y=1.当x∈(π,2π)时,因为O1P=O2P-O2O1,设O2P与O2O1的夹角为θ,易知|O2P|=1,|O2O1|=2,所以θ=x-π,所以y=|O1P|2=(O2P-O2O1)2=5-4cosθ=5+4cosx,x∈(π,2π),所以当x∈(π,2π)时,函数y=f(x)的图象是曲线,且单调递增,排除C,D.当x∈[2π,4π]时,因为O1P=OP-OO1,设OP与OO1的夹角为α,易知|OP|=2,|OO1第5页共5页\n|=1,所以α=2π-12x,所以y=|O1P|2=(OP-OO1)2=5-4cosα=5-4cos12x,x∈[2π,4π],所以当x∈[2π,4π]时,函数y=f(x)的图象是曲线,且单调递减,排除B,故选A.2.(1)B 因为f(x)+f(-x)=2,y=x+1x=1+1x,所以函数y=f(x)与y=x+1x的图象都关于点(0,1)对称,所以∑i=1mxi=0,∑i=1myi=m2×2=m,所以∑i=1m(xi+yi)=m,故选B.(2)C 函数f(x)=lgx-sinx的零点个数即函数y=lgx的图象和函数y=sinx的图象的交点个数,在同一平面直角坐标系中画出函数y=lgx和y=sinx的图象如图D2-6-2所示.显然,函数y=lgx的图象和函数y=sinx的图象的交点个数为3,故选C.图D2-6-2(3)D 由y=|f(x)|的图象(如图D2-6-3所示)知,①当x>0时,只有a≤0时才能满足|f(x)|≥ax.②当x≤0时,y=|f(x)|=|-x2+2x|=x2-2x.故由|f(x)|≥ax得x2-2x≥ax.当x=0时,不等式为0≥0,成立;当x<0时,不等式等价为x-2≤a.因为x-2<-2,所以a≥-2.综上可知,a∈[-2,0].图D2-6-3(4)①②④ 由已知条件得f(x+2)=f(x),则y=f(x)是以2为周期的周期函数,①正确;当-1≤x≤0时,0≤-x≤1,f(x)=f(-x)=(12)1+x,画出函数y=f(x)的部分图象如图D2-6-4所示.由图象知②正确,③不正确;当3<x<4时,-1<x-4<0,f(x)=f(x-4)=(12)x-3,因此④正确,故正确命题的序号为①②④.图D2-6-4第5页共5页
