第十二章概 率第二讲 古典概型与几何概型练好题·考点自测1.[2019全国卷Ⅲ,3,5分]两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是( )A.16B.14C.13D.122.[2021惠州第一次调研]根据中央关于精准脱贫的要求,某市某农业经济部门随机派遣甲、乙等4位专家对3个县区进行调研,每个县区至少派1位专家,则甲、乙两位专家派遣至同一县区的概率为( )A.16B.14C.13D.123.[2020贵阳高三摸底考试]某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课,每节课的时间为40分钟,第一节课上课的时间为7:50~8:30,课间休息10分钟.某同学请假后返校,若他在8:50~9:30之间随机到达教室,则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率为( )A.15B.14C.13D.124.[2018全国卷Ⅰ,10,5分][理]图12-2-1来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则( )图12-2-1A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p35.[2020武汉高三模拟][与数列交汇]将数字1,2,3,4,5这五个数随机排成一列组成一个数列,则该数列为先减后增数列的概率为( )A.120B.760C.112D.7246.[2020江苏,4,5分]将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是 . 拓展变式1.(1)[与函数交汇]若a,b是从集合{-1,1,2,3,4}中随机选取的两个不同元素,则使得函数f(x)=x5a+xb是奇函数的概率为( )A.320B.310C.925D.35第5页共5页\n(2)[2021武汉高三质检]我国古人认为宇宙万物是由金、木、水、火、土这五种元素构成的,历史文献《尚书·洪范》提出了五行的说法,到战国晚期,五行相生相克的思想被正式提出.这五种物质属性的相生相克关系如图12-2-3所示,若从这五种物质中随机选取三种,则取出的三种物质中,彼此间恰好有一个相生关系和两个相克关系的概率为( )图12-2-3A.35B.12C.25D.132.(1)[2020湖北武汉模拟][与向量交汇]在平面直角坐标系xOy中,已知点A(3,0),B(1,2),D(3,2),动点P满足OP=λOA+μOB,其中λ∈[0,1],μ∈[0,2],λ+μ∈[1,2],则点P落在三角形ABD内的概率为( )A.12B.33C.32D.23(2)[2017江苏,7,5分][与函数交汇]记函数f(x)=6+x-x2的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率是 . 3.采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率,先由计算器给出0到9之间取整数的随机数,指定0,1,2,3表示没有击中目标,4,5,6,7,8,9表示击中目标,4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了如下20组随机数:75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为 . 4.[2020安徽六安一中模拟]河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案,蕴含了深奥的宇宙星象密码.河图的排列结构如图12-2-8所示,一与六共宗居下,二与七同道居上,三与八为朋居左,四与九为友居右,五与十同途居中,其中白圈为阳数,黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数,则这3个数中至少有2个阳数且3个数能构成等差数列的概率为( )A.15B.120C.112D.340图12-2-8第5页共5页\n答案第二讲 古典概型与几何概型1.D 四位同学排成一列,情况有A44=24(种),两个女生相邻,情况有A22·A33=12(种),所以所求概率P=1224=12.故选D.2.A 甲、乙等4位专家分到3个县区,每个县区至少派一位专家,等可能的情况共有C42C21C11A22A33=36(种),其中甲、乙两位专家派遣至同一县区等可能的情况有C21C11A22A33=6(种),所以甲、乙两位专家派遣至同一县区的概率P=636=16,故选A.3.B 随机到达教室总的时间长度为40分钟,第二节课8:40开始,9:20结束,听第二节课的时间不少于20分钟,必须在9:00前到达教室,即8:50~9:00到达即可,时间长度为10分钟,由几何概型的概率计算公式知他听第二节课的时间不少于20分钟的概率P=1040=14.故选B.4.A 解法一 设直角三角形ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则区域Ⅰ的面积即△ABC的面积,为S1=12bc,区域Ⅱ的面积S2=12π×(c2)2+12π×(b2)2-[π×(a2)22-12bc]=18π(c2+b2-a2)+12bc=12bc,所以S1=S2,由几何概型的知识知p1=p2,故选A.解法二 不妨设△ABC为等腰直角三角形,AB=AC=2,则BC=22,所以区域Ⅰ的面积(即△ABC的面积)为S1=12×2×2=2,区域Ⅱ的面积S2=π×12-[π×(2)22-2]=2,区域Ⅲ的面积S3=π×(2)22-2=π-2.根据几何概型的概率计算公式,得p1=p2=2π+2,p3=π-2π+2,所以p1≠p3,p2≠p3,p1≠p2+p3,故选A.5.B 将1,2,3,4,5这五个数随机排成一列,共组成A55个数列.若排成先减后增的数列,则最小的数字1是这个数列的最小项,当1排在第2项时,第一步,先从余下的4个数字中任取1个放在第1项,有C41种方法,第二步,把剩下的3个数字按照从小到大的顺序排列在第3,4,5项,共有1种方法,所以共有C41×1=4(种)方法;同理当1排在第3项时有C42×1=6(种)方法;当1排在第4项时有C43×1=4(种)方法.所以先减后增的数列共有4+6+4=14(个),因此将数字1,2,3,4,5随机排成一列组成一个数列,则该数列为先减后增的概率P=14A55=760,故选B.6.19 将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,向上的点数共有36种情况,其中点数和为5的情况有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共4种,则所求概率为436=19.1.(1)B 记集合A={-1,1,2,3,4},要使函数f(x)=x5a+xb是奇函数(a,b是从A中随机选取的两个不同元素),则a,b只能是从{-1,1,3}中任选的两个不同元素,则所求概率P=A32A52=310.故选B.第5页共5页\n(2)B 解法一 依题意,基本事件有C53=10(种),恰好有两个不相克关系的情况有C51·C21A22=5(种),所以彼此间恰好有一个相生关系和两个相克关系的概率P=1-510=12,故选B.解法二 依题意,基本事件有C53=10(种),恰好有一个相生关系和两个相克关系的情况有C52·C31A33=5(种),所以彼此间恰好有一个相生关系和两个相克关系的概率P=510=12,故选B.解法三(列举法) 依题意,三种物质间相生相克关系如下表,×√√√×××√×√所以彼此间恰好有一个相生关系和两个相克关系的概率P=510=12,故选B.2.(1)A 由题意得OP=λOA+μOB=λ(3,0)+μ(1,2)=(3λ+μ,2μ).设P(x,y),则x=3λ+μ,y=2μ,解得λ=33(x-y2),μ=y2,因为λ∈[0,1],μ∈[0,2],λ+μ∈[1,2],所以0≤33(x-y2)≤1,0≤y2≤2,1≤33(x-y2)+y2≤2,化简得0≤2x-y≤23,0≤y≤4,23≤2x+(3-1)y≤43.作出不等式组表示的平面区域,如图D12-2-1中阴影部分所示,点P位于平行四边形ABEC的内部(包含边界).记事件M为点P落在三角形ABD内,则由几何概型的概率计算公式可得所求概率为P(M)=S△ABCS四边形ABEC=12.故选A.(2)59 由6+x-x2≥0,解得-2≤x≤3,则D=[-2,3],则所求概率为3-(-2)5-(-4)=59.3.0.4 根据数据得该运动员射击4次至少击中3次的数据分别为7527 9857 8636 6947 4698 8045 9597 7424,所以该运动员射击4次至少击中3次的概率为820=0.4.第5页共5页\n4.C 从这10个数中任取3个数,共有C103=120(种)不同的结果,3个数中至少有2个阳数且3个数能构成等差数列的情况有{1,2,3},{3,4,5},{5,6,7},{7,8,9},{1,4,7},{3,6,9},{1,3,5},{3,5,7},{5,7,9},{1,5,9},共10种.所以这3个数中至少有2个阳数且3个数能构成等差数列的概率P=10120=112.故选C.第5页共5页
