【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第3章第6节正弦定理和余弦定理课后限时自测理苏教版[A级 基础达标练]一、填空题1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，b＝，B＝45°，则角A＝________.[解析] 由正弦定理得＝，∴sinA＝，∴A＝60°或120°.[答案] 60°或120°2．、(2014·福建高考)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________．[解析] 如图所示，在△ABC中，由正弦定理得＝，解得sinB＝1，所以B＝90°，所以S△ABC＝×AB×2＝××2＝2.[答案] 23．(2014·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝a,2sinB＝3sinC，则cosA的值为________．[解析] 由2sinB＝3sinC及正弦定理得2b＝3c，即b＝c.又b－c＝a，∴c＝a，即a＝2c.由余弦定理得cosA＝＝＝＝－.[答案] －4．(2013·辽宁高考改编)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asinBcosC＋csinBcosA＝b，且a＞b，则∠B＝________.[解析] 由正弦定理可得sinAsinBcosC＋sinC·sinBcosA＝sinB，又因为sin5\nB≠0，所以sinAcosC＋sinCcosA＝，所以sin(A＋C)＝sinB＝.因为a>b，所以∠B＝.[答案] 5．(2013·陕西高考改编)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为________三角形．[解析] ∵bcosC＋ccosB＝b·＋c·＝＝＝a＝asinA，∴sinA＝1.∵A∈(0，π)，∴A＝，即△ABC是直角三角形．[答案] 直角6．如图361，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连结EC、ED，则sin∠CED＝________.图361[解析] 在Rt△EAD和Rt△EBC中，易知ED＝，EC＝，在△DEC中，由余弦定理得cos∠CED＝＝＝.∴sin∠CED＝.[答案] 7．(2013·安徽高考)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝________.5\n[解析] 由3sinA＝5sinB，得3a＝5b.又因为b＋c＝2a，所以a＝b，c＝b，所以cosC＝＝＝－.因为C∈(0，π)，所以C＝.[答案] 8．在钝角△ABC中，a＝1，b＝2，则最大边c的取值范围是________．[解析] 由余弦定理得cosC＝＝＝.∵角C是钝角，∴－1<cosC<0.∴－1<<0，∴<c<3.[答案] <c<3二、解答题9．(2014·大纲全国卷)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC＝2ccosA，tanA＝，求B.[解] 由题设和正弦定理得3sinAcosC＝2sinCcosA.故3tanAcosC＝2sinC.因为tanA＝，所以cosC＝2sinC，tanC＝.所以tanB＝tan[180°－(A＋C)]＝－tan(A＋C)＝＝－1.即B＝135°.10．(2014·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c＝，cos2A－cos2B＝sinAcosA－sinBcosB.(1)求角C的大小；(2)若sinA＝，求△ABC的面积．[解] (1)由题意得－＝sin2A－sin2B，即sin2A－cos2A＝sin2B－cos2B，5\nsin＝sin.由a≠b，得A≠B.又A＋B∈(0，π)，得2A－＋2B－＝π，即A＋B＝，所以C＝.(2)由c＝，sinA＝，＝，得a＝.由a<c，得A<C，从而cosA＝，故sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝，所以，△ABC的面积为S＝acsinB＝.[B级 能力提升练]一、填空题1．(2014·山东高考)在△ABC中，已知·＝tanA，当A＝时，△ABC的面积为________．[解析] 已知A＝，由题意得||||cos＝tan，||||＝，所以△ABC的面积S＝||·||sin＝××＝.[答案] 2．(2013·福建高考)如图362，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________．图362[解析] ∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝，∴在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD，∴BD2＝18＋9－2×3×3×＝3，5\n∴BD＝.[答案] 二、解答题3．(2014·湖南高考)如图363，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.(1)求cos∠CAD的值；(2)若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长．图363[解] (1)在△ADC中，由余弦定理，得cos∠CAD＝，故由题设知，cos∠CAD＝＝.(2)设∠BAC＝α，则α＝∠BAD－∠CAD.因为cos∠CAD＝，cos∠BAD＝－.所以sin∠CAD＝＝＝，sin∠BAD＝＝＝.于是sinα＝sin(∠BAD－∠CAD)＝sin∠BAD·cos∠CAD－cos∠BAD·sin∠CAD＝×－×＝.在△ABC中，由正弦定理，＝.故BC＝＝＝3.5
