【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第10章第6节几何概型课后限时自测理苏教版[A级 基础达标练]一、填空题1．(2014·苏北四市调研)在△ABC的边AB上随机取一点P，记△CAP和△CBP的面积分别为S1和S2，则S1>2S2的概率是________．[解析] 由S1>2S2，AP>2PB，即S1>2S2的概率为.[答案] 2．设A为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A连结，则弦长超过半径倍的概率是________．[解析] 如图所示，作等腰直角三角形AOC和CAM，B为圆上任一点，则当点B在上运动时，弦长|AB|>R，∴P＝.[答案] 3．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是________．[解析] 如图，要使S△PBC＞S△ABC，只需PB＞AB.故所求概率为P＝＝.[答案] 4．在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“sinx＋cos5\nx≤1”发生的概率为________．[解析] 由sinx＋cosx≤1，得sin≤，由于0≤x≤π，则≤x≤π，由几何概型概率公式得，所求概率P＝＝.[答案] 5．已知正三棱锥SABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VPABC＜VSABC的概率是________．[解析] 当点P到底面ABC的距离小于时，VPABC＜VSABC.由几何概型知，所求概率为P＝1－3＝.[答案] 6．已知函数f(x)＝log2x，x∈，在区间上任取一点x0，使f(x0)≥0的概率为________．[解析] 由f(x0)≥0，得log2x0≥0，∴x0≥1，因此使f(x0)≥0的区域为[1,2]，故所求概率为P＝＝.[答案] 7．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，使四棱锥MABCD的体积小于的概率是________．[解析] 如图，正方体ABCDA1B1C1D1.设MABCD的高为h，则×SABCD×h<，5\n又SABCD＝1，∴h<，即点M在正方体的下半部分，∴所求概率P＝＝.[答案] 8．(2014·连云港清华园双语学校检测)若在区间(－1,1)内任取实数a，在区间(0,1)内任取实数b，则直线ax－by＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相交的概率为________．[解析] 直线ax－by＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相交应满足<1，即4a>3b，在平面直角坐标系aOb中，－1<a<1,0<b<1表示的平面区域为图中矩形ABCD的内部，在此区域内满足4a>3b的区域为图中ODCE的内部，由E，可求得梯形ODCE的面积为，而矩形ABCD的面积为2，由几何概型可知，所求的概率为.[答案] 二、解答题9．如图1065所示，在单位圆O的某一直径上随机地取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．图1065[解] 弦长不超过1，即|OQ|≥.因Q点在直径AB上是随机的，记事件A＝{弦长超过1}．由几何概型的概率公式得P(A)＝＝.∴弦长不超过1的概率为1－P(A)＝1－.10．在区域内任取一点P，求点P落在单位圆x2＋y2＝1内的概率．5\n[解] 如图所示，不等式组表示的平面区域是△ABC的内部及其边界．又圆x2＋y2＝1的圆心(0,0)到x＋y－＝0与x－y＋＝0的距离均为1，∴直线x＋y－＝0与x－y＋＝0均与单位圆x2＋y2＝1相切，记“点P落在x2＋y2＝1内”为事件A，∵事件A发生时，所含区域面积S＝π，且S△ABC＝×2×＝2，故所求事件的概率P(A)＝＝.[B级 能力提升练]一、填空题1．(2012·辽宁高考改编)在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为________．[解析] 设AC＝x，CB＝12－x，所以x(12－x)＝32，解得x＝4或x＝8.所以P＝＝.[答案] 2．(2013·盐城中学调研)设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是________．[解析] 本题为几何概型，设D为正方形OABC的面积，d为到坐标原点距离大于2的面积，则P＝＝＝＝1－.[答案] 1－二、解答题3．已知向量a＝(2,1)，b＝(x，y)．(1)若x∈{－1,0,1,2}，y∈{－1,0,1}，求向量a∥b的概率；(2)若x∈[－1,2]，y∈[－1,1]，求向量a，b的夹角是钝角的概率．[解] (1)设“a∥b”为事件A，由a∥b,得x＝2y.5\n基本事件空间为Ω＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)}，共包含12个基本事件；其中A＝{(0,0)，(2,1)}，包含2个基本事件．则P(A)＝＝，即向量a∥b的概率为.(2)因为x∈[－1,2]，y∈[－1,1]，则满足条件的所有基本事件所构成的区域(如图)为矩形ABCD，面积为S1＝3×2＝6.设“a，b的夹角是钝角”为事件B，由a，b的夹角是钝角，可得a·b<0，即2x＋y<0，且x≠2y.事件B包含的基本事件所构成的区域为图中四边形AEFD，面积S2＝××2＝2，则P(B)＝＝＝.即向量a，b的夹角是钝角的概率是.5
