课时提升练(六)函数的奇偶性与周期性一、选择题1．(2015·西安检测)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )A．－B.C.D．－【解析】 由f(x)是偶函数知，f(x)＝f(－x)，即ax2＋bx＝a(－x)2－bx，∴2bx＝0，∴b＝0.又f(x)的定义域应关于原点对称，即(a－1)＋2a＝0，∴a＝，故a＋b＝.【答案】 B2．(2014·安徽高考)设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sinx．当0≤x<π时，f(x)＝0，则f＝( )A.B.C．0D．－【解析】 ∵f(x＋π)＝f(x)＋sinx，∴f(x＋2π)＝f(x＋π)－sinx.∴f(x＋2π)＝f(x)＋sinx－sinx＝f(x)．∴f(x)是以2π为周期的周期函数．又f＝f＝f.f＝f＋sin，∴f＝f－.∵当0≤x<π时，f(x)＝0，∴f＝0，∴f＝f＝.故选A.【答案】 A5\n3．函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图231所示，下列说法正确的是( )图231①函数y＝f(x)满足f(－x)＝－f(x)；②函数y＝f(x)满足f(x＋2)＝f(－x)；③函数y＝f(x)满足f(－x)＝f(x)；④函数y＝f(x)满足f(x＋2)＝f(x)．A．①③B．②④C．①②D．③④【解析】 由图象可知，图象关于原点对称，周期为4，故y＝f(x)应满足f(－x)＝－f(x)，f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)．①②正确．【答案】 C4．(2014·大纲全国卷)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝( )A．－2B．－1C．0D．1【解析】 因为f(x)为R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0.因为f(x＋2)为偶函数，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)，所以f(x＋4)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋8)＝f(x)，即函数f(x)的周期为8，故f(8)＋f(9)＝f(0)＋f(1)＝1.【答案】 D5．(2013·湖北高考)x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]在R上为( )A．奇函数B．偶函数C．增函数D．周期函数【解析】 函数的图象(图象略)在两个整数之间都是斜率为1的线段(不含终点)，故选D.【答案】 D6．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )5\nA．f(－25)<f(11)<f(80)B．f(80)<f(11)<f(－25)C．f(11)<f(80)<f(－25)D．f(－25)<f(80)<f(11)【解析】 ∵f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，∴f(x－8)＝f(x)，∴函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．∵f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，∴f(x)在区间[－2,2]上是增函数，∴f(－1)<f(0)<f(1)，即f(－25)<f(80)<f(11)．【答案】 D二、填空题7．(2014·湖南高考)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________.【解析】 ∵f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴ln(1＋e3x)＋ax＝ln(1＋e－3x)－ax，∴ln(1＋e－3x)－ln(1＋e3x)＝2ax，即ln＝2ax，∴＝e2ax，∴1＋e－3x＝e2ax＋e(2a＋3)x对x∈R恒成立，∴或(舍去)．∴a＝－.【答案】 －8．(2014·课标全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．【解析】 ∵f(x)是偶函数，∴图象关于y轴对称．又f(2)＝0，且f(x5\n)在[0，＋∞)上单调递减，则f(x)的大致图象如图所示，由f(x－1)>0，得－2<x－1<2，即－1<x<3.【答案】 (－1,3)9．设a为常数，y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝9x＋＋7，若f(x)≥a＋1对一切x≥0成立，则a的取值范围为________．【解析】 f(0)＝0，故0≥a＋1⇒a≤－1；当x>0时，f(x)＝9x＋－7≥a＋1，即6|a|≥a＋8，又a≤－1，故a≤－.【答案】 三、解答题10．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称．(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；(2)若f(x)＝(0<x≤1)，求x∈[－5，－4]时，函数f(x)的解析式．【解】 (1)证明：由函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，有f(x＋1)＝f(1－x)，即有f(－x)＝f(x＋2)．又函数f(x)是定义在R上的奇函数，故有f(－x)＝－f(x)．故f(x＋2)＝－f(x)．从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数．(2)由函数f(x)是定义在R上的奇函数，有f(0)＝0.x∈[－1,0)时，－x∈(0,1]，f(x)＝－f(－x)＝－.故x∈[－1,0]时，f(x)＝－.x∈[－5，－4]时，x＋4∈[－1,0]，f(x)＝f(x＋4)＝－.从而，x∈[－5，－4]时，函数f(x)＝－.11．定义在R上的函数f(x)对任意a，b∈R都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)＋k(k为常数)．(1)判断k为何值时，f(x)为奇函数，并证明；5\n(2)设k＝－1，f(x)是R上的增函数，且f(4)＝5，若不等式f(mx2－2mx＋3)>3对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．【解】 (1)若f(x)在R上为奇函数，则f(0)＝0，令a＝b＝0，则f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋k，所以k＝0.证明：由f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，令a＝x，b＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，又f(0)＝0，则有0＝f(x)＋f(－x)，即f(－x)＝－f(x)对任意x∈R成立，所以f(x)是奇函数．(2)因为f(4)＝f(2)＋f(2)－1＝5，所以f(2)＝3.所以f(mx2－2mx＋3)>3＝f(2)对任意x∈R恒成立．又f(x)是R上的增函数，所以mx2－2mx＋3>2对任意x∈R恒成立，即mx2－2mx＋1>0对任意x∈R恒成立，当m＝0时，显然成立；当m≠0时，由得0<m<1.所以实数m的取值范围是[0,1)．12．(2014·枣庄模拟)已知函数f(x)＝x2＋(x≠0)，(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若f(1)＝2，试判断f(x)在[2，＋∞)上的单调性．【解】 (1)当a＝0时，f(x)＝x2，由f(－x)＝f(x)可知，函数是偶函数．当a≠0时，f(x)＝x2＋(x≠0)．∵f(a)＝a2＋1，f(－a)＝a2－1，∴f(a)≠f(－a)，又a≠0，∴f(a)≠－f(a)，∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．综上所述：a＝0时，f(x)为偶函数；a≠0时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2)由f(1)＝2可知1＋a＝2，即a＝1，所以f(x)＝x2＋.由f′(x)＝2x－可知，当x≥2时，f′(x)＞0恒成立，故f(x)在[2，＋∞)上是单调递增函数．5
