【红对勾】（新课标）2016高考数学大一轮复习第三章三角函数、解三角形单元质量检测理时间：90分钟 分值：100分一、选择题(每小题4分，共40分)1．cos－sin的值为( )A.B．－C．0D.解析：原式＝cos＋sin＝cos＋sin＝＋＝.答案：A2．已知点P落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.B.C.D.解析：由sin>0，cos<0知角θ在第四象限，因为tanθ＝＝－1，θ∈[0,2π)，所以θ＝.答案：D3．化简＝( )A．－2B．－C．－1D．1解析：＝＝＝－1.答案：C9\n4．已知角A为△ABC的内角，且sin2A＝－，则sinA－cosA＝( )A.B．－C．－D.解析：∵A为△ABC的内角，且sin2A＝2sinAcosA＝－<0，∴sinA>0，cosA<0，∴sinA－cosA>0.又(sinA－cosA)2＝1－2sinAcosA＝.∴sinA－cosA＝.答案：A5．如图所示为函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，那么f(－1)＝( )A．－1 B．－C.D．1解析：由A，B两点之间的距离为5知函数的半周期为3，因此T＝6，ω＝＝，又函数过点(0,1)，所以sinφ＝，因为0≤φ≤，所以φ＝，所以函数解析式为f(x)＝2sin，故f(－1)＝2sin＝2sin＝－1.答案：A6．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinBcosC＋csinBcosA＝b，且a>b，则∠B＝( )A.B.9\nC.D.解析：由正弦定理知＝＝＝2R，所以2RsinAsinBcosC＋2RsinCsinBcosA＝2RsinB.因为a>b，所以∠B<∠A，所以0<∠B<，sinB≠0.所以sinAcosC＋sinCcosA＝，即sin(A＋C)＝.又∠A＋∠B＋∠C＝π，所以sinB＝.又0<∠B<，所以∠B＝.答案：A7．为了得到函数y＝3sin的图象，只要把函数y＝3sin的图象上所有的点( )A．向右平行移动个单位长度B．向左平行移动个单位长度C．向右平行移动个单位长度D．向左平行移动个单位长度解析：因为y＝3sin＝3sin，所以要得到函数y＝3sin的图象，应把函数y＝3sin的图象上所有点向右平行移动π个单位长度．答案：C8．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：①f(x)＝sinxcosx；②f(x)＝sin2x＋1；9\n③f(x)＝2sin；④f(x)＝sinx＋cosx.其中是“同簇函数”的为( )A．①②B．①④C．②③D．③④解析：三角函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象在平移的过程中，振幅不变，①中函数的解析式化简为y＝sin2x，④中函数的解析式化简为f(x)＝2sin，将③中的函数的图象向左平移个单位长度便可得到④中的函数图象，故选D.答案：D9．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝( )A．10B．9C．8D．5解析：化简23cos2A＋cos2A＝0，得23cos2A＋2cos2A－1＝0，解得cosA＝.由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccosA，代入数据，得b＝5.答案：D10．设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)－sin(ωx＋φ)，且其图象相邻的两条对称轴为x1＝0，x2＝，则( )A．y＝f(x)的最小正周期为π，且在上为增函数B．y＝f(x)的最小正周期为π，且在上为减函数C．y＝f(x)的最小正周期为2π，且在(0，π)上为增函数D．y＝f(x)的最小正周期为2π，且在(0，π)上为减函数解析：由已知条件得f(x)＝2cos，由题意得＝，∴T＝π.∴T＝，∴ω＝2.又∵f(0)＝2cos，x＝0为f(x)的对称轴，∴f(0)＝2或－2，又∵|φ|<，∴φ＝－，9\n此时f(x)＝2cos2x，在上为减函数，故选B.答案：B二、填空题(每小题4分，共16分)11．函数y＝tan的对称中心为________．解析：∵y＝tanx(x≠＋kπ，k∈Z)的对称中心为(k∈Z)，∴可令2x＋＝(k∈Z)，解得x＝－＋(k∈Z)．因此，函数y＝tan的对称中心为(k∈Z)．答案：(k∈Z)12．在△ABC中，sinA＋cosA＝，AC＝4，AB＝5，则△ABC的面积是________．解析：根据题意，由于△ABC中，sinA＋cosA＝⇔sin＝⇔sin＝⇒A＋＝，所以A＝.△ABC的面积为S＝×4×5×sin＝.答案：13．f(x)＝2sin2－cos2x－1，x∈，则f(x)的最小值为________．解析：f(x)＝2sin2－cos2x－1＝1－cos2－cos2x－1＝－cos－cos2x＝sin2x－cos2x＝2sin，因为≤x≤，所以≤2x－≤，所以≤sin≤1，所以1≤2sin≤2，即1≤f(x)≤2，所以f(x)的最小值为1.答案：114．在△ABC中，已知tan＝sinC，给出以下四个结论：9\n①＝1；②1<sinA＋sinB≤；③sin2A＋cos2B＝1；④cos2A＋cos2B＝sin2C.其中正确的是________．解析：tan＝＝＝2sincos，∴sin2＝，sin＝.∵∈，∴＝，∴C＝，即△ABC是以角C为直角的直角三角形．对于①，由＝1，得tanA＝tanB，即A＝B，不一定成立，故①不正确；对于②，∵A＋B＝，∴sinA＋sinB＝sinA＋cosA＝sin，∴1<sinA＋sinB≤，故②正确；对于③，∵A＋B＝，∴sin2A＋cos2B＝sin2A＋sin2A＝2sin2A，其值不确定，故③不正确；对于④，∵A＋B＝，∴cos2A＋cos2B＝cos2A＋sin2A＝1＝sin2C，故④正确．答案：②④三、解答题(共4小题，共44分，解答应写出必要的文字说明、计算过程或证明步骤．)15．(10分)(2014·大纲全国卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3acosC＝2ccosA，tanA＝，求B.解：由题设和正弦定理得3sinAcosC＝2sinCcosA.由3tanAcosC＝2sinC，因为tanA＝，所以cosC＝2sinC，tanC＝.所以tanB＝tan[180°－(A＋C)]＝－tan(A＋C)＝＝－1，即B＝135°.16．(10分)已知0<α<<β<π，tan＝，cos(β－α)＝.(1)求sinα的值；(2)求β的值．解：(1)∵tan＝，∴tanα＝＝＝，由9\n解得sinα＝.(2)由(1)知cosα＝＝＝，又0<α<<β<π，∴β－α∈(0，π)，而cos(β－α)＝，∴sin(β－α)＝＝＝，于是sinβ＝sin[α＋(β－α)]＝sinαcos(β－α)＋cosαsin(β－α)＝×＋×＝.又β∈，∴β＝.17．(12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2b－c)cosA－acosC＝0.(1)求角A的大小；(2)若a＝，S△ABC＝，试判断△ABC的形状，并说明理由．解：(1)法1：由(2b－c)cosA－acosC＝0及正弦定理，得(2sinB－sinC)cosA－sinAcosC＝0，∴2sinBcosA－sin(A＋C)＝0，sinB(2cosA－1)＝0.∵0<B<π，∴sinB≠0，∴cosA＝.∵0<A<π，∴A＝.法2：由(2b－c)cosA－acosC＝0，及余弦定理，得(2b－c)·－a·＝0，整理，得b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝＝，9\n∵0<A<π，∴A＝.(2)△ABC为等边三角形．∵S△ABC＝bcsinA＝，即bcsin＝，∴bc＝3，①∵a2＝b2＋c2－2bccosA，a＝，A＝，∴b2＋c2＝6，②由①②得b＝c＝，∴△ABC为等边三角形．18．(12分)(2014·重庆卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f＝，求cos的值．解：(1)因f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.又因f(x)的图象关于直线x＝对称，所以2·＋φ＝kπ＋，k＝0，±1，±2，….因－≤φ<得k＝0，所以φ＝－＝－.(2)由(1)得f＝sin＝，所以sin＝.由<α<得0<α－<，所以cos＝＝＝.9\n因此cos＝sinα＝sin＝sincos＋cossin＝×＋×＝.9
