课时作业(四) 函数及其表示一、选择题1．(2013·山东)函数f(x)＝＋的定义域为( )A．(－3,0] B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1]答案：A解析：由函数解析式可知，若使该函数有意义，只需解不等式组得解集为(－3,0]，故函数的定义域为(－3,0]，故应选A.2．若函数f(x)＝([x]表示不大于x的最大整数，如[1.1]＝1)，则f(8.8)＝( )A．8B．4C．2D．1答案：B解析：f(8.8)＝f(8)＝8＝4.故应选B.3．(2014·江西)已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R)．若f(g(1))＝1，则a＝( )A．1B．2C．3D．－1答案：A解析：∵g(x)＝ax2－x，∴g(1)＝a－1.∵f(x)＝5|x|，∴f(g(1))＝f(a－1)＝5|a－1|＝1，∴|a－1|＝0，∴a＝1.故应选A.4．(2015·江西师大附中、鹰潭一中联考)已知函数f(x)＝则f(log27)＝( )A.B．C．D．答案：C解析：因为log27>1，log2>1,0<log2<1，所以f(log27)＝f(log27－1)＝f＝f＝f＝2log2＝.故应选C.5．(2015·枣庄模拟)如图是张大爷晨练时所走的离家距离(y5\n)与行走时间(x)之间的函数关系的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )答案：D解析：由y与x的关系知，在中间时间段y值不变，只有D符合题意．故应选D.6．已知函数f(x)＝若af(－a)>0，则实数a的取值范围是( )A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)答案：A解析：由分段函数解析式，得af(－a)>0等价于或解得不等式解集为(－1,0)∪(0,1)．故应选A.二、填空题7．(2015·江西师大附中模拟)已知函数f(x－2)＝则f(1)＝________.答案：10解析：令x－2＝1，则x＝3，∴f(1)＝1＋32＝10.8．(2015·盘锦模拟)函数f(x)＝若f(1)＋f(a)＝2，则a的所有可能值为________．答案：－和1解析：当－1<a<0时，f(1)＋f(a)＝1＋sin(πa2)＝2，∴sin(πa2)＝1，∴πa2＝2kπ＋，k∈Z，∴a＝±，k∈Z，又－1<a<0，∴a＝－.当a≥0时，f(1)＋f(a)＝1＋ea－1＝2，∴ea－1＝1，∴a＝1.综上，a的所有可能值为－和1.9．若定义在正整数有序数对集合上的二元函数f满足：5\n①f(x，x)＝x，②f(x，y)＝f(y，x)，③(x＋y)·f(x，y)＝y·f(x，x＋y)．则f(12,16)的值是________．答案：48解析：由③(x＋y)·f(x，y)＝y·f(x，x＋y)，易得f(x，x＋y)＝·f(x，y)．结合①②，得f(12,16)＝f(12,12＋4)＝f(12,4)＝4f(4,12)＝4f(4,4＋8)＝4××f(4,8)＝6×f(4,4＋4)＝6×f(4,4)＝12f(4,4)＝12×4＝48.10．定义：区间[x1，x2](x1<x2)的长度为x2－x1.已知函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1,2]，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为________．答案：1解析：[a，b]的长度取得最大值时[a，b]＝[－1,1]，区间[a，b]的长度取得最小值时[a，b]可取[0,1]或[－1,0]，因此区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为1.三、解答题11．函数f(x)对一切实数x，y均有f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x成立，且f(1)＝0.(1)求f(0)的值；(2)求f(x)的解析式．解：(1)∵f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x，令x＝1，y＝0，得f(1)－f(0)＝2.又∵f(1)＝0，∴f(0)＝－2.(2)令y＝0，得f(x)－f(0)＝(x＋1)x.∴f(x)＝x2＋x－2.12．如果对任意实数x，y，都有f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且f(1)＝2.(1)求f(2)，f(3)，f(4)的值；(2)求＋＋＋…＋＋＋的值．解：(1)∵对任意实数x，y，都有f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且f(1)＝2，∴f(2)＝f(1＋1)＝f(1)·f(1)＝22＝4，5\nf(3)＝f(2＋1)＝f(2)·f(1)＝23＝8，f(4)＝f(3＋1)＝f(3)·f(1)＝24＝16.(2)由(1)，知＝2，＝2，＝2，…，＝2.故原式＝2×1007＝2014.13．如图所示，在梯形ABCD中，AB＝10，CD＝6，AD＝BC＝4，动点P从点B开始沿着折线BC，CD，DA前进至A，若点P运动的路程为x，△PAB的面积为y.(1)写出y＝f(x)的解析式，指出函数的定义域；(2)画出函数的图象并写出函数的值域．解：(1)由题意可求∠B＝60°，如图所示，①当点P在BC上运动时，如图①所示，y＝×10×(xsin60°)＝x,0≤x≤4.②当点P在CD上运动时，如图②所示，y＝×10×4sin60°＝10，4<x≤10.③当点P在DA上运动时，如图③所示，y＝×10×(14－x)sin60°＝－x＋35，10<x≤14.综上所得，函数的解析式为y＝(2)函数y＝f(x)的图象如图所示．5\n由图象可知，函数y＝f(x)的图象上所有点的纵坐标的取值范围是0≤y≤10.所以函数y＝f(x)的值域为[0,10]．5
