2013高校自主招生数学模拟试题（一）一、选择题：本大题共7小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。1、非空集合满足：当时，有.给出如下三个命题：①若，则；②若，则；③若，则其中正确命题的个数是A、]B、C、D、2、已知分别满足则A、]B、C、D、3、如图，四边形内接于以为直径的⊙，已知：，则线段的长是…………………（）A、B、7C、4+3D、3+44、如果那么的取值范围是A、]B、C、D、5、若今天是星期二，则天之后是A.星期四B.星期三C.星期二D.星期一6．过椭圆C：上任一点P，作椭圆C的右准线的垂线PH（H为垂足），延长PH到点Q，使|HQ|=λ|PH|(λ≥1)。当点P在椭圆C上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．7.已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过椭圆的右焦点作一条直线l交椭圆于点P、Q，则△F1PQ内切圆面积的最大值是．ABCD9\n二、填空题：（共3小题，每题4分）8、设虚数则9、有4种不同颜色的小球各5个，从这20个小球中任意取出5个，取出的这5个小球中，恰有2种或3种颜色的所有取法是10、将半径为R的球内部装入4个半径为r的小球，则小球半径r可能的最大值是三、解答题（共5题，共60分）11、（本题10分）若且求证：12、（本题10分）已知是内任一点，且满足求的取值范围.9\n13、（本题10分）有A、B两人，他们每人拿了一张卡片，这两张卡片都写着一个正整数，已知两数之差为1。但每人只能看见对方手里的数字而不知道自己的。下面是他们两人的一段对话：A:我不知道我拿的是什么数。B:我也不知道我拿的是什么数。A:我还是不知道我拿的是什么数。B:我也还是不知道我拿的是什么数。A:我也还是不知道我拿的是什么数。B:我现在知道我拿的是什么数了。A:我也知道我拿的是什么数了。请判断两人拿的分别是什么数？9\n14、（本题15分）给定两个数列，满足，，。证明对于任意的自然数n，都存在自然数，使得。9\n15、（本题15分）已知椭圆，过其左焦点作一条直线交椭圆于A，B两点，D为右侧一点，连AD、BD分别交椭圆左准线于M,N。若以MN为直径的圆恰好过，求a的值。模拟试题（一）参考答案9\n1-7题：DBDCBCD8、3或04、6．设P(x1,y1)，Q(x,y)，因为右准线方程为x=3，所以H点的坐标为(3,y)。又∵HQ=λPH，所以，所以由定比分点公式，可得：，代入椭圆方程，得Q轨迹为，所以离心率e=。选C。9\n7、因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍，且△F1PQ的周长是定值8，所以只需求出△F1PQ面积的最大值。设直线l方程为，与椭圆方程联立得，设，，则，，于是。因为，所以内切圆半径，因此其面积最大值是。9\n14、解答：由已知得到：为等比数列，首项为2，公比为2，所以。又由已知，由，所以取即可。13、答案解析：答案是A为6、B为7。理由：1、“A:我不知道我拿的是什么数。”说明B手上至少是2。(如是1则A为2)2、“B:我也不知道我拿的是什么数。”说明A手上至少是3。(如是1则B为2，如是2则B为3)3、“A:我还是不知道我拿的是什么数。”说明B手上至少是4。(如是2则A为3，如是3则A为4)4、“B:我也还是不知道我拿的是什么数。”说明A手上至少是5。(如是3则B为4，如是4则B为5)9\n5、“A:我也还是不知道我拿的是什么数。”说明B手上至少是6。(如是4则A为5，如是5则B为6)6、“B:我现在知道我拿的是什么数了。”说明A手上是6。(如是7以上则B不知自己的是什么)7、“A:我也知道我拿的是什么数了。”说明B只可能是7。15、解答：。设，由得设。由M、A、D共线。又，得=整理得。9
