多选题专练专练(一) 不等式多选题1.下列说法正确的有( )A.若a>b，则ac2>bc2B.若>，则a>bC.若a>b，则2a>2bD.若a>b，则a2>b2解析 对于A，若c＝0，则ac2＝bc2，故A不正确.对于B，若>，则c≠0，则c2>0，则·c2>·c2，化简得a>b，故B正确.对于C，若a>b，则根据指数函数y＝2x在R上单调递增，得2a>2b，故C正确.对于D，取a＝－1，b＝－2，则a2＝1<b2＝4，故D不正确.故选BC.答案 BC2.给出下面四个推断，其中正确的是( )A.若a，b∈(0，＋∞)，则＋≥2B.若x，y∈(0，＋∞)，则lgx＋lgy≥2C.若a∈R，a≠0，则＋a≥4D.若x，y∈R，xy<0，则＋≤－2解析 对于A，因为a，b∈(0，＋∞)，所以＋≥2＝2，当且仅当＝，即a＝b时取等号，故A正确.对于B，当x，y∈(0，1)时，lgx，lgy∈(－∞，0)，lgx＋lgy≥2显然不成立，故B错误；对于C，当a<0时，＋a≥4显然不成立，故C错误；对于D，xy<0，则－>0，－>0，则＋＝－≤－2＝－2，当且仅当－＝－，即x＝－y时取等号，故D正确.故选AD.答案 AD\n3.若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式中正确的有( )A.ab≤1B.＋≤C.a2＋b2≥2D.＋≥2解析 由题意得a>0，b>0，a＋b＝2.对于A，由基本不等式可得ab≤＝1，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，故A正确；对于B，当a＝b＝1时，＋＝2>，故B错误；对于C，因为a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b＝1时取等号，所以2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝4，即a2＋b2≥2，故C正确；对于D，＋≥≥2，当且仅当a＝b＝1时，等号同时成立，故D正确.答案 ACD4.若a>1，b>1，且ab－(a＋b)＝1，则( )A.a＋b有最小值2＋2B.a＋b有最大值2＋2C.ab有最大值1＋D.ab有最小值3＋2解析 由ab－(a＋b)＝1，得ab＝1＋(a＋b)≤(当且仅当a＝b时取等号)，即(a＋b)2－4(a＋b)－4≥0，且a＋b>2，解得a＋b≥2＋2，∴a＋b有最小值2＋，故A正确；由ab－(a＋b)＝1得，ab－1＝a＋b≥2(当且仅当a＝b时取等号)，即ab－2－1≥0，且ab>1，解得ab≥3＋2，∴ab有最小值3＋2，故D正确.故选AD.答案 AD专练(二) 平面向量多选题1.已知向量a，b是同一平面α内的两个向量，则下列结论正确的是( )A.若存在实数λ，使得b＝λa，则a与b共线B.若a与b共线，则存在实数λ，使得b＝λaC.若a与b不共线，则对平面α内的任意向量c，均存在实数λ，μ，使得c＝λa＋μbD.若对平面α内的任意向量c，均存在实数λ，μ，使得c＝λa＋μb，则a与b不共线解析 根据平面向量共线的知识可知A正确.对于B，若a与b共线，可能a＝0，当b为非零向量时，不存在实数λ，使得b＝λa，所以B错误.\n根据平面向量基本定理可知C、D正确.故选ACD.答案 ACD2.设向量a＝(k，2)，b＝(1，－1)，则下列叙述错误的是( )A.若k<－2，则a与b的夹角为钝角B.|a|的最小值为2C.与b共线的单位向量只有一个为D.若|a|＝2|b|，则k＝2或－2解析 对于A，若a与b的夹角为钝角，则a·b<0且a与b不共线，则k－2<0且k≠－2，解得k<2且k≠－2，A正确；对于B，|a|＝≥＝2，当且仅当k＝0时等号成立，B正确；对于C，|b|＝，与b共线的单位向量为±，即与b共线的单位向量为或，C错误；对于D，∵|a|＝2|b|＝2，∴＝2，解得k＝±2，D错误.故选CD.答案 CD3.已知△ABC是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC，AB上的两点，且＝，＝2，BD与CE交于点O，则下列说法正确的是( )A.·＝－1B.＋＝0C.|＋＋|＝D.在方向上的投影为解析 因为＝，△ABC是等边三角形，所以CE⊥AB，所以·＝0，A错误.以E为坐标原点，，的方向分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，\n所以E(0，0)，A(1，0)，B(－1，0)，C(0，)，D，设O(0，y)，y∈(0，)，则＝(1，y)，＝，又∥，所以y－＝－y，解得y＝，即O是CE的中点，＋＝0，所以B正确.|＋＋|＝|2＋|＝||＝，所以C正确.＝，＝(1，)，在方向上的投影为＝＝，所以D正确.故选BCD.答案 BCD4.P为△ABC所在平面内一点，下列结论正确的是( )A.若＋＋＝0，则P为△ABC的重心B.若·＝·＝·，则P为△ABC的内心C.若＝λ，则点P的轨迹一定通过△ABC的垂心D.若||＝||＝||，则P为△ABC的外心解析 对于A，若＋＋＝0，则＋＝－，以，为邻边作平行四边形PADB，M为PD的中点，则＋＝，所以＝－，又＝2，所以||＝2||，所以P为△ABC的重心，故A正确；对于B，由·＝·，则·－·＝0，即·(－)＝0，即·＝0，所以BP⊥CA，同理由·＝·，可得PA⊥BC，所以P为△ABC的垂心，故B错误；对于C，在边AB，AC上分别取点E，F，使＝，＝，则||＝||＝1，以AE，AF为邻边作平行四边形AEGF，则四边形AEGF\n为菱形，连接AG，则AG为∠BAC的角平分线，由＝λ，所以点P在角平分线AG上，所以点P的轨迹一定通过△ABC的内心，故C错误；对于D，若||＝||＝||，则点P到△ABC的顶点的距离相等，所以P为△ABC的外心，故D正确.故选AD.答案 AD专练(三) 三角函数、解三角形多选题1.已知函数f(x)＝2|cosx|sinx＋sin2x，下列结论正确的是( )A.函数f(x)的图象关于直线x＝对称B.函数f(x)在区间上单调递增C.函数f(x)的最小正周期是πD.函数f(x)的值域为[－2，2]解析 对于A，函数f(x)＝2|cosx|sinx＋sin2x，因为f＝－2，f＝0，所以f≠f，所以函数f(x)的图象不关于直线x＝对称，故A错误；对于B，当x∈时，2x∈，cosx>0，所以f(x)＝2cosxsinx＋sin2x＝2sin2x，所以函数f(x)在区间上单调递增，故B正确；对于C，因为f＝，f＝f＝0，所以f≠f，所以函数f(x)的最小正周期不是π，故C错误；对于D，当cosx≥0时，f(x)＝2cosxsinx＋sin2x＝2sin2x，其最大值为2，最小值为－2，当cosx<0时，f(x)＝－2cosxsinx＋sin2x＝0，所以函数f(x)的值域为[－2，2]，故D正确.故选BD.答案 BD2.已知α，β，γ∈，sinα＋sinγ＝sinβ，cosβ＋cosγ＝cosα，则下列说法正确的是( )A.cos(β－α)＝B.cos(β－α)＝－C.β－α＝D.β－α＝－解析 由已知，得sinγ＝sinβ－sinα，cosγ＝cosα－cosβ.两式分别平方相加，得(sinβ－sinα)2＋(cosα－cosβ)2＝1，∴－2cos(β－α)＝－1，∴cos(β－α)＝，\n∴A正确，B错误.∵α，β，γ∈，∴sinγ＝sinβ－sinα>0，∴β>α，∴β－α＝，∴C正确，D错误.故选AC.答案 AC3.已知函数f(x)＝cos－cosωx(0<ω<3)的图象过点P，若要得到一个偶函数的图象，则需将函数f(x)的图象( )A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度解析 f(x)＝sinωx－cosωx＝2sin，又P在函数f(x)的图象上，∴ω－＝kπ(k∈Z)，ω＝3k＋，又0<ω<3，∴ω＝，f(x)＝2sin.当将f(x)图象向右平移个单位时，得y＝2sin的图象，即y＝2sin＝－2cos为偶函数，同理当f(x)向左平移个单位时，得y＝2cos为偶函数.答案 BC4.已知等边三角形ABC的边长为3，点D在BC边上，且BD>CD，AD＝.下列结论中正确的是( )A.＝2B.＝2C.＝2D.＝2解析 如图所示，∵点D在BC边上，且BD>CD，∴BD>BC＝，由余弦定理得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos，整理得BD2－3BD＋2＝0，又BD>，解得BD＝2，∴CD＝1，∴＝2，故A正确；∵＝＝2，故B正确；由余弦定理得cos∠BAD＝＝，同理可得cos∠CAD＝，则＝×＝≠2，故C错误；由正弦定理得\n＝＝，∴＝＝2，故D正确.故选ABD.答案 ABD专练(四) 数列多选题1.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6>S7>S5，则下列说法正确的是( )A.d<0B.S11>0C.S12<0D.数列{Sn}中的最大项为S11解析 由S6>S7，得S7－S6＝a7<0.由S7>S5，得S7－S5＝a6＋a7>0.由S6>S5，得S6－S5＝a6>0.对于A，因为a6>0，a7<0，所以d<0，故A正确；对于B，因为S11＝11a6>0，故B正确；对于C，因为S12＝＝6(a6＋a7)>0，故C错误；对于D，因为a6>0，a7<0，所以数列{Sn}中的最大项为S6，故D错误.故选AB.答案 AB2.在等比数列{an}中，公比q为整数，Sn是数列{an}的前n项和.若a1·a4＝32，a2＋a3＝12，则下列说法正确的是( )A.q＝2B.数列{Sn＋2}是等比数列C.S8＝510D.数列{lgan}是公差为2的等差数列解析 因为{an}为等比数列，且a1·a4＝32，所以a2·a3＝32.又a2＋a3＝12，所以或又公比q为整数，所以即an＝2n，Sn＝＝2n＋1－2.对于A，由上可得q＝2，故A正确；对于B，因为Sn＋2＝2n＋1，所以＝＝2，则数列{Sn＋2}是等比数列，故B正确；对于C，S8＝29－2＝510，故C正确；对于D，lgan\n＋1－lgan＝lg2，即数列{lgan}是公差为lg2的等差数列，故D错误.故选ABC.答案 ABC3.已知数列{an}满足a1＝2，(2n－1)an＋1＝(2n＋1)an(n∈N*)，则( )A.an＝3n－1B.an＝4n－2C.Sn＝n2D.Sn＝2n2解析 由题意得＝，所以an＝a1···…·＝2···…·＝4n－2，则数列{an}为等差数列，即Sn＝＝＝2n2，故选BD.答案 BD4.已知数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且Sn＝2(an－a)(其中a为常数)，则下列说法正确的是( )A.数列{an}一定是等比数列B.数列{an}可能是等差数列C.数列{Sn}可能是等比数列D.数列{Sn}可能是等差数列解析 由题意知，Sn＝2(an－a)，Sn－1＝2(an－1－a)，n∈N*，n≥2，两式相减得an＝2an－2an－1，所以an＝2an－1，n≥2.若a＝0，令n＝1，则a1＝2(a1－0)，a1＝0，则an＝0，此时是等差数列，不是等比数列，若a≠0，令n＝1，则a1＝2(a1－a)，a1＝2a，则an＝2an－1，n≥2，此时不是等差数列，所以数列{an}不一定是等比数列，可能是等差数列，故A错误，B正确；又Sn＝2(an－a)＝2(Sn－Sn－1－a)，n≥2，n∈N*，得Sn＝2Sn－1＋2a，若a＝0，令n＝1，则a1＝2(a1－0)，a1＝0，则an＝0，Sn＝0，此时{Sn}是一个所有项均为0的常数列，所以{Sn}不可能为等比数列，所以C错误，D正确.故选BD.答案 BD专练(五) 立体几何多选题1.已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是( )A.若m∥n，m⊥α，则n⊥αB.若m∥α，α∩β＝n，则m∥nC.若m⊥α，m⊥β，则α∥βD.若m⊥α，m∥n，n∥β，则α∥β\n解析 由m∥n，m⊥α，可得n⊥α，A正确；若m∥α，α∩β＝n，则m与n的位置关系不确定，B不正确；由m⊥α，m⊥β，得α∥β，C正确；由m⊥α，m∥n，n∥β，得α⊥β，D不正确.故选AC.答案 AC2.(2020·青岛模拟)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则下列四个命题正确的是( )A.直线BC与平面ABC1D1所成的角等于B.点C到平面ABC1D1的距离为C.异面直线D1C和BC1所成的角为D.三棱柱AA1D1－BB1C1的外接球的半径为解析 对于A，直线BC与平面ABC1D1所成的角为∠CBC1＝，A正确.对于B，连接B1C.因为B1C⊥平面ABC1D1，所以点C到平面ABC1D1的距离为B1C的一半，即为，B正确.对于C，因为BC1∥AD1，所以异面直线D1C和B1C所成的角为∠AD1C.连接AC，则△AD1C为等边三角形，则异面直线D1C和BC1所成的角为，C错误.对于D，因为A1A，A1B1，A1D1两两垂直，所以三棱柱AA1D1－BB1C1的外接球也是正方体ABCD－A1B1C1D1的外接球，所以外接球的半径r＝＝，D正确.故选ABD.答案 ABD3.(2020·东营调研)如果一个棱锥的底面是正方形，且顶点在底面内的射影是底面的中心，那么这样的棱锥叫正四棱锥.若一正四棱锥的体积为18，则当该正四棱锥的侧面积最小时，以下结论正确的是( )A.棱锥的高与底面边长的比为B.侧棱与底面所成的角为C.棱锥的高与底面边长的比为\nD.侧棱与底面所成的角为解析 如图，O为正四棱锥S－ABCD的底面中心，连接SO，则SO是正四棱锥S－ABCD的高.设点E为BC的中点，连接OE，SE.设该正四棱锥的高为h，底面边长为a，则VS－ABCD＝a2h＝18，即h＝，所以该正四棱锥的侧面积为4S△SBC＝4×BC×SE＝4×a×＝2a＝.令f(a)＝a4＋(a>0)，则f′(a)＝4a3－.令f′(a)＝0，得a＝3.当a∈(0，3)时，f′(a)<0，f(a)单调递减，当a∈(3，＋∞)时，f′(a)>0，f(a)单调递增，所以当a＝3时，f(a)取得最小值，即该正四棱锥的侧面积最小，此时h＝3.所以棱锥的高与底面边长的比为，A正确，C错误.连接AO，则侧棱与底面所成的角为∠SAO，由a＝3，得AO＝3，而h＝3，所以∠SAO＝，B正确，D错误.故选AB.答案 AB4.如图(1)，点M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，将此菱形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，如图(2)，则在翻折过程中，下列结论正确的有( )A.MN∥BDB.MN∥平面ABDC.异面直线AC与MN所成的角为定值\nD.在二面角D－AC－B逐渐变小的过程中，三棱锥D－ABC的外接球的半径先变小后变大解析 因为点M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，所以MN为△BCD的中位线，所以MN∥BD，A正确.又因为MN⊄平面ABD，BD⊂平面ABD，所以MN∥平面ABD，B正确.对于C，如图，取AC的中点O，连接DO，BO，则AC⊥DO，AC⊥BO.因为BO∩DO＝O，BO，DO⊂平面BOD，所以AC⊥平面BOD，所以AC⊥BD.因为MN∥BD，所以AC⊥MN，即异面直线AC与MN所成的角为定值，C正确.对于D，借助极限状态，当平面DAC与平面ABC重合时，三棱锥D－ABC的外接球的球心是△ABC的外接圆的圆心，球的半径是△ABC的外接圆的半径，当二面角D－AC－B逐渐变大时，球心离开平面ABC，但是球心在平面ABC的投影仍然是△ABC的外接圆的圆心，所以二面角D－AC－B不为0时，外接球的半径一定大于△ABC的外接圆的半径，故二面角D－AC－B逐渐变小的过程中，三棱锥D－ABC的外接球的半径不可能先变小后变大，D错误.答案 ABC专练(六) 概率与统计多选题1.(2020·济南一模)原油价格的走势在一定程度上反映了全球的经济形势，下面是2008年至2019年国际原油价格高低的对比图.下列说法正确的是( )A.2008年原油价格波动幅度最大B.2008年至2019年，原油价格平均值不断变小C.2013年原油价格平均值一定大于2008年原油价格平均值D.2008年至2019年，原油价格波动幅度均不小于20美元/桶解析 \n由折线统计图，知2008年原油价格最低小于40美元/桶，最高大于140美元/桶，这样价格波动超过100美元/桶，而其他年份都没有这么大，所以2008年原油价格波动幅度最大，A正确；2008年至2019年，原油价格平均值有起伏，B不正确；2008年原油价格最低小于40美元/桶，最高大于140美元/桶，这样2008年原油价格平均值在90美元/桶左右，而2013年原油价格最低大于100美元/桶，最高大于110美元/桶，接近120美元/桶，因此2013年原油价格平均值在110美元/桶左右，所以2013年原油价格平均值一定大于2008年原油价格平均值，C正确；2013年、2016年原油价格波动幅度均小于20美元/桶，D不正确.故选AC.答案 AC2.某国产杀毒软件的比赛规则为每个软件进行四轮考核，每轮考核中能够准确对病毒进行查杀的进入下一轮考核，否则被淘汰.已知某个软件在四轮考核中能够准确杀毒的概率依次是，，，，且各轮考核能否通过互不影响，则( )A.该软件通过考核的概率为B.该软件在第三轮考核被淘汰的概率为C.该软件至少能够通过两轮考核的概率为D.该软件至多进入第三轮考核的概率为解析 设事件Ai(i＝1，2，3，4)表示“该软件能通过第i轮考核”，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝.该软件通过考核的概率为P(A1A2A3A4)＝P(A1)·P(A2)P(A3)P(A4)＝×××＝，A正确；该软件在第三轮考核被淘汰的概率为P(A1A23)＝P(A1)P(A2)P(3)＝××＝，B正确；该软件至少能够通过两轮考核的概率为1－P(1)－P(A12)＝1－－×＝，C不正确；该软件至多进入第三轮考核的概率为P(1＋A12＋A1A23)＝P(1)＋P(A12)＋P(A1A23)＝＋×＋××＝，D正确.故选ABD.答案 ABD3.已知随机变量X的分布列如表所示，则当a变化时，下列说法正确的是( )X0123P－aaA.E(X)随着a的增大而增大\nB.E(X)随着a的增大而减小C.D(X)随着a的增大而减小D.D(X)随着a的增大而增大解析 由题意知，E(X)＝0×＋1×＋2a＋3×＝1＋a，显然E(X)随着a的增大而增大.D(X)＝(1＋a－0)2×＋(1＋a－1)2×＋(1＋a－2)2×a＋(1＋a－3)2×＝－a2＋a＋1＝－＋，又－a>0，a>0，所以0<a<，所以D(X)随着a的增大而增大，故选AD.答案 AD4.某车站在某一时刻有9位旅客出站，假设每位旅客选择共享单车继续出行的概率都为，且每位旅客之间互不影响.设在这一时刻9位旅客中恰有k人骑行共享单车的概率为P(x＝k)，则( )A.P(x＝4)＝P(x＝5)B.P(x＝4)>P(x＝5)C.P(x＝5)>P(x＝6)D.P(x＝5)＝P(x＝6)解析 由题意得，P(x＝4)＝C，P(x＝5)＝C·，P(x＝6)＝C.因为C＝C，所以P(x＝4)＝P(x＝5)，故A正确，B错误.又C>C，所以P(x＝5)>P(x＝6)，故C正确，D错误.故选AC.答案 AC专练(七) 解析几何多选题1.已知圆O1的方程为x2＋y2＝4，圆O2的方程为(x－a)2＋y2＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么实数a的可能取值是( )A.－1B.1C.3D.5解析 由题意得两圆内切或外切，∴|O1O2|＝2＋1或|O1O2|＝2－1，∴|a|＝3或|a|＝1，∴a＝±3，或a＝±1.故选ABC.答案 ABC2.设椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上任意一点，则下列结论正确的是( )A.|PF1|＋|PF2|＝4B.离心率e＝\nC.△PF1F2面积的最大值为4D.以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－2＝0相切解析 对于A，由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，所以A正确.对于B，依题意知a＝2，b＝2，c＝2，所以e＝＝＝，所以B不正确；或者由椭圆的离心率0<e<1知B不正确.对于C，|F1F2|＝2c＝4，当P为椭圆短轴的端点时，△PF1F2的面积取得最大值，最大值为×2c·b＝c·b＝4，所以C错误.对于D，以线段F1F2为直径的圆的圆心为(0，0)，半径为2，圆心到直线x＋y－2＝0的距离为＝2，也即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－2＝0相切，所以D正确.故选AD.答案 AD3.已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点.若|PF1|＝2|PF2|，且△PF1F2的最小内角为30°，则( )A.双曲线的离心率为B.双曲线的渐近线方程为y＝±xC.∠PAF2＝45°D.直线x＋2y－2＝0与双曲线有两个公共点解析 因为|PF1|＝2|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.又因为2c>2a，4a>2a，所以∠PF1F2＝30°，所以cos∠PF1F2＝＝，解得c＝a，所以e＝，故A正确；e2＝＝＝3，所以＝2，即＝±，所以渐近线方程为y＝±x，故B正确；因为2c＝2a，所以|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，所以∠PF2F1＝90°，又因为|AF2|＝c＋a＝(＋1)a，|PF2|＝2a，所以|AF2|≠|PF2|，所以∠PAF2≠45°，故C错误；联立直线方程与双曲线方程化简得7y2－16y＋8－2a2＝0，Δ＝(－16)2－4×7×(8－2a2)＝32＋56a2>0，所以直线x＋2y－2＝0与双曲线有两个公共点，故D正确.故选ABD.答案 ABD4.过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，M为线段AB的中点，则( )A.以线段AB为直径的圆与直线x＝－相离B.以线段BM为直径的圆与y轴相切\nC.当＝2时，|AB|＝D.|AB|的最小值为4解析 对于A，点M到准线x＝－1的距离为(|AF|＋|BF|)＝|AB|，于是以线段AB为直径的圆与直线x＝－1相切，进而与直线x＝－相离，A正确；对于B，显然线段BM中点的横坐标与|BM|不一定相等，因此B错误；对于C，D，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝my＋1，联立直线与抛物线方程，消去x，得y2－4my－4＝0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，x1x2＝(my1＋1)·(my2＋1)＝m2y1y2＋m(y1＋y2)＋1＝－4m2＋4m2＋1＝1，若设A(4a2，4a)，则B，于是|AB|＝x1＋x2＋2＝4a2＋＋2≥4，|AB|的最小值为4；当＝2时，可得y1＝－2y2，4a＝－2，所以a2＝，|AB|＝.故选ACD.答案 ACD专练(八) 函数与导数多选题1.若函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足f(x)＋2g(x)＝ex，则( )A.f(x)＝B.g(x)＝C.f(－2)<g(－1)D.g(－1)<f(－3)解析 因为函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足f(x)＋2g(x)＝ex ①，所以f(－x)＋2g(－x)＝e－x，即f(x)－2g(x)＝e－x ②.联立①②得解得所以f(－2)＝，f(－3)＝，g(－1)＝<0，所以g(－1)<f(－2)，g(－1)<f(－3)，故选AD.答案 AD2.若函数exf(x)(e＝2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质.下列函数中不具有M性质的是( )A.f(x)＝2－xB.f(x)＝x2C.f(x)＝3－xD.f(x)＝cosx\n解析 设函数g(x)＝ex·f(x)，对于A，g(x)＝ex·2－x＝，在定义域R上为增函数，A正确.对于B，g(x)＝ex·x2，则g′(x)＝x(x＋2)ex，由g′(x)>0得x<－2或x>0，∴g(x)在定义域R上不是增函数，B不正确.对于C，g(x)＝ex·3－x＝在定义域R上是减函数，C不正确.对于D，g(x)＝ex·cosx，则g′(x)＝excos，g′(x)>0在定义域R上不恒成立，D不正确.答案 BCD3.已知函数f(x)对∀x∈R，满足f(x)＝－f(6－x)，f(x＋1)＝f(－x＋1).若f(a)＝－f(2020)，a∈[5，9]，且f(x)在[5，9]上为单调函数，则下列结论正确的是( )A.f(3)＝0B.a＝8C.f(x)是周期为4的周期函数D.y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称解析 因为f(x)＝－f(6－x)，所以f(3)＝－f(6－3)＝－f(3)，所以f(3)＝0，A正确.由f(x＋1)＝f(－x＋1)，用x代替－x＋1后可得f(x)＝f(2－x)，则f(x)＝－f(6－x)＝f(2－x).再由x代替2－x后可得f(x)＝－f(x＋4)，则f(x＋4)＝－f(x)，所以f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，因此函数f(x)是周期为8的周期函数，C不正确.f(a)＝－f(2020)＝－f(252×8＋4)＝－f(4)＝－f(6－2)＝f(2)＝f(1＋1)＝f(－1＋1)＝f(0)＝f(8).又a∈[5，9]，且f(x)在[5，9]上为单调函数，所以a＝8，B正确.由f(x＋1)＝f(－x＋1)，得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，D不正确.故选AB.答案 AB4.若0<x1<x2<1，则下列判断错误的是( )A.ex2－ex1>lnx2－lnx1B.ex2－ex1<lnx2－lnx1C.x2ex1>x1ex2D.x2ex1<x1ex2解析 构造函数f(x)＝ex－lnx，则f′(x)＝ex－，故f(x)＝ex－lnx在(0，1)上有一个极值点，即f(x)＝ex－lnx在(0，1)上不是单调函数，无法判断f(x1)与f(x2)的大小，故A、B错；构造函数g(x)＝，则g′(x)＝＝，故函数g(x)＝在(0，1)上单调递减，故g(x1)>g(x2)，x2ex1>x1ex2，故选ABD.答案 ABD
