专题检测卷(四) 概率与统计(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(2020·深圳统测)某工厂生产的30个零件编号为01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取5个进行检测.若从表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第5个零件编号为( )附：第1行至第2行的随机数表3457078636 0468960823 23457889078442125331 25300732863221183429 7864540732 52420644381223435677 3578905642A.25B.23C.12D.07解析 从随机数表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次两位两位地读取，依次抽取的零件编号分别为07，04，08，23，12，因此抽取的第5个零件编号为12.故选C.答案 C2.(2020·天津适应性测试)某市为了解全市居民日常用水量的分布情况，调查了一些居民某年的月均用水量(m3)，其频率分布表和频率分布直方图如下，则图中t的值为( )分组频数频率[0，0.5)40.04[0.5，1)80.08[1，1.5)15a[1.5，2)220.22[2，2.5)m0.25[2.5，3)140.14[3，3.5)60.06[3.5，4)40.04[4，4.5]20.02\n合计1001.00A.0.15B.0.075C.0.3D.15解析 由表格数据可得t＝15÷100÷0.5＝0.3.故选C.答案 C3.(2020·河南六市模拟)五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明的重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从这五类元素中任选两类元素，则两类元素相生的概率为( )A.B.C.D.解析 从金、木、水、火、土五类元素中任取两类，共有金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，10种结果，其中两类元素相生的有木火、火土、水木、金水、土金，共5种结果，所以两类元素相生的概率为＝.故选D.答案 D4.(2020·烟台调研)山东烟台的苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台的苹果(把苹果近似看成球体)的直径(单位：mm)服从正态分布N(80，52)，则直径在(75，90]内的概率为( )[附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544]A.0.6826B.0.8413\nC.0.8185D.0.9544解析 由题意，知μ＝80，σ＝5，则P(75<X≤85)＝0.6826，P(70<X≤90)＝0.9544，∴P(85<X≤90)＝×(0.9544－0.6826)＝0.1359，∴P(75<X≤90)＝0.6826＋0.1359＝0.8185.故直径在(75，90]内的概率为0.8185.故选C.答案 C5.甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为( )A.B.C.D.解析 根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，则所求概率是×＋×＝，故选D.答案 D6.(2020·杭州一模)已知随机变量ξ的分布列如下：ξ012Pb－aba则D(ξ)的最大值为( )A.B.C.1D.不是定值解析 由题意得b－a＋b＋a＝1，解得b＝，则E(ξ2)＝＋4a，[E(ξ)]2＝＝＋2a＋4a2，则D(ξ)＝E(ξ2)－[E(ξ)]2＝－4a2＋2a＋，则当a＝时，D(ξ)的最大值为，故选B.答案 B7.(2020·海南诊断)右图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的钉子，钉子之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层钉子碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内.若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入③号球槽的概率为( )\nA.B.C.D.解析 由题意知小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，所以p左＝p右＝.若小球最终落入③号球槽，则小球经历了5次选择，其中向左下落3次，向右下落2次，所以小球最终落入③号球槽的概率p＝C＝.故选D.答案 D8.(2020·陕西百校联盟联考)“沉鱼、落雁、闭月、羞花”是由精彩故事组成的历史典故.“沉鱼”，讲的是西施浣纱的故事；“落雁”，指的就是昭君出塞的故事；“闭月”，是述说貂蝉拜月的故事；“羞花”，谈的是杨贵妃醉酒观花时的故事.她们分别是中国古代的四大美女.某艺术团要以四大美女为主题排演一部舞蹈剧，甲、乙、丙、丁四人抽签决定扮演的对象，则甲不扮演貂蝉且乙不扮演杨贵妃的概率为( )A.B.C.D.解析 依题意，所有的扮演情况有A＝24种，其中甲不扮演貂蝉且乙不扮演杨贵妃的情况有A＋2AA＝14种，故所求概率p＝＝.故选B.答案 B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.设同时抛掷两个质地均匀且四个面分别标有1，2，3，4的正四面体一次.记事件A＝{第一个四面体向下的一面出现偶数}；事件B＝{第二个四面体向下的一面出现奇数}；事件C\n＝{两个四面体向下的一面同时出现奇数，或者同时出现偶数}.则下列说法正确的有( )A.P(A)＝P(B)＝P(C)B.P(AB)＝P(AC)＝P(BC)C.P(ABC)＝D.P(A)P(B)P(C)＝解析 由题意可知P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝＝，故A，D正确；P(AB)＝＝，P(AC)＝＝，P(BC)＝＝，故B正确；因为互斥事件不可能同时发生，所以P(ABC)＝0，故C错误.故选ABD.答案 ABD10.(2020·北京模拟)在统计中，由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，利用最小二乘法得到两个变量的回归直线方程为＝x＋，那么下面说法正确的是( )A.直线＝x＋至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个B.直线＝x＋必经过点(，)C.直线＝x＋表示接近y与x之间真实关系的一条直线D.|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小解析 回归直线＝x＋是由许多样本点拟合而成的，它可以不经过任何样本点，故A错误；回归直线＝x＋必过样本点的中心，即点(，)，故B正确；回归直线的方程＝x＋是采用最小二乘法求出的直线方程，接近真实关系，故C正确；相关系数r的绝对值越接近于1，相关程度越大，越接近于0，相关程度越小，故D正确.选BCD.答案 BCD11.(2020·济宁质检)小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间(分)随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如下表：所需时间/分30405060线路一0.50.20.20.1线路二0.30.50.10.1下列说法正确的是( )\nA.任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件B.从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间C.如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一D.若小张上下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04解析 “所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，A错误；线路一所需的平均时间为30×0.5＋40×0.2＋50×0.2＋60×0.1＝39(分)，线路二所需的平均时间为30×0.3＋40×0.5＋50×0.1＋60×0.1＝40(分)，所以线路一比线路二更节省时间，B正确；线路一所需时间小于45分钟的概率为0.7，线路二所需时间小于45分钟的概率为0.8，如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该选线路二，C错误；若上下班走不同线路，且所需时间之和大于100分钟，则线路一、线路二所需时间可以为(50，60)，(60，50)，(60，60)三种情况，概率为0.2×0.1＋0.1×0.1＋0.1×0.1＝0.04，D正确.故选BD.答案 BD12.(2020·海南新高考诊断)如图的曲线图是2020年1月25日至2020年2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，则下列判断正确的是( )A.1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了B.1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势C.2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了97例D.2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于2月6日到2月8日的增长率解析 1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例共有87例，其中西安32例，所以西安所占比例为>，故A正确.由曲线图可知，1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势，故B正确.2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了213－116＝97(例)，故C正确.2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例增长率\n＝，2月6日到2月8日西安市新冠肺炎累计确诊病例增长率＝，显然>，故D错误.故选ABC.答案 ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知某市A社区36岁至45岁的居民有450人，46岁至55岁的居民有750人，56岁至65岁的居民有900人.为了解该社区36岁到65岁居民的身体健康状况，社会负责人采用分层抽样的方法抽取若干人进行体检调查.若从46岁至55岁的居民中随机抽取了50人，则这次抽样调查抽取的人数是________.解析 抽取比例为750÷50＝15，则抽取总人数为(450＋750＋900)÷15＝2100÷15＝140.答案 14014.下表是某工厂1～4月份的用水量(单位：百吨).月份x1234用水量y5.543.53由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程为＝－0.4x＋b，则b＝________.解析 根据表中数据得＝×(1＋2＋3＋4)＝2.5，＝×(5.5＋4＋3.5＋3)＝4，点(，)在直线y＝－0.4x＋b上，代入得4＝－0.4×2.5＋b，解得b＝5.答案 515.(2020·天津适应性测试)已知某同学投篮投中的概率为，现该同学要投篮3次，且每次投篮结果相互独立，则恰投中2次的概率为________；记X为该同学在这3次投篮中投中的次数，则随机变量X的数学期望为______.(本小题第一空2分，第二空3分)解析 由题意得X～B，所以恰好投中2次的概率为C××＝，E(X)＝3×＝2.答案 216.(2020·安徽皖南八校联考)《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成(“”表示一根阳线，“”\n表示一根阴线)，从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为________.解析 观察八卦图可知，含三根阴线的共有一卦，含有三根阳线的共有一卦，含有两根阴线一根阳线的共有三卦，含有一根阴线两根阳线的共有三卦，故从八卦中任取两卦，这两卦的六根线恰好有两根阳线，四根阴线的概率为＝.答案 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)(2020·全国Ⅰ卷)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品，B级品，C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数40202020乙分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数28173421(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？解 (1)由试加工产品等级的频数分布表知，甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为＝0.4；\n乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为＝0.28.(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为利润6525－5－75频数40202020因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为＝15.由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为利润70300－70频数28173421因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为＝10.比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务.18.(本小题满分12分)(2020·济南模拟)下面给出了根据我国2012～2018年水果人均占有量y(单位：kg)和年份代码x绘制的散点图和线性回归方程的残差图.(2012～2018年的年份代码x分别为1～7)(1)根据散点图分析y与x之间的相关关系；(2)根据散点图相应数据计算得yi＝1074，xiyi＝4517，求y关于x的线性回归方程；(3)根据线性回归方程的残差图，分析线性回归方程的拟合效果.(精确到0.01)附：回归方程＝＋x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝＝\n，＝－.解 (1)从散点图可以看出，这些点的分布整体上在一条直线附近，且当x由小变大时，y也由小变大，所以y与x之间具有线性相关关系，且是正相关.(2)由题意可知，＝＝4，＝yi＝，x＝12＋22＋32＋42＋52＋62＋72＝140，∴＝＝＝≈7.89，∴＝－＝－×4≈121.86，∴y关于x的线性回归方程为＝7.89x＋121.86.(3)由残差图可以看出，图中各点比较均匀地分布在数值0所在直线附近，带状区域很窄，说明对应的回归直线拟合效果较好.19.(本小题满分12分)(2020·全国Ⅲ卷)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：锻炼人次空气质量等级 [0，200](200，400](400，600]1(优)216252(良)510123(轻度污染)6784(中度污染)720(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(3)若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的2×\n2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次>400空气质量好空气质量不好附：K2＝，P（K2≥k0）0.0500.0100.001k03.8416.63510.828解 (1)由所给数据，得该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率的估计值如下表：空气质量等级1234概率的估计值0.430.270.210.09(2)一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为(100×20＋300×35＋500×45)＝350.(3)根据所给数据，可得2×2列联表：人次≤400人次>400空气质量好3337空气质量不好228根据列联表得K2的观测值k＝≈5.820.由于5.820>3.841，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.20.(本小题满分12分)(2020·沈阳一监)在2019年女排世界杯中，中国女子排球队以11连胜的优异战绩成功夺冠，为祖国母亲七十华诞献上了一份厚礼.排球比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局(第5局)采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜.在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分.现有甲、乙两队进行排球比赛：(1)若前3局比赛中甲已经赢2局，乙赢1局.接下来两队赢得每局比赛的概率均为，求甲队最后赢得整场比赛的概率；\n(2)若前4局比赛中甲、乙两队已经各赢2局比赛.在决胜局(第5局)中，两队当前的得分为甲、乙各14分，且甲已获得下一球的发球权.若甲发球时甲赢1分的概率为，乙发球时甲赢1分的概率为，得分者获得下一个球的发球权.设两队打了x(x≤4)个球后甲赢得整场比赛，求x的取值及相应的概率P(x).解 (1)甲队最后赢得整场比赛的情况为第4局赢或第4局输第5局赢，所以甲队最后赢得整场比赛的概率为＋×＝.(2)在决胜局(第5局)中，因为甲、乙两队各得14分，两队打了x(x≤4)个球后，若甲赢得比赛，则有两种情况：①x＝2，即甲发球且甲赢，甲得1分，甲再发球且甲赢，甲又得1分，结束比赛，概率为×＝，所以两队打了2个球后甲赢得整场比赛的概率为.②x＝4，即甲发球且甲赢，甲得1分，甲再发球且甲输，乙得1分，乙发球甲赢，甲得1分，甲发球且甲赢，甲又得1分，结束比赛，概率为×××＝；或甲发球且甲输，乙得1分，乙发球甲赢，甲得1分，甲发球且甲赢，甲得1分，甲再发球且甲赢，甲又得1分，结束比赛，概率为×××＝.所以两队打了4个球后甲赢得整场比赛的概率为＋＝.21.(本小题满分12分)(2020·烟台诊断)推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节.为了解居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机抽取1000名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制成频数分布表，如下：得分[30，40)[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]男性人数40901201301106030女性人数2050801101004020(1)从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试，试估计其得分不低于60分的概率；(2)从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取10人，连同n(n∈N*)名男性调查员一起组成3个环保宣传队.若从这(n＋10)人中随机抽取3人作为队长，且男性队长人数ξ的期望不小于2，求n的最小值.解 (1)由题表，得问卷得分不低于60分的频率为\n＝0.6，故从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试，估计其得分不低于60分的概率为0.6.(2)由题意知，分层抽样抽取的10人中，男性6人，女生4人.随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，其中P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝，所以随机变量ξ的分布列为ξ0123P因为E(ξ)＝×0＋×1＋×2＋×3≥2，所以CC×1＋CC×2＋CC×3≥2C.由此可得，6(n＋6)＋4(n＋6)(n＋5)＋(n＋6)(n＋5)(n＋4)≥(n＋10)(n＋9)(n＋8)，即3(n＋6)(n2＋17n＋72)≥2(n＋10)(n＋9)(n＋8)，即3(n＋6)≥2(n＋10)，解得n≥2.所以n的最小值为2.22.(本小题满分12分)(2020·郑州一预)水污染现状与工业废水排放密切相关.某工厂深入贯彻科学发展观，努力提高污水收集处理水平，其污水处理程序如下：原始污水必先经过A系统处理，处理后的污水(A级水)达到环保标准(简称达标)的概率为p(0<p<1).经化验检测，若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进入B系统处理后直接排放.某厂现有4个标准水量的A级水池，分别取样、检测.多个污水样本检测时，既可以逐个化验，又可以将若干个样本混合在一起化验.混合样本中只要有样本不达标，混合样本的化验结果必不达标.若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水可直接排放.现有以下四种方案：方案一：逐个化验；方案二：平均分成两组化验；\n方案三：三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验；方案四：四个样本混在一起化验.若化验次数的期望值越小，则方案越“优”.(1)若p＝，求2个A级水样本混合化验结果不达标的概率；(2)①若p＝，现有4个A级水样本需要化验，请问：方案一、二、四中哪个最“优”？②若“方案三”比“方案四”更“优”，求p的取值范围.解 (1)因为该混合样本达标的概率是＝，所以根据对立事件可知，混合样本化验结果不达标的概率为1－＝.(2)①方案一：逐个化验，化验次数为4.方案二：由(1)知，每组两个样本化验时，若达标则化验次数为1，概率为；若不达标则化验次数为3，概率为.故将方案二的化验次数记为ξ2，ξ2的所有可能取值为2，4，6.P(ξ2＝2)＝×＝，P(ξ2＝4)＝C××＝，P(ξ2＝6)＝×＝，其分布列如下：ξ2246P所以方案二的期望E(ξ2)＝2×＋4×＋6×＝＝.方案四：混在一起化验，记化验次数为ξ4，P(ξ4＝1)＝＝，P(ξ4＝5)＝1－＝，ξ4的所有可能取值为1，5.其分布列如下：ξ415P所以方案四的期望E(ξ4)＝1×＋5×＝.比较可得E(ξ4)<E(ξ2)<4，故方案四最“优”.②方案三：设化验次数为η3，η3的所有可能取值为2，5.其分布列如下：\nη325Pp31－p3E(η3)＝2p3＋5(1－p3)＝5－3p3.方案四：设化验次数为η4，η4的所有可能取值为1，5，其分布列如下：η415Pp41－p4E(η4)＝p4＋5(1－p4)＝5－4p4.由题意得E(η3)<E(η4)，所以5－3p3<5－4p4，所以p<.故所求p的取值范围为.
