课时规范练29 等差数列及其前n项和基础巩固组1.(2020河南开封三模,文3)已知Sn为等差数列{an}的前n项和,若S5=4a2,则a7=( )A.-2B.0C.2D.102.(2019全国1,理9)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则( )A.an=2n-5B.an=3n-10C.Sn=2n2-8nD.Sn=12n2-2n3.(2020河北沧州一模,理3)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=7,S3=9,则a10=( )A.25B.32C.35D.404.已知等差数列{an}的首项a1=2,前n项和为Sn,若S8=S10,则a18=( )A.-4B.-2C.0D.25.(2020陕西宝鸡三模,文5)将正奇数排成一个三角形阵,按照如图排列的规律,则第15行第3个数为( )13 57 9 1113 15 17 19A.213B.215C.217D.2196.(2020北京,8)在等差数列{an}中,a1=-9,a5=-1.记Tn=a1a2…an,n∈N+,则数列{Tn}( )A.有最大项,有最小项B.有最大项,无最小项C.无最大项,有最小项D.无最大项,无最小项7.(2020安徽安庆二模,理14)在等差数列{an}中,a2+2a16<a1<3a11,Sn是其前n项和,则使Sn取最大值的n的值为 . 8.(2020河北武邑中学三模,14)等差数列{an}前n项和为Sn,且S55-S33=3,则数列{an}的公差为 . 9.若数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=12.(1)求证:1Sn成等差数列;(2)求数列{an}的通项公式.\n综合提升组10.(2020江西上饶三模,文9)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,a2=2且满足Sn+1+Sn-1=2(Sn+1)(n>1,n∈N*),则( )A.a4=7B.S16=240C.a10=19D.S20=38111.(2020山东潍坊二模,6)《周髀算经》是中国古代重要的数学著作,其记载的“日月历法”曰:“阴阳之数,日月之法,十九岁为一章,四章为一部,部七十六岁,二十部为一遂,遂千百五二十岁,….生数皆终,万物复苏,天以更元作纪历”.某老年公寓住有20位老人,他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂,其中年长者已是奔百之龄(年龄介于90至100岁),其余19人的年龄依次相差一岁,则年长者的年龄为( )A.94B.95C.96D.9812.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1>0,a3+a10>0,a6a7<0,则满足Sn>0的最大自然数n的值为 . 13.(2020陕西二模,文17)在等差数列{an}中,已知a1+a3=12,a2+a4=18,n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求a3+a6+a9+…+a3n.创新应用组14.(2020全国2,理4)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块15.等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为 . \n16.对于由正整数构成的数列{An},若对任意m,n∈N+且m≠n,Am+An也是{An}中的项,则称{An}为“Q数列”.设数列{an}满足a1=6,8≤a2≤12.(1)请给出一个{an}的通项公式,使得{an}既是等差数列也是“Q数列”,并说明理由;(2)根据你给出的通项公式,设{an}的前n项和为Sn,求满足Sn>100的正整数n的最小值.参考答案课时规范练29 等差数列及其前n项和1.B 由S5=4a2,得5a1+10d=4a1+4d,即a1+6d=0,所以a7=0.2.A 由题意可知,S4=4a1+4×32·d=0,a5=a1+4d=5,解得a1=-3,d=2.故an=2n-5,Sn=n2-4n,故选A.3.C 设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则a3=a1+2d=7,S3=3a1+3d=9,解得a1=-1,d=4,∴an=4n-5,∴a10=4×10-5=35.故选C.4.B 设等差数列{an}的公差为d,由S8=S10,得a9+a10=0,所以2a1+17d=0,且a1=2,所以d=-417,得a18=a1+17d=2+17×-417=-2.故选B.5.B 由题意知,在三角形数阵中,前14行共排了1+2+3+…+14=14×(1+14)2=105个数,则第15行第3个数是数阵的第108个数,即所求数字是首项为1,公差为2的等差数列的第108项,则a108=1+(108-1)×2=215.故选B.6.B 由题意知,公差d=a5-a15-1=-1+95-1=2,则an=a1+(n-1)d=-9+(n-1)×2=2n-11,可知数列{an}是单调递增数列,且前5项为负值,自第6项开始为正值.可知T1=-9<0,T2=63>0,T3=-315<0,T4=945>0为最大项,自T5起均小于0,且逐渐减小.所以数列{Tn}有最大项,无最小项.7.16 方法1:设等差数列{an}的公差为d,由a2+2a16<a1<3a11,得31d<-2a1<30d,故a16=a1+15d>0,a16+a17=2a1+31d<0,即a17<-a16<0,所以n=16时,Sn取得最大值.\n方法2:设公差为d,由a2+2a16<a1<3a11,得31d<-2a1<30d,故d<0,且15<-a1d<312,又Sn=na1+n(n-1)2d=d2n2+a1-d2n,其对应为二次函数y=d2x2+a1-d2x的图像开口向下,对称轴为x=12-a1d∈312,16,故n=16时,Sn取得最大值.8.3 设等差数列{an}的公差为d,则Sn=na1+12n(n-1)d,故Snn=a1+12(n-1)d,所以S55-S33=a1+12×4d-a1+12×2d=d,即d=3.9.(1)证明当n≥2时,由an+2SnSn-1=0,得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,所以1Sn-1Sn-1=2.又1S1=1a1=2,故1Sn是首项为2,公差为2的等差数列.(2)解由(1)可得1Sn=2n,所以Sn=12n.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=12n-12(n-1)=n-1-n2n(n-1)=-12n(n-1).当n=1时,a1=12不适合上式.故an=12,n=1,-12n(n-1),n≥2.10.D 由题意,Sn+1+Sn-1=2(Sn+1)(n>1,n∈N*),则Sn+2+Sn=2(Sn+1+1),两式相减,得an+2+an=2an+1,且当n=2时,解得a3=4,所以数列{an}是首项为2,公差d=4-2=2的等差数列.所以an=2+2(n-2)=2n-2,所以an=1,n=1,2n-2,n≥2,故S16=a1+a2+…+a16=1+15×(2+30)2=241.a4=2×4-2=6.a10=2×10-2=18.S20=a1+a2+…+a20=1+19×(2+38)2=381.故选项D正确.11.B 根据题意可知,这20位老人年龄之和为1520岁,设年纪最小者年龄为n,年纪最大者年龄为m,m∈[90,100],则有n+(n+1)+(n+2)+…+(n+18)+m=19n+171+m=1520,则有19n+m=1349,则m=1349-19n,所以90≤1349-19n≤100,解得651419≤n≤66519,因为年龄为整数,所以n=66,则m=1349-19×66=95.故选B.12.12 设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d.∵a6+a7=a3+a10>0,即2a1+11d>0,且a6a7<0,a1>0,∴a6>0,a7<0.∴d=a7-a6<0.又∵a7=a1+6d<0,∴2a1+12d<0.当Sn=(a1+an)n2=[2a1+(-1)d]n2>0时,2a1+(n-1)d>0.\n由2a1+11d>0,2a1+12d<0知n-1最大为11,即n最大为12.13.解(1)因为{an}是等差数列,a1+a3=12,a2+a4=18,所以2a1+2d=12,2a1+4d=18.解得a1=3,d=3.则an=3+(n-1)×3=3n,n∈N*.(2)a3,a6,a9,…,a3n构成首项为a3=9,公差为9的等差数列.则a3+a6+a9+…+a3n=9n+12n(n-1)×9=92(n2+n).14.C 由题意可知,从上到下,从内到外,每环的扇面形石板数构成以9为首项,9为公差的等差数列,设为{an}.设上层有n环,则上层扇面形石板总数为Sn,中层扇面形石板总数为S2n-Sn,下层扇面形石板总数为S3n-S2n,三层扇面形石板总数为S3n.因为{an}为等差数列,所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等差数列,公差为9n2.因为下层比中层多729块,所以9n2=729,解得n=9.所以S3n=S27=27×9+27×262×9=3402.故选C.15.-49 由Sn=na1+n(n-1)2d得10a1+45d=0,15a1+105d=25,解得a1=-3,d=23,则Sn=-3n+n(n-1)2·23=13(n2-10n),所以nSn=13(n3-10n2),令f(x)=13(x3-10x2),则f'(x)=x2-203x=xx-203,当x∈1,203时,f(x)递减,当x∈203,+∞时,f(x)递增,又因为6<203<7,f(6)=-48,f(7)=-49,所以nSn的最小值为-49.16.解(1)给出的通项公式为an=2n+4.因为对任意n∈N+,an+1-an=2(n+1)+4-2n-4=2,所以{an}是公差为2的等差数列.对任意m,n∈N+且m≠n,am+an=2m+4+2n+4=2(m+n+2)+4=am+n+2,所以{an}是“Q数列”.(2)因为{an}是等差数列,所以Sn=n(6+2n+4)2=n2+5n(n∈N+).因为S7=72+5×7=84<100,S8=82+5×8=104>100,所以n的最小值为8.注:以下答案也正确,解答步骤参考上面内容,①an=3n+3,Sn=32n2+92n,n的最小值为7;②an=6n,Sn=3n2+3n,n的最小值为6.
