课时规范练19 三角函数的图象与性质 基础巩固组1.函数y=|2sinx|的最小正周期为( )A.πB.2πC.π2D.π42.函数y=sinπ4-x的一个单调递增区间为( )A.3π4,7π4B.-π4,3π4C.-π2,π2D.-3π4,π43.(2020天津,8)已知函数f(x)=sinx+π3.给出下列结论:①f(x)的最小正周期为2π;②fπ2是f(x)的最大值;③把函数y=sinx的图象上所有点向左平移π3个单位长度,可得到函数y=f(x)的图象.其中所有正确结论的序号是( )A.①B.①③C.②③D.①②③4.已知函数f(x)=sinωx+π6-1(ω>0)的最小正周期为2π3,则f(x)的图象的一条对称轴方程是( )A.x=π9B.x=π6C.x=π3D.x=π25.(2020全国百强名校联考,理5)函数f(x)=2sin(2x+φ)+2(φ>0)的一个对称中心为π4,2,则φ的最小值为( )A.π2B.π3C.π4D.π66.已知函数f(x)=2sinωx-π3的最小正周期为π,若f(x1)·f(x2)=-2,则|x1-x2|的最小值为( )A.π2B.π3C.πD.π47.函数f(x)=tan2x+π3的单调递增区间是 . 8.已知直线y=m(0<m<2)与函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的图象相邻的三个交点依次为A(1,m),B(5,m),C(7,m),则ω= . \n综合提升组9.(2020广东广州一模,理6)如图,圆O的半径为1,A,B是圆上的定点,OB⊥OA,P是圆上的动点,点P关于直线OB的对称点为P',角x的始边为射线OA,终边为射线OP,将|OP-OP'|表示为x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]上的图象大致为( )10.已知ω>0,函数f(x)=sinωx+π4在π2,π上单调递减,则ω的取值范围是( )A.12,54B.12,34C.0,12D.(0,2]11.(2020全国3,文12)已知函数f(x)=sinx+1sinx,则( )A.f(x)的最小值为2B.f(x)的图象关于y轴对称C.f(x)的图象关于直线x=π对称D.f(x)的图象关于直线x=π2对称12.已知函数f(x)=2sin2x-π4的定义域为[a,b],值域为-2,22,则b-a的值不可能是( )A.5π12B.π2C.7π12D.π13.(2020云南玉溪一中月考,理5)若对任意的x∈R,都有f(x)+2f(-x)=3cosx-sinx,则函数f(2x)的对称轴为( )A.x=kπ+π4(k∈Z)B.x=kπ+π8(k∈Z)C.x=kπ2+π4(k∈Z)D.x=kπ2+π8(k∈Z)14.(2020江西名校大联考,理16)函数f(x)=sinx+12sin2x的最大值为 . 创新应用组15.(2020北京西城十五中一模,14)已知函数f(x)=sinx,若对任意的实数α∈-π4,-π6,都存在唯一的实数β∈(0,m),使f(α)+f(β)=0,则实数m的最大值是 . \n参考答案课时规范练19 三角函数的图象与性质1.A 由图象知T=π.2.A y=sinπ4-x=-sinx-π4,故由2kπ+π2≤x-π4≤2kπ+3π2(k∈Z),解得2kπ+3π4≤x≤2kπ+7π4(k∈Z).故单调递增区间为2kπ+3π4,2kπ+7π4(k∈Z).当k=0时,函数的一个单调递增区间为3π4,7π4.3.B ∵f(x)=sinx+π3,∴①f(x)最小正周期T=2π1=2π,正确;②fπ2=sinπ2+π3=sin5π6≠1,不正确;③y=sinxf(x)=sinx+π3,正确.故选B.4.A 依题意,得2π|ω|=2π3,即|ω|=3.又ω>0,所以ω=3,所以3x+π6=kπ+π2,k∈Z,解得x=kπ3+π9,k∈Z,当k=0时,x=π9.因此函数f(x)的图象的一条对称轴方程是x=π9.5.A 由题知2sin2×π4+φ+2=2,则sinπ2+φ=0,即π2+φ=kπ(k∈Z),所以φ=kπ-π2(k∈Z),因为φ>0,所以最小值为π2,故选A.6.A 函数f(x)=2sinωx-π3的最小正周期为2πω=π,∴ω=2,f(x)=2sin2x-π3.若f(x1)·f(x2)=-2,则f(x1)=2,f(x2)=-2,或者f(x1)=-2,f(x2)=2,则|x1-x2|的最小值为半个周期π2,故选A.7.kπ2-5π12,kπ2+π12(k∈Z) 由kπ-π2<2x+π3<kπ+π2(k∈Z),得kπ2-5π12<x<kπ2+π12(k∈Z),所以函数f(x)=tan2x+π3的单调递增区间为kπ2-5π12,kπ2+π12(k∈Z).8.π3 由题意,f(x)图象的相邻的两条对称轴分别为x=1+52=3,x=5+72=6,故函数的周期为2×(6-3)=2πω,得ω=π3.\n9.B 由题意,当x=0时,P与A重合,则P'与C重合,所以|OP-OP'|=|CA|=2,故排除C,D选项;当0<x<π2时,|OP-OP'|=|P'P|=2sinπ2-x=2cosx,由图象可知选B.故选B.10.A 由π2<x<π,得π2ω+π4<ωx+π4<πω+π4,由题意π2ω+π4,πω+π4⊆2kπ+π2,2kπ+3π2,k∈Z,∴π2ω+π4≥2kπ+π2,k∈Z,πω+π4≤2kπ+3π2,k∈Z,∴4k+12≤ω≤2k+54,k∈Z,当k=0时,12≤ω≤54,故选A.11.D 由sinx≠0可得函数的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z},关于原点对称,且函数f(-x)=sin(-x)+1sin(-x)=-sinx-1sinx=-f(x),故该函数为奇函数,其图象关于原点对称,选项B错误;令t=sinx,则t∈[-1,0)∪(0,1],由g(t)=t+1t的性质,可知g(t)∈(-∞,-2]∪[2,+∞),故f(x)无最小值,选项A错误;由f(2π-x)=sin(2π-x)+1sin(2π-x)=-sinx-1sinx=-f(x),f(π-x)=sin(π-x)+1sin(π-x)=sinx+1sinx=f(x),故函数f(x)的图象关于直线x=π2对称,选项D正确.故选D.12.D ∵a≤x≤b,∴2a-π4≤2x-π4≤2b-π4.又-2≤2sin2x-π4≤22,即-1≤sin2x-π4≤12,∴2b-π4-2a-π4max=π6--7π6=4π3,2b-π4-2a-π4min=π6--π2=2π3,故π3≤b-a≤2π3,故b-a的值不可能是π,故选D.13.D 由f(x)+2f(-x)=3cosx-sinx,①得f(-x)+2f(x)=3cosx+sinx,②解由①②组成的方程组,得f(x)=sinx+cosx=2sinx+π4,所以f(2x)=2sin2x+π4,则f(2x)的对称轴为2x+π4=kπ+π2,k∈Z,即x=kπ2+π8,k∈Z.14.334 由题意,f'(x)=cosx+cos2x=2cos2x+cosx-1=(2cosx-1)(cosx+1),因为cosx+1≥0,所以当cosx>12时,f'(x)>0,当-1<cosx<12时,f'(x)<0,即x∈2kπ-π3,2kπ+π3时,f(x)单调递增,当x∈2kπ+π3,2kπ+5π3时,f(x)单调递减,故f(x)在x=2kπ+π3,k∈Z处取得极大值,即f(x)的最大值,所以f(x)max=sinπ3+12sin2×π3=32+12×32=334.15.3π4 由f(x)=sinx,且α∈-π4,-π6,可得f(α)∈-22,-12,因为存在唯一的实数β∈(0,m),使f(α)+f(β)=0,即f(β)=k,k∈12,22有且仅有一个解,作函数y=f(β)的图象及直线y=k,k∈12,22如下,\n当两个图象只有一个交点时,由图象,可得π4≤m≤3π4,故实数m的最大值是3π4.
