课后限时集训(三十二) 平面向量的概念及线性运算建议用时：25分钟一、选择题1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③若λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中正确命题的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4A [①错误．两向量共线要看其方向而不是起点与终点．②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误．当a＝0时，无论λ为何值，λa＝0.④错误．当λ＝μ＝0时，λa＝μb，此时，a与b可以是任意向量．]2．设a，b是非零向量，则“存在实数λ，使得a＝λb”是“|a＋b|＝|a|＋|b|”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B [当λ＜0时，|a＋b|≠|a|＋|b|；当λ＞0时，|a＋b|＝|a|＋|b|.故选B.]3．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝( )A.B.C.D.A [由题意得＋＝(＋)＋(＋)＝(＋)＝.]4．(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是( )A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2eB．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)D．已知梯形ABCD，其中＝a，＝bAB [对于A，因为向量a，b是两个非零向量，2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e，所以a＝\ne，b＝－e，此时能使a，b共线，故A正确；对于B，由平面向量共线定理知，存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0，则非零向量a，b是共线向量，故B正确；对于C，xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)，如果x＝y＝0，则不能保证a，b共线，故C不正确；对于D，已知梯形ABCD中，＝a，＝b，AB，CD不一定是梯形的上、下底，故D错误．故选AB.]5．在△ABC中，＝，P是直线BN上一点，若＝m＋，则实数m的值为( )A．－4B．－1C．1D．4B [∵＝，∴＝5.又＝m＋，∴＝m＋2，由B，P，N三点共线可知，m＋2＝1，∴m＝－1.]6．(2020·南昌模拟)如图，在△ABC中，点D在BC边上，且CD＝2DB，点E在AD边上，且AD＝3AE，则用向量，表示为( )A.＋B.－C.＋D.－B [由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得＝－＝－＝(＋)－＝－＝－.]7．(多选)(2020·济南一中月考)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是( )\nA．若＝＋，则点M是边BC的中点B．若＝2－，则点M在边BC的延长线上C．若＝－－，则点M是△ABC的重心D．若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的ACD [对于A，因为＝＋，所以－＝－，即＝，则点M是边BC的中点，所以A正确．对于B，因为＝2－，所以－＝－，所以＝，则点M在边CB的延长线上，所以B错误．对于C，设BC的中点为F，由＝－－，得＝＋＝2，由重心性质可知C正确．对于D，因为＝x＋y，且x＋y＝，所以2＝2x＋2y，2x＋2y＝1.设＝2，所以＝2x＋2y，2x＋2y＝1，可知B，C，D三点共线，所以△MBC的面积是△ABC面积的，所以D正确．故选ACD.]8.如图所示，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝( )A．1B．2C．3D．4C [法一：∵与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝，∴由＝λ＋μ，两边平方得3＝λ2－λμ＋μ2，①由＝λ＋μ，两边同乘得＝λ－，两边平方得＝λ2－λμ＋，②①－②得＝.根据题图知μ＞0，∴μ＝1.代入＝λ－得λ＝2，∴λ＋μ＝3.故选C.法二：建系如图：由题意可知A(1,0)，C，B，\n∵＝λ(1,0)＋μ＝.∴∴μ＝1，λ＝2.∴λ＋μ＝3.]二、填空题9．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为________．－ [由于c与d共线反向，则存在实数k使c＝kd(k＜0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]．整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共线，所以有整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－.又因为k＜0，所以λ＜0，故λ＝－.]10．在等腰梯形ABCD中，＝2，点E是线段BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＝________，μ＝________. [取AB的中点F，连接CF(图略)，则由题可得CF∥AD，且CF＝AD.∵＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋，∴λ＝，μ＝.]11．已知△ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________.3 [由已知条件得＋＝－，M为△ABC的重心，∴＝(＋)，即＋＝3，则m＝3.]12．下列命题正确的是________．(填序号)①向量a，b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b＝λa；\n②在△ABC中，＋＋＝0；③只有方向相同或相反的向量是平行向量；④若向量a，b不共线，则向量a＋b与向量a－b必不共线．④ [易知①②③错误．∵向量a与b不共线，∴向量a，b，a＋b与a－b均不为零向量．若a＋b与a－b共线，则存在实数λ使a＋b＝λ(a－b)，即(λ－1)a＝(1＋λ)b，∴此时λ无解，故假设不成立，即a＋b与a－b不共线．]1．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足：＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的( )A．外心B．内心C．重心D．垂心B [作∠BAC的平分线AD.因为＝＋λ，所以＝λ＝λ′·(λ′∈[0，＋∞))，所以＝·，所以∥，所以P的轨迹一定通过△ABC的内心，故选B.]2．(2020·株江模拟)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足＝m＋n(m，\nn均为正实数)，则＋的最小值为________． [＝＋＝＋，＝－＝－＋，设＝λ＝－＋λ(0≤λ≤1)，则＝＋＝＋λ.因为＝m＋n，所以m＝1－，n＝λ.所以＋＝＋＝＝≥＝.当且仅当3(λ＋4)＝，即(λ＋4)2＝时取等号．]
