2021年高考数学模拟测试卷一、单项选择题：本题共8小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）．A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】首先求出集合，然后再利用集合的交运算即可求解.【详解】由集合，，所以.故选：B【点睛】本题考查了集合的交运算、一元二次不等式的解法，属于基础题.2.已知复数z满足z(1+2i)=i，则复数在复平面内对应点所在的象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标得答案．【详解】解：由，得，所以复数在复平面内对应的点的坐标为，在第四象限．故选：D．点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．3.已知向量，，则“m＜1”是“，夹角为钝角”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】\n【分析】由题意结合平面向量数量积的知识可得若，夹角为钝角，则且，再由且Ü结合充分条件、必要条件的概念即可得解.【详解】若，夹角为钝角，则且，由可得，解得且，由且Ü可得“m＜1”是“，夹角为钝角”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查了利用平面向量数量积解决向量夹角问题，考查了充分条件、必要条件的判断，属于中档题.4.甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是（）A.90B.120C.210D.216【答案】C【解析】【分析】根据题意：分为两类：第一类，甲、乙、丙各自站在一个台阶上；第二类，有2人站在同一台阶上，剩余1人独自站在一个台阶上，算出每类的站法数，然后再利用分类计数原理求解.【详解】因为甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，且每级台阶最多站2人，所以分为两类：第一类，甲、乙、丙各自站在一个台阶上，共有：种站法；第二类，有2人站在同一台阶上，剩余1人独自站在一个台阶上，共有：种站法；所以每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置的不同的站法总数是.故选：C【点睛】本题主要考查排列组合的应用以及分类计数原理的应用，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.5.已知定义在上的函数，，，，则，，的大小关系为（）\nA.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先判断函数在时的单调性，可以判断出函数是奇函数，利用奇函数的性质可以得到，比较三个数的大小，然后根据函数在时的单调性，比较出三个数的大小.【详解】当时，，函数在时，是增函数.因为，所以函数是奇函数，所以有，因为，函数在时，是增函数，所以，故本题选D.【点睛】本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题，判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键.6.对个不同的实数、、、可得个不同的排列，每个排列为一行写成一个行的数阵．对第行、、、，记，、、、、．例如用、、可得数阵如下，对于此数阵中每一列各数之和都是，所以．那么，在用、、、、形成的数阵中，等于（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】计算出每列数之和为，进而可求得的值.【详解】由题意可知，在用、、、、形成的数阵中，一共有行，，所以，数阵的每一列中、、、、都是个，\n所以，每一列数字之和为，因此，.故选：C.【点睛】本题考查归纳推理，解答的关键在于计算出每一列数的和，考查推理能力与计算能力，属于中等题.7.已知中，，，，为所在平面上一点，且满足.设，则的值为（）A.2B.1C.D.【答案】C【解析】【分析】由由，得：点是的外心，由向量的投影的概念可得：，再代入运算，即可【详解】解：由，得：点是的外心，又外心是中垂线的交点，则有：，即，又，，，所以，解得：，即，故选：．【点睛】本题考查了外心是中垂线的交点，投影的概念，平面向量的数量积公式，属中档题.8.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=BB1=1，M是AC的中点，则三棱锥B1－ABM\n的外接球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意找到三棱锥B1－ABM的外接球球心为中点,即可求出其半径,则可求出其表面积.【详解】如图所示：取中点为，中点为.并连接,则平面,所以所以三棱锥B1－ABM的外接球球心为中点.所以,所以三棱锥B1－ABM的外接球的表面积为.故选:B【点睛】本题考查三棱锥的外接球表面积,属于基础题.解本题的关键在于画出三棱柱，找到三棱锥的外接球球心.二、多项选择题：本题共4小题．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．9.Keep是一款具有社交属性的健身APP，致力于提供健身教学、跑步、骑行、交友及健身饮食指导、装备购买等一站式运动解决方案.Keep可以让你随时随地进行锻炼，记录你每天的训练进程.不仅如此，它还可以根据不同人的体质，制定不同的健身计划.小明根据Keep记录的2019年1月至2019年11月期间每月跑步的里程(单位：十公里)数据整理并绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论正确的是（）\nA.月跑步里程最小值出现在2月B.月跑步里程逐月增加C.月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数D.1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小【答案】ACD【解析】【分析】根据折线图，依次分析月跑步里程的最小值，中位数，变化趋势，波动性即得解【详解】由折线图可知，月跑步里程的最小值出现在2月，故A正确；月跑步平均里程不是逐月增加的，故B不正确；月跑步里程数从小到大排列分别是：2月，8月，3月，4月，1月，5月，7月，6月，11月，9月，10月，故5月份对应的里程数为中位数，故C正确；1月到5月的月跑步平均里程相对于6月至11月波动性更小，变化比较平稳，故D正确.故选：ACD【点睛】本题考查了统计图表折线图的应用，考查了学生综合分析，数形结合，数据处理能力，属于基础题10.已知函数，下列结论正确的是（）A.函数图像关于对称B.函数上单调递增C.若，则D.函数的最小值为\n【答案】A【解析】【分析】本题首先可以去绝对值，将函数变成分段函数，然后根据函数解析式绘出函数图像，最后结合函数图像即可得出答案.【详解】由题意可得：，即可绘出函数图像，如下所示：故对称轴为，A正确；由图像易知，函数在上单调递增，上单调递减，B错误；要使，则，由图象可得或、或，故或或，C错误；当时，函数取最小值，最小值，D错误，故选：A．【点睛】本题考查三角函数的相关性质，主要考查三角函数的对称轴、三角函数的单调性以及三角函数的最值，考查分段函数，考查数形结合思想，是难题.\n11.已知正方体棱长为，如图，为上的动点，平面.下面说法正确的是（）A.直线与平面所成角的正弦值范围为B.点与点重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大C.点为的中点时，若平面经过点，则平面截正方体所得截面图形是等腰梯形D.己知为中点，当的和最小时，为的中点【答案】AC【解析】【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断A选项的正误；证明出平面，分别取棱、、、、、的中点、、、、、，比较和六边形的周长和面积的大小，可判断B选项的正误；利用空间向量法找出平面与棱、的交点、，判断四边形的形状可判断C选项的正误；将矩形与矩形延展为一个平面，利用、、三点共线得知最短，利用平行线分线段成比例定理求得，可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则点、、设点，\n平面，则为平面的一个法向量，且，，，所以，直线与平面所成角的正弦值范围为，A选项正确；对于B选项，当与重合时，连接、、、，在正方体中，平面，平面，，四边形是正方形，则，，平面，平面，，同理可证，，平面，易知是边长为的等边三角形，其面积为，周长为.设、、、、、分别为棱、、、、、的中点，\n易知六边形是边长为的正六边形，且平面平面，正六边形的周长为，面积为，则的面积小于正六边形的面积，它们的周长相等，B选项错误；对于C选项，设平面交棱于点，点，，平面，平面，，即，得，，所以，点为棱的中点，同理可知，点为棱的中点，则，，而，，且，由空间中两点间的距离公式可得，，，所以，四边形为等腰梯形，C选项正确；\n对于D选项，将矩形与矩形延展为一个平面，如下图所示：若最短，则、、三点共线，，，，所以，点不是棱的中点，D选项错误.故选：AC.【点睛】本题考查线面角正弦值的取值范围，同时也考查了平面截正方体的截面问题以及折线段长的最小值问题，考查空间想象能力与计算能力，属于难题.12.函数f(x)=ex+asinx，x∈(－π，+∞)，下列说法正确的是（）A.当a=1时，f(x)在(0，f(0))处的切线方程为2x－y+1=0B.当a=1时，f(x)存在唯一极小值点x0且－1＜f(x0)＜0C.对任意a＞0，f(x)在(－π，+∞)上均存在零点D.存在a＜0，f(x)在(－π，+∞)上有且只有一个零点【答案】ABD【解析】【分析】逐一验证选项，选项A，通过切点求切线，再通过点斜式写出切线方程，选项B通过导数求出函数极值并判断极值范围，选项C、D，通过构造函数，将零点问题转化判断函数与直线y＝a的交点问题．【详解】选项A，当时，，，所以，故切点为，，所以切线斜率，故直线方程为：，即切线方程为：，选项A正确.\n选项B，当时，，，恒成立，所以单调递增，又,,所以，即，所以所以存，使得，即则在上，，在上，，所以在上，单调递减，在上，单调递增.所以存在唯一的极小值点.,则，，所以B正确.对于选项C、D，，令，即，所以,则令,,令,得由函数的图像性质可知:时，，单调递减.时，，单调递增.所以时，取得极小值，\n即当时取得极小值，又,即又因为在上单调递减，所以所以时，取得极小值，即当时取得极大值，又，即所以当时，所以当，即时，f(x)在(－π，+∞)上无零点，所以C不正确.当，即时，与的图象只有一个交点即存在a＜0，f(x)在(－π，+∞)上有且只有一个零点，故D正确.故选：ABD．【点睛】本题考查函数的切线、极值、零点问题，含参数问题的处理，考查数学运算，逻辑推理等学科素养的体现，属于难题题．三、填空题：本题共4小题．13.的展开式中的常数项为____________________.(用数字作答)【答案】240【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于0，求出的值，即可求得常数项．\n【详解】解：展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中的常数项为，故答案为：240．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．14.一个不透明的箱中原来装有形状、大小相同的1个绿球和3个红球.甲、乙两人从箱中轮流摸球，每次摸取一个球，规则如下：若摸到绿球，则将此球放回箱中可继续再摸；若摸到红球，则将此球放回箱中改由对方摸球，甲先摸球，则在前四次摸球中，甲恰好摸到两次绿球的概率是________.【答案】【解析】【分析】先定义事件，，，，从而得到事件“甲恰好摸到两次绿球的情况为事件，利用事件的独立性进行概率计算，即可得到答案。【详解】设“甲摸到绿球”的事件为，则，“甲摸到红球”的事件为，则，设“乙摸到绿球”的事件为，则，“乙摸到红球”的事件为，则，在前四次摸球中，甲恰好摸到两次绿球的情况是，所以.故答案为：【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解的关键是准确定义相关事件。\n15.己知a，b为正实数，直线y=x－a与曲线y=ln(x+b)相切于点(x0，y0)，则的最小值是_______________.【答案】4【解析】【分析】由题意结合导数的几何意义、导数的运算可得、，进而可得，再利用，结合基本不等式即可得解.【详解】对求导得，因为直线y=x－a与曲线y=ln(x+b)相切于点(x0，y0)，所以即，所以，所以切点为，由切点在切线y=x－a上可得即，所以，当且仅当时，等号成立.所以的最小值是.故答案为：.【点睛】本题考查了导数的运算、导数几何意义的应用，考查了基本不等式求最值的应用及运算求解能力，属于中档题.16.已知双曲线，F1，F2是双曲线的左右两个焦点，P在双曲线上且在第一象限，圆M是△F1PF2的内切圆.则M的横坐标为_________，若F1到圆M上点的最大距离为，则△F1PF2的面积为___________.【答案】(1).1(2).【解析】\n【分析】利用双曲线的定义以及内切圆的性质，求得的横坐标.由F1到圆M上点的最大距离，求得圆的半径，求得直线的方程，由此求得点的坐标，从而求得，进而求得△F1PF2的面积.【详解】双曲线的方程为，则.设圆分别与相切于，根据双曲线的定义可知，根据内切圆的性质可知①，而②.由①②得：，所以,所以直线的方程为，即的横坐标为.设坐标为，则到圆M上点的最大距离为，即，解得.设直线的方程为，即.到直线的距离为，解得.所以线的方程为.由且在第一象限，解得.所以，.所以△F1PF2的面积为.故答案为：；\n【点睛】本小题主要考查双曲线的定义，考查圆的几何性质、直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
