正余弦定理例题解析例1．在△ABC中，如果a＝18，b＝24，A＝，则此三角形解的情况为(B).A.一解B.两解C.无解D.不确定解：由bsinA＜a＜b故有两解选B例2．在△ABC中，a＝，b＝，A＝，则c等于(C).A.2B.C.2或D.以上都不对解：由bsinA＜a＜b故有两解选C例3．在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，则此三角形的最大内角是(B).A.B.C.D.解：设a＝3k，b＝5k，c＝7k，由余弦定理易求得cosC＝-，所以最大角C为.例4．(1)在△ABC中，若B＝，AB＝2，AC＝2，则△ABC的面积是_____.(2)△ABC中，若AB＝1，BC＝2，则角C的取值范围是_____.解：(1)sinC＝，于是C＝或，故A＝或，由S△ABC＝可得答案2或.(2)如图所示，由已知得BC＝2AB，又∴sinC＝≤又∵0＜C＜A∴0＜C≤例5．在△ABC中，求证：a2sin2B+b2sin2A＝2absinC证明：由正弦定理知故原式成立.例6．在锐角三角形ABC中，A，B，C是其三个内角，记求证：S＜1证明：∵∵，∴，∴cotB＜tanA即＞1，∴S＜1.例7．在△ABC中，如果lga-lgc＝lgsinB＝-lg，且B为锐角，判断此三角形的形状.解：由lga-lgc＝lgsinB＝-lg，得sinB＝，-3-\n又B为锐角，∴B＝，又得，∴sinC＝2sinA＝2sin(-C)，∴sinC＝sinC+cosC，∴cosC＝0即C＝，故此三角形是等腰直角三角形.例8．已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边.①若△ABC面积为，c＝2，A＝，求b，a的值.②若acosA＝bcosB，试判断△ABC的形状，证明你的结论.解：①由已知得，∴b＝1.由余弦定理a2＝b2+c2-2bccosA＝3，∴a＝.②由正弦定理得：2RsinA＝a，2RsinB＝b，2RsinAcosA＝2RsinBcosB即sin2A＝sin2B，由已知A，B为三角形内角，∴A+B＝或A＝B，∴△ABC为直角三角形或等腰三角形.例9．如图所示，已知在梯形ABCD中AB∥CD，CD＝2,AC＝，∠BAD＝，求梯形的高.解:作DE⊥AB于E，则DE就是梯形的高.∵∠BAD＝，∴在Rt△AED中，有DE=AD＝，即DE＝AD.①下面求AD(关键)：∵AB∥CD，∠BAD＝，∴在△ACD中，∠ADC＝，又∵CD＝2,AC＝，∴即解得AD＝3，(AD＝-5，舍).将AD＝3代入①，梯形的高例10．如图所示,在△ABC中，若c＝4,b＝7，BC边上的中线AD＝,求边长a.解：∵AD是BC边上的中线，∴可设CD＝DB＝x.∵c＝4,b＝7,AD＝,∴在△ACD中，有在△ACB中，有∴-3-\n∴x＝,∴a＝2x＝9.-3-
