回扣4 数列[知识方法回顾]1.等差数列的有关公式与性质(1)定义式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).(2)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.(3)前n项和公式：Sn＝＝na1＋d.(4)等差中项：2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2，an≠0).(5)性质：①an＝am＋(n－m)d，d＝(n，m∈N*，n≠m)；②若m＋n＝p＋q＝2k，则am＋an＝ap＋aq＝2ak(m，n，p，q，k∈N*)；③若等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列.2.等比数列的有关公式与性质(1)定义式：＝q(n∈N*，q为非零常数).(2)通项公式：an＝a1qn－1.(3)前n项和公式：Sn＝(4)等比中项：a＝an－1an＋1(n∈N*，n≥2，an≠0).(5)性质：①an＝amqn－m，qn－m＝(n，m∈N*).②若m＋n＝p＋q＝2k，则am·an＝ap·aq＝a(m，n，p，q，k∈N*).③若等比数列{an}(公比q≠－1)的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等比数列.3.数列的通项公式的求法(1)公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式.(2)已知Sn，则an＝(3)递推关系形如an＋1－an＝f(n)，常用累加法求通项公式.(4)递推关系形如＝f(n)，常用累乘法求通项公式.(5)递推关系形如“an＋1＝pan＋q(p、q是常数，且p≠1，q≠0)”的数列求通项公式，常用待定系数法，可设an＋1＋λ＝p(an＋λ)，经过比较，求得λ，则数列{an＋λ3\n}是一个等比数列.(6)递推关系形如“an＋1＝pan＋qn(q，p为常数，且p≠1，q≠0)”的数列求通项公式，可以将关系式两边同除以qn转化为类型(5)，或同除以pn＋1用累加法求解.4.数列求和的常见类型及方法(1)等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和.(2)形如{an·bn}(其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列)的数列，利用错位相减法求和.(3)通项公式形如an＝(其中a，b1，b2，c为常数)用裂项相消法求和.(4)通项公式形如an＝(－1)n·n或an＝a·(－1)n(其中a为常数，n∈N*)等正负项交叉的数列求和一般用并项法.并项时应注意分n为奇数、偶数两种情况讨论.(5)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成cn＝an＋bn形式的数列求和问题的方法，其中{an}与{bn}是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列.(6)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求Sn.[易错易忘提醒]1.判断一个数列是不是等比数列时，不可忽视对公比q是否为1的讨论.2.a＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*)是{an}为等比数列的必要而不充分条件，也就是判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0.3.解决等差数列{an}前n项和问题常用的有三个公式Sn＝；Sn＝na1＋d；Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)，灵活地选用公式，解决问题更便捷.4.若数列{an}的前n项和Sn＝A·qn＋B，且A＋B＝0，A≠0，则该数列一定为等比数列.5.求等比数列前n项和时，一定要先讨论公比q是否为1，然后选用相应的公式.6.等差、等比数列的性质可类比掌握，注意不要混淆.7.数列的通项an与前n项和Sn的关系是an＝当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示.8.利用错位相减法求和时，要通过前面几项寻找规律，并且不要漏掉减数式的最后一项，注意符号.9.公比为字母的等比数列求和时要注意讨论.10.裂项相消法求和时，分裂前后的值要相等，3\n如≠－，而是＝.11.通项中含有(－1)n的数列求和时，要把结果写成分n为奇数和n为偶数两种情况的分段形式.3
