数学高考有关的思考数学高考的全程工作有4个基本问题:●掌握数学知识问题 ——怎样复习.●提高解题能力问题——怎样解题.●运用考试技术问题——怎样答题.●科学填报志愿问题——怎样选择.将根据我从中学到大学、从复课、阅卷到招生的经历中，于数学、教育学、心理学、考试学的交汇处，提供宏观把握与具体操作的原则性建议.一、数学高考怎样复习高考复习工作的误区是，将智力开发等同于技艺训练，以做模拟题所带来的偶然因素去代替数学素质的提高.其大运动量超纲训练的一个不幸后果是，使数学成为中学课程中最令人生畏的学科之一.（一）高考复习的指导思想1．以考试规律为指导,以近年高考命题的稳定性风格为导向.（1）弄清水平考试与选拔考试的联系与区别.·毕业考（会考）是基础教育的终点，高考是高等教育的起点.·平时教学按教学规律进行，高考复习按考试规律进行.（2）弄清高考命题的稳定性风格和一般技术.考什么就练什么，怎样考就怎样练（见注意新动向，捕捉新题型）2.依纲靠本.（1）以《考试说明》为大纲（依纲）.高考命题年年变，抓住根本应万变（2）以现行教材为依据，又不拘泥于教材（靠本）.①为什么要以现行教材为依据.·教材是考试内容的具体化；·教材是高考命题的基本依据；·教材是中、低档试题的直接来源；·教材是解题能力的基本生长点.②精通教材的基本要求.·能够对《考试说明》规定的100多个知识点进行“双基排队”,综合整理.梳理出有哪些重要概念?有几条重要定理（公式）?它们之间有哪些联系?画出知识结构总图和分图.·能够对中学教材中的基本方法和重要技巧心中有数,了解每一个方法用在哪些章节,每一章节用到了哪些方法，列成表格.·了解教材的不同内容在高考中的不同角色.哪些内容适作什么题型；哪些内容会在高考中提高要求,哪些不提高，哪些不考（新增内容：简易逻辑、平面（空间）向量、概率统计、导数属必考）.·能根据教材内容、学生实际、高考能力要求改编一些有针对性的训练题.中学数学的内容可以分成三个层次：会考、高考、竞赛.离开了教材就离开了高考、问题在“怎样抓”.看似简单，实则复杂（有只靠本考不上之误说）.3.以解题训练为中心，以中档综合题为重点，以近年高考试题为基本素材.（1）为什么要以解题训练为中心.10\n高考选拔的特点是以解题能力的高低为标准，一次性闭卷来决定胜负的，因此，高考复习要以解题训练为中心，并最终表现为学生解题能力的提高.（2）怎样体现以解题训练为中心①“习题化”的复习技术：·基本内容填空；·基本概念判断；·基本公式串联；·基本运算选择.②专题复习突出解题方法、重点在中档综合题.③模拟考试.（3）提高解题训练效果的策略.①以中档综合题为重点，立足中下题目.·中档综合题区分度好，训练价值高，教师讲得清楚，学生听得明白有利于学生数学素质的提高；·中下题目是命题原则的主要体现，是试题构成的主要成分，是考生得分的主要来源，是高校录取的主要依据，是进一步解高难题的基础.·压轴题要有，但控制数量，重在讲清“怎样解”，从何处下手、向何方前进.（4）解题训练的取材.以近年高考试题为基本素材，辅以结合实际的资料选题与改编.①解题训练的优质素材.高考试题经过全国考生的实践检验和全国教师的深入研讨,科学性强（漏洞也清楚）,解题思路明朗,解题书写规范,评分标准清晰,是优质的训练素材.②既有利于全面覆盖,又有利于突出重点·高考试题都努力抓课程的重点内容和重要方法.·每套高考试题能覆盖全部知识点的50％以上，几套试题一交叉，既保证了全部覆盖，又体现了重点突出.③能提高复习的针对性.近年高考试题体现了命题风格、命题热点，命题形式（特别是新题型、新导向），有利于考生适应高考情景，提高高考复习的针对性.有人说，把近几年的题目做一遍就可以去高考了.（二）高考复习的三阶段安排高考复课的三阶段安排已经是一个常规，第一阶段全面复习（会考复习），第二阶段专题讲座，第三阶段模拟训练.其实质应是思维素质竖向提升的三个层次，是从知识到方法、到能力的拾级登高.1. 高考复习的第一阶段——全面复习（1） 第一阶段系统整理知识，优化知识结构，其直接效益是会考得A（至少过关），其深层含义是为数学素质的提高准备物质基础，在这一阶段中，应做到“三抓四过关”①三抓：·抓基本概念的准确和实质性的理解，·抓公式、定理的熟练和初步应用，·抓基本技能的正用、逆用、变用、连用、巧用，②四过关：·能准确理解书中的任一概念；10\n·能独立证明书中的每一定理；·能熟练求解书中的所有例题；·能历数书中各单元的作业类型.(2)第一阶段复习的基本方法是从大到小、先粗后细，把教学中分割讲授的知识单点、知识片段组合成知识结构.要做到：①各章内容综合化，②基础知识体系化，③基本方法类型化，④解题步骤规范性.可辅以图线、表格、口诀，习题化等技术措施.(3)抓好第一阶段的关键是教师吃透大纲、熟悉说明，精通教材.①制定科学的复习计划.②归纳整理知识网络.③设计练习,精选讲、练习题（以高考题为中心）.2. 高考复习的第二阶段——专题讲座如果说第一阶段是以纵向为主、顺序复习的话，那么这一阶段就是以横向为主，突出重点，抓住热点，深化提高了.(1)专题选择的原则①第一阶段中的弱点，②教材体系中的重点，③高考试题中的热点.④中学数学的解题方法体系.⑤应试的技术:针对性、实用性、系列化.这五个方面是复习工作的继续深入与自然提高，也是高考应试的宏观驾驭与有效逼近.（2）具体专题（26个供参考）·集合及其应用.·充要条件.·二次函数与抽象代数证明.·函数性质与导数应用.·不等关系.·数列于数学归纳法.·复数与三角、几何（数、角、形）.·排列组合与概率统计.·二项式定理.·三角函数的性质与运算.·曲线位置与参数讨论.·平面向量与解析几何.·正方体基本问题.·空间向量与立体几何.·怎样求解选择题.·怎样求解填空题.·怎样求解探索性问题.·怎样求解应用题.·数形结合.10\n·配方法.·换元法.·待定常数法.·反证法.·分类与讨论.·临场的策略.·高考答题错误分析.3.高考复习的第三阶段——模拟训练不宜盲目多练，超限强化，重点应放在数学思想方法的提炼和心理素质的调整上.通过五套左右的仿真套题，完成适应性训练，把最佳技状态带进考场.（1） 模拟训练的作用.①基本内容的再次覆盖与重点强调.②解题能力的实际检验与强化提高.③考试经验的实际积累和迅速丰富.（2）模拟试题的组织.①辅导教师命题.②典型题目分块.③外地引进.（3）模拟考试的讲评①考试“一周一套”，呈“易、难、易”分布②讲评“一课一题”，形成题组.③讲评内容包括：本题考查了哪些知识点，主要应用了什么方法，关键在哪里，指出学生中的典型错误，分析其知识上、逻辑上、心理上和策略上的原因；表扬学生中的优秀解法；交代清楚每一题、每一步的评分标准；讲清题目的纵横联系.（4） 讲评要注重数学思想方法的提炼.数学思想方法是对数学知识内容及其所使用方法的本质认识.中学阶段基本数学思想方法主要有用字母表示数的思想方法，集合与对应的思想方法，函数与方程的思想方法，数形结合的思想方法，数学模型的思想方法，转换化归的思想方法等.（三）复习工作的重要提示.1.全面理解解题基本功（1）解题成功的四个基础.高考复习的一个基本点是夯实解题基本功，而对这个问题的一个片面认识是，只抓解题的知识因素（概念、定理、公式、方法、技能等）.其实，成功的解题取决于多种因素，最基本的有：①解题的知识因素.（认知结构）②解题的能力因素.（思维能力）③解题的经验因素.（经验题感）④解题的情感因素.（情感态度）（2）解题失误的四种形式.阅卷经验表明，学生中除了知识上的错误之外，还有逻辑、策略、心理上的错误：①知识性错误.②逻辑性错误.③策略性错误.④心理性错误.10\n这些错误并非单一地加强数学基础知识、提高数学基本技能就能杜绝的.2.突破一个“老大难”高考阅卷启示我们，许多中上水平考生常在“会而不对、对而不全”上拉开录取与落榜的距离.这是一个“老大难”问题.（1） 会而不对.有的考生，拿到题目不是束手无策，而是在正确的思路上，或考虑不周、或推理不严、或书写不准，最后答案是错的，这叫“会而不对”．（2） 对而不全．另一些考生，思路大体正确，最终结论也出来了，但丢三落四，或缺欠重大步骤，中间某一逻辑点过不去；或遗漏某一特殊情况、讨论不够完备；或潜在假设、或以偏概全，这叫“对而不全”．（3） 综合治理，做到“会而对、对而全、全而优”.①在加强“双基”的基础上，要强调概念的实质性理解，强调技能的灵活性运用，强调知识结构的优化．②应该介绍一些逻辑知识，特别是充要条件、四种命题，反证法等一定要在逻辑上搞清楚．③应进行考前心理的调整和考场心理的指导，以最佳竞技状态去克服慌乱急躁、紧张焦虑和丢三落四．④解题训练要加强策略意识的培养，不仅要有思路，而且要有科学的思路，多一个思维回路或多一步解题长度，就是多一个干扰和多一个犯错误的机会（会而优）．⑤考场中遇到会做的题目，要特别注意表达的准确、考虑的周密，书写的规范、语言的科学，做到“会而对、对而全”．⑥注意复查环节．3. 注意新动向，捕捉新题型数学高考自1977年恢复以来，“两个有利”基本不变，但工作不断改革，题型不断更新.1984年以前，主要“考知识”，受到“高分低能”的批评；1984年“出活题、考能力”，考生成绩低，教师有意见；1985年开始“出活题、考基础、考能力”，趋于平稳；1996年后注重了“数学思想方法”的考查，1999年提出了“能力立意”.在这期间，完成了从经验性命题向标准化的过渡，考试更加公平、公正、公开，考题的题型构成、难度构成、学科构成等都在《考试说明》中作了明确规定.题型上，1985年开始引进选择题；1993年强调了“数学应用题”，1988年出现了“数学情景题”和“数学开放题”.2022年将三角形剪拼为三棱锥是一道有深刻数学背景的开放题.可以说，高考命题一直在“稳中求进，稳中求变、稳中求新”，探索为素质教育服务的道路，已形成了一些稳定性的风格和值得注意的导向.（1）在明确考查“三基四能力”的基础上，更突出数学思想方法的考查，突出数学与现实生活的联系.（2） 在主体上考查中学数学的同时，体现进一步学习高等数学的需要.特别是一些有挑战性的压轴题，“注重理论数学，检测考生后继学习的潜能”（有人看到了高考与竞赛的相互渗透）.（3）新课程理念的渗透.虽然新世纪课程改革刚刚起步（高中教材才开始试用），但其10\n三维目标和十个基本理念已开始渗透（课程改革改到哪里，高考改革也改到哪里）.如出现人文关怀，体现“情感、态度、价值观”课程目标.（4） 在命题技术上，可以看到：①以教材为依据，又不拘泥于教材.②在知识交汇处设计命题.③能力立意.改变了过去的知识立意.④减少题量，降低难度，增加学生分析思考的时间.⑤对三类题型设计了两个从易到难的三个小高潮.⑥变小量难题把关为全卷把关.⑦试题切入容易深入难（阶梯题）.⑧避免死记硬背的内容和繁琐的运算（试卷提供难记易忘的公式）.⑨文理分卷，难度有区别（姐妹题）.研究或了解高考命题的动向，能使我们的复习工作思想更明确，操作更有针对性.4. 增强速度意识，合理分配时间，提高整体效益（1）现在的一套试题题量减少了，但仍有20多道，不下25问，平均到每道试题的时间也就4分钟左右，确实要争分夺秒，因而，平时复习就要有速度训练，要有时间观念.为了给解答题留下较多思考时间，选择题、填空题应在一、二分钟内解决，实间长了，即使做对了也是“潜在丢分”，客观题与主观题的时间比可分配为4：6.（2）据统计，一套高考试卷通常控制在2000个印刷符号，阅读一遍需5～7分钟，考虑到有的题目要反复阅读，约需12分钟；书写主要用于解答题，约3000个印刷符号，抄一遍至少要28分钟，这就一共需40分钟.于是用于思考，草算、文字组织和复查检验的时间还不到80分钟，平均每道题不到3分钟.这一算就不难理解，为什么每年都有大量考生做不完.其实高考本身有速度要求，也未打算让每一个考生都“全做全对”.（5） 解题书写要简明扼要，快速规范（写得分点）.5. 提高解立体几何题的成功率每年的试卷分析都显示,立体几何是“中等难度、高等得分”.抓立体几何题的满分率是提高总分的有效途径.6. 建立学生考情档案.高考复习要结合高考的实际，也要结合学生的实际，不仅要了解学生各单元过关情况，还要了解学生各学科发展不平衡的实际，进行综合指导.①记录学生每一单元的过关情况.②记录学生各个能力的水平档次.③分类指导.或重在提高，或重在补缺,或加强薄弱环节,或扬长避短.二、数学高考怎样解题（一）怎样求解解答题一道数学题成为高考题后，将具有不同于平时作业题的特性，如能力的代表性，分数的选拔性，时间的限定性，评分的阶段性.需要我们迅速解决两个基本问题：从何处下手？向何方前进？1.解题过程（1） 四步骤解题程序；弄清题意，拟定计划，实现计划，回顾（2） 三位一体的思维过程：有用捕捉、有关提取、有效组合.（3） “激活—扩散”的心理过程.2.模式识别(1)基本含义.10\n在学习数学的过程中，所积累的知识和经验经过加工会得出一些有长久保存价值或基本重要性的典型模式与重要类型.当我们遇到一个新问题时，首先辨认它属于我们已经掌握的哪个基本模式，然后检索出相应的解题方法来解决，这是我们在数学解题中的基本思考，也是解高考题的重要策略.可通过归类总结来积累模式.(2)模式识别在求解高考题中的具体化：①化归为课本已解决过的问题.②化归为往届高考题.拿到一道高考题，在理解题意后，立即思考问题属于哪一学科、哪一章节？与这一章节的哪个类型比较接近？解决这个类型有哪些方法？哪个方法可以首先拿来试用？这一想，下手的地方就有了，前进的方向也大体确定了.(3)模式识别的层次.①直接用，②转化用，③分解组合用.(4)模式识别解高考题的有效性①有的试题直接取自教材.②有的试题是课本概念、例题、习题的改编.③有的试题是教材中的几个题目、几种方法的串联、并联、综合与开拓.④少量难题也是按大纲精神设计的.3.差异分析(1)基本含义.如果我们把题目的条件与结论之间的差异称为目标差，那么解题的实质就在于设计一个使目标不断减少的过程.通过寻找目标差，不断减少目标差而完成解题的思考方法，叫做差异分析法.(2)差异分析法的使用.①通过题目中出现的元素，元素间所进行的运算，以及元素之间所存在的关系去找出差异.②对于所找出的目标差，要运用基础知识和基本方法立即作出减少目标差的反应.③减少目标差的调节要一次又一次地发挥作用，使得目标差逐渐减少、步步积累,最终完成解题.运用差异分析法可以简捷回答解题中的两个基本问题，从何处下手？向何方前进？就从找目标差开始，就向着目标差减少的方向前进.4.层次解决心理学的研究表明，人们在创造性解决问题的过程中，思维是按层次展开的，先粗后细，先宽或窄，先对问题作一个粗略的思考，然后逐步深入到实质与细节，或者说，先作大范围的搜索，然后再逐步收缩包围圈.通常分成三个层次，层层深入地解决.（1）一般性解决：即在策略水平上的解决，以明确解题的总体方向.这是对思考作定向调控. 在这一层面上，根据中学阶段的实际，自觉应用函数观点和方程观点是十分有益的．(2)功能性解决：即在数学方法水平上的解决,以确定具有解决功能的解题手段,这是对问题解决作方法选择.(3)特殊性解决.即在数学技能水平上的解决,以进一步缩小功能性解决的途径,明确运算程序或推理步骤.这是对技巧作实际完成.10\n5.数形结合.(比较熟悉)6.学会分析.(最为本质)(二)怎样求解选择题要根据选择题结构形式和回答方式上的特点，变常规题为特殊技巧的快速解答题，避免“小题大做”.1.从选择题的结构到方法体系.(1)选择题的结构.(2)方法体系.2.解选择题的具体方法(1)求解对照法.(2)逆推代入法.(3)特值检验法.(4)逻辑分析法.(6)直观选择法.(7)特征分析法.3.选择支的结构分析法.(三)怎样求解填空题1.填空题的主要特点.2.解填空题的具体方法.(四)解题错误分析1.知识性错误.2.逻辑性错误.3.策略性错误.4.心理性错误.(五)怎样学会解题1. 简单模仿2. 变式练习3. 自发领悟4. 自觉分析四、数学高考怎样考试(一)高考临场的基本建议1.保持内紧外松的临战状态.2.使用适应高考的答题策略.3.运用应对选拔的考试技术.(二)高考答题的技术1.提前进入角色.2.迅速摸清“题情”.3.执行“三个循环”.4.做到“四先四后”.5.答题“一慢一快”.6.立足中下题目，力争高上水平.7.立足一次成功，重视复查环节.8.内紧外松.（三）从解题策略到分段得分10\n1.分段得分的基本认识.（1）分段得分的法定依据是高考“分段评分”.（2）分段得分的基本内容是防止“分段扣分”，争取“分段给分”.（3）分段得分的技术基础是解题策略.（4）分段得分的总体功能是：进可全题解决，退可分段得分.2.分段得分的主要技术.（1）分解分步——缺步解答.（2）引理思想——跳步解答.（3）以退求进——退步解答.（4）正难则反——倒步解答.（5）扫清外围——辅助解答.（四）优化考试心理1.影响考试心理的因素.(1) 知识基础(2)考试经验(3)心理素质(4)身体因素(5)社会影响(6)考场环境(7)性别差异2.优化考试心理的建议.(1)有效强化复习记忆记忆，由记到忆，指信息的巩固与输出的流畅.①记忆的敏捷性（记得快）②记忆的持久性（记得牢）③记忆的准确性（即得准）④记忆的准备性（便于提取）及时复习，防止消极暗示，排除记忆干扰.(2)积极的考试态度态度是一种心理倾向，有认知、情感、意向等成分，表现为三种类型：①主动自觉型②被动压抑型③自留放任型(3)消除考试焦虑适度焦虑能提高效率，释放潜能，考试焦虑指过度焦虑，是消极的.表现为肌肉紧张，心跳加快，担忧，自我否定，坐立不安，头昏脑胀，昏场，作弊……①自我创设轻松愉快又适度紧张的气氛.②进行自信训练.找出消极的自我意识，进行自我肯定的训练，放松.③善于自我暗示.（4）提高应试技巧五、高考怎样填报志愿高考填报志愿是考生在选择自己意欲就读的高校和专业时，向招生部门和高校就自己的决定所表达的书面意见.这是一个知己知彼、运筹与预测问题.(一)考生志愿选择的类型10\n1.升学优先.把保证被录取定为第一目标,至于上什么学校、读什么专业放在其次.2.就业优先.把毕业后求职是否方便放在第一位，据此选取学校或专业.3.专业优先.把个人兴趣、特长放在第一位，把是否录取，将来能否就业放在其次.4.成本优先.把收费较低、助学条件较好的学校或消费水平较低的地区放在首位.5.地区优先.把本省（市）或京、沪放在首位，其他地区的高校放在其次.6.几项兼顾.7.家长决定.(二)提高命中率的基本要求1.知己.对自己实力、水平和相对位置有一个基本的估计，以决定报考哪一档次的高校.通常可以通过本校往年考取各类高校的人数来对照考生可能的档次.2.知彼.对你所适合报考的一批高校和专业，要了解学校的基本情况，了解专业的性质、培养目标，毕业去向，今年招生情况，往年录取分数等.然后，或先选学校后选地区，或先选地区后选院校.3.第一志愿是关键.高校录取面临高分原则与志愿原则的两难选择，而在实际操作中是“按志愿投档、按高分录取”，表现出志愿优先.特别是网上录取之后，同批次的高校同时投档，同时录取，第二志愿调剂的机会很小，因此，选好第一志愿十分关键，填低了日后后悔，填高了会造成降一批次录取，所以说，填好第一志愿等于多考了几十分，填坏第一志愿等于少考了几十分.命中第一志愿不仅与学校招生人数多少有关，与考生分数高低有关，而且与报名人数有关，与专业类别有关，存在不确定因素，只能是：能确定的因素先确定，易确定的因素先确定，机会超过0.5时，由本人决定.填第一志愿是学校优先还是专业优先也是一个需要考虑的问题，将因人而异.4.重视“服从调剂”.“服从”还是“不服从”会带来能不能上学、或上什么专业的直接后果，考生必须根据自己的情况慎重考虑.“服从”可以增加第二次录取的机会不至于死档.如果认为“有书念总比没书念强”就应填“服从”.但“服从”有可能分到不喜欢的学校或专业，造成专业苦恼.权衡利弊的原则是“两利取其大，两弊取其小”，先进大学门，再通过考研改变专业还是值得考虑的.(三)填报志愿的技术问题1. 正确使用招生专业目录.2. 准确填写志愿单.3. 注意高校合并后校内专业发展不平衡.4. 预测“冷门”与“热门”的变化.5. 了解专业的特殊要求.6. 了解招生的照顾政策.10
