2022高考数学一轮复习（例题解析）：15.2点与直线、直线与直线的位置关系A组1．(2022年高考安徽卷改编)直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，那么l的方程是________．解析：由题意知，直线l的斜率为－，因此直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即3x＋2y－1＝0.2．(2022年西安调研)已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，那么a等于________．解析：∵两条直线互相垂直，∴a(a＋2)＝－1，∴a＝－1.3．(2022年苏州质检)直线x＋ay＋3＝0与直线ax＋4y＋6＝0平行的充要条件是a＝________.解析：由两条直线平行可知∴a＝－2.4．假设点P(a,3)到直线4x－3y＋1＝0的距离为4，且点P在不等式2x＋y－3<0表示的平面区域内，那么实数a的值为________．解析：由＝4得a＝7或－3，又2a＋3－3<0，得a<0，∴a＝－3.5．在平面直角坐标系中，定义平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，假设直线l过点A(－2,3)，且法向量为n＝(1，－2)，那么直线l的方程为 _________．解析：设P(x，y)是直线l上任意一点，那么＝(－2－x,3－y)，且⊥n，故·n＝0，即(－2－x,3－y)·(1，－2)＝－x＋2y－8＝0，即直线l的方程为x－2y＋8＝0.答案：x－2y＋8＝06．直线y＝2x是△ABC中∠C的角平分线所在的直线，假设A、B的坐标分别为A(－4,2)，B(3,1)，求点C的坐标，并判断△ABC的形状．解：设A(－4,2)关于直线y＝2x对称的点A′的坐标是(m，n)由解得即A′的坐标是(4，－2)，由B、A′得BC所在的直线方程，3x＋y－10＝0，由解得C的坐标是(2,4)，又∵kAC′＝，kBC′＝－3，∴AC′⊥BC′，即△ABC′是直角三角形．B组1．已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称，那么直线l的方程为______________．解析：kPQ＝＝－1，PQ的中点为(，)，即(2,3)，∴kl＝1，∴直线l的方程为y－3＝(x－2)，即x－y＋1＝0.2．假设三条直线l1：x＋y＝7，l2：3x－y＝5，l3：2x＋y＋c＝0不能围成三角形，那么c的值为________．解析：由l1，l2，l3的方程可知l1，l2，l3不平行，由解得交点(3,4)，代入l3的方程得c＝－10.3．已知两条直线l1：ax＋by＋c＝0，直线l2：mx＋ny＋p＝0，那么an＝bm是直线l1∥l2的________条件．解析：∵l1∥l2⇒an－bm＝0，且an－bm＝0⇒/l1∥l2.答案：必要不充分4．过点P(1,2)作直线l，使直线l与点M(2,3)和点N(4，－5)距离相等，那么直线l的方程为________________．解析：直线l为与MN平行或经过MN的中点的直线，当l与MN平行时，斜率为－4，故直线方程为y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0；当l经过MN的中点时，MN的中点为(3，－1)，直线l的斜率为－，故直线方程为y－2＝－(x－1)，即3x＋2y－7＝0.答案：3x＋2y－7＝0或4x＋y－6＝03/3\n5．已知直线l经过点(，2)，其横截距与纵截距分别为a、b(a、b均为正数)，那么使a＋b≥c恒成立的c的取值范围为________．解析：设直线方程为＋＝1，∴＋＝1，a＋b＝(a＋b)·(＋)＝＋＋≥，故c≤.答案：(－∞，]6．(2022年苏南四市调研)假设函数y＝ax＋8与y＝－x＋b的图象关于直线y＝x对称，那么a＋b＝________.解析：直线y＝ax＋8关于y＝x对称的直线方程为x＝ay＋8，所以x＝ay＋8与y＝－x＋b为同一直线，故得，所以a＋b＝2.答案：27．如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，那么光线所经过的路程是______．解析：分别求点P关于直线x＋y＝4及y轴的对称点，为P1(4,2)、P2(－2，0)，由物理知识知，光线所经路程即为P1P2＝2.答案：28．设a、b、c、分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，那么直线xsinA＋ay＋c＝0与bx－ysinB＋sinC＝0的位置关系是______．解析：由bsinA－asinB＝0知，两直线垂直．答案：垂直9．(2022年江苏常州模拟)已知0<k<4，直线l1：kx－2y－2k＋8＝0和直线l2：2x＋k2y－4k2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，那么使得这个四边形面积最小的k值为______．解析：l1：k(x－2)－2y＋8＝0过定点(2,4)，l2：k2(y－4)＝4－2x也过定点(2,4)，如图，A(0,4－k)，B(2k2＋2,0)，S＝×2k2×4＋(4－k＋4)×2×＝4k2－k＋8.当k＝时，S取得最小值．答案：10．在△ABC中，BC边上的高所在直线方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在直线方程为y＝0，假设点B坐标为(1,2)，求点A和C的坐标．解：由得A(－1,0)．又B(1,2)，∴kAB＝1.∵x轴是∠A的平分线，∴kAC＝－1.AC直线方程y＝－(x＋1)．又BC方程为：y－2＝－2(x－1)，由得C(5，－6)．11．在直线l：3x－y－1＝0上求点P和Q，使得：(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；(2)Q到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小．解：(1)如以下图，设点B关于l的对称点B′的坐标为(a，b)，那么kBB′·kl＝－1，即3·＝－1.∴a＋3b－12＝0.①又由于线段BB′的中点坐标为3/3\n，且在直线l上，∴3×－－1＝0，即3a－b－6＝0.②解①②得a＝3，b＝3，∴B′(3,3)．于是AB′的方程为＝，即2x＋y－9＝0.解得即l与AB′的交点坐标为P(2,5)．(2)如以下图，设C关于l的对称点为C′，求出C′的坐标为.∴AC′所在直线的方程为19x＋17y－93＝0，AC′和l交点坐标为，故Q点坐标为.12．(2022年济南模拟)已知n条直线l1：x－y＋C1＝0，C1＝，l2：x－y＋C2＝0，l3：x－y＋C3＝0，…，ln：x－y＋Cn＝0(其中C1<C2<C3<…Cn)，在这n条平行直线中，每相邻两条直线之间的距离顺次为2、3、4、…、n.(1)求Cn；(2)求x－y＋Cn＝0与x轴、y轴围成图形的面积；(3)求x－y＋Cn－1＝0与x－y＋Cn＝0及x轴、y轴围成的图形的面积．解：(1)原点O到l1的距离d1为1，原点O到l2的距离d2为1＋2，…，原点O到ln的距离dn为1＋2＋…＋n＝.∵Cn＝dn，∴Cn＝.(2)设直线ln：x－y＋Cn＝0交x轴于M，交y轴于N，那么S△OMN＝|OM|·|ON|＝Cn2＝.(3)所围成的图形是等腰梯形，由(2)知Sn＝，那么有Sn－1＝.∴Sn－Sn－1＝－＝n3，∴所求面积为n3.3/3
