第4讲合情推理与演绎推理1．(2022·合肥模拟)正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理( )A．结论正确 B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确解析：选C.因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．2．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A．设数列{an}的前n项和为Sn.由an＝2n－1，求出S1＝12，S2＝22，S3＝32，…，推断：Sn＝n2B．由f(x)＝xcosx满足f(－x)＝－f(x)对∀x∈R都成立，推断：f(x)＝xcosx为奇函数C．由圆x2＋y2＝r2的面积S＝πr2，推断：椭圆＋＝1(a>b>0)的面积S＝πabD．由(1＋1)2>21，(2＋1)2>22，(3＋1)2>23，…，推断：对一切n∈N*，(n＋1)2>2n解析：选A.选项A由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{an}是等差数列，其前n项和等于Sn＝＝n2，选项D中的推理属于归纳推理，但结论不正确．3．(2022·洛阳模拟)某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅．”结论显然是错误的，是因为( )A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误解析：选C.因为大前提：“鹅吃白菜”本身正确，小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但小前提不是大前提下的特殊情况，即鹅与人不能类比．所以不符合三段论推理形式，所以推理形式错误，故选C.4．已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N*，则f2017(x)＝( )A．sinx＋cosxB．－sinx－cosxC．sinx－cosxD．－sinx＋cosx解析：选A.f2(x)＝f′1(x)＝cosx－sinx，f3(x)＝f′2(x)＝－sinx－cosx，f4(x)＝f′3(x)＝－cosx＋sinx，f5(x)＝f′4(x)＝sinx＋cosx，f6(x)＝f′5(x)＝cosx－sinx，…，可知fn(x)是以4为周期的函数，因为2017＝504×4＋1，所以f2017(x)＝f1(x)＝sinx＋cosx．故选A.5．(2022·枣庄模拟)将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为( )13 5 79 11 13 15 171921232527 29 31… … …A．809 B．852C．786D．893解析：选A.前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400(个)，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.6．(2022·高考陕西卷)观察分析下表中的数据：多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．3\n解析：观察F，V，E的变化得F＋V－E＝2.答案：F＋V－E＝27．(2022·潍坊模拟)对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数，观察下列等式：[]＋[]＋[]＝3，[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝10，[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝21，…按照此规律第n个等式的等号右边的结果为________．解析：因为[]＋[]＋[]＝1×3，[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝2×5，[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝3×7，…，以此类推，第n个等式的等号右边的结果为n(2n＋1)，即2n2＋n.答案：2n2＋n8．(2022·贵州省六校联考)在平面几何中：△ABC的∠ACB内角平分线CE分AB所成线段的比为＝.把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中(如图)DEC平分二面角ACDB且与AB相交于E，则得到类比的结论是________．解析：由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得＝.答案：＝9．(2022·泉州质检)对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式：23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19.根据上述分解规律，若m3(m∈N*)的分解式中最小的数是73，则m的值为________．解析：根据23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，从23起，m3的分解规律恰为数列3，5，7，9，11，…，若干连续项之和，23为前两项和，33为接下来三项和，故m3的首数为m2－m＋1.因为m3(m∈N*)的分解中最小的数是73，所以m2－m＋1＝73，所以m＝9.答案：910．在锐角三角形ABC中，求证：sinA＋sinB＋sinC>cosA＋cosB＋cosC.证明：因为△ABC为锐角三角形，所以A＋B>，所以A>－B，因为y＝sinx在上是增函数，所以sinA>sin＝cosB，同理可得sinB>cosC，sinC>cosA，所以sinA＋sinB＋sinC>cosA＋cosB＋cosC.11．给出下面的数表序列： 表1 表2 表31 1 3 1 3 53\n 4 4 8 12 …其中表n(n＝1，2，3，…)有n行，第1行的n个数是1，3，5，…，2n－1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明)．解：表4为 1 3 5 7 4 8 12 12 20 32它的第1，2，3，4行中的数的平均数分别是4，8，16，32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列．3
