专题讲座五解析几何在高考中的常见题型与求解策略1．(2022·长春质量检测)若F(c，0)是双曲线－＝1(a>b>0)的右焦点，过F作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于A，B两点，O为坐标原点，△OAB的面积为，则该双曲线的离心率e＝( )A. B.C.D.解析：选C.设过第一、三象限的渐近线的倾斜角为θ，则tanθ＝，tan2θ＝，因此△OAB的面积可以表示为·a·atan2θ＝＝，解得＝，则e＝.故选C.2．(2022·山西省考前质量检测)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点E在C的准线上，且在x轴上方，线段EF的垂直平分线与C的准线交于点Q，与C交于点P，则点P的坐标为( )A．(1，2)B．(2，2)C．(3，2)D．(4，4)解析：选D.由题意，得抛物线的准线方程为x＝－1，F(1，0)．设E(－1，y)，因为PQ为EF的垂直平分线，所以|EQ|＝|FQ|，即y－＝，解得y＝4，所以kEF＝＝－2，kPQ＝，所以直线PQ的方程为y－＝(x＋1)，即x－2y＋4＝0.由解得即点P的坐标为(4，4)，故选D.3．已知F1、F2分别为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，过椭圆的中心O任作一直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2的面积最大时，·的值为________．解析：易知当P，Q分别是椭圆的短轴端点时，四边形PF1QF2的面积最大．由于F1(－，0)，F2(，0)，不妨设P(0，1)，所以＝(－，－1)，＝(，－1)，所以·＝－2.答案：－24．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的倾斜角为，离心率为e，则的最小值为________．5\n解析：由题意，＝，所以b＝a，所以c＝2a，e＝2，＝＝＋≥(当且仅当a＝2时取等号)，则的最小值为.答案：5.(2022·山西省四校联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋＝0相切．A、B是椭圆C的右顶点与上顶点，直线y＝kx(k>0)与椭圆相交于E、F两点．(1)求椭圆C的方程；(2)当四边形AEBF面积取最大值时，求k的值．解：(1)由题意知：e＝＝，所以e2＝＝＝，所以a2＝4b2.又圆x2＋y2＝b2与直线x－y＋＝0相切，所以b＝1，所以a2＝4，故所求椭圆C的方程为x2＋＝1.(2)设E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1<x2，将y＝kx代入椭圆的方程x2＋＝1整理得：(k2＋4)x2＝4，故x2＝－x1＝，①因为A(1，0)，B(0，2)，故由两点式得直线AB的方程为：2x＋y－2＝0，设点E，F到直线AB的距离分别为h1，h2，则h1＝＝，h2＝＝，|AB|＝＝，所以四边形AEBF的面积为S＝|AB|(h1＋h2)＝××＝＝2＝2＝2≤2，当k2＝4(k>0)，即k＝2时，上式取等号．所以当四边形AEBF面积取最大值时，k＝2.6.(2022·河南省八校联考)已知点P(2，3)，Q(2，－3)在椭圆＋＝1上，A、B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．(1)若直线AB的斜率为，求四边形APBQ的面积的最大值；(2)当A、B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝x＋t，把其代入＋＝1，得x2＋5\ntx＋t2－12＝0，由Δ＝t2－4(t2－12)>0，解得－4<t<4，由根与系数的关系得x1＋x2＝－t，x1x2＝t2－12.四边形APBQ的面积S＝×6×|x1－x2|＝3，所以当t＝0时，Smax＝12.(2)当∠APQ＝∠BPQ，则直线PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为－k，直线PA的方程为y－3＝k(x－2)，由得(3＋4k2)x2＋8(3－2k)kx＋4(3－2k)2－48＝0，则x1＋2＝，同理直线PB的方程为y－3＝－k(x－2)，可得x2＋2＝＝，所以x1＋x2＝，x1－x2＝，kAB＝＝＝＝，所以直线AB的斜率为定值.1．(2022·洛阳统考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设O为坐标原点，kOA·kOB＝－，判断△AOB的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由．解：(1)由题意得c＝1，又e＝＝，所以a＝2，从而b2＝a2－c2＝3，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，由Δ＝(8mk)2－16(3＋4k2)(m2－3)>0得m2<3＋4k2.因为x1＋x2＝－，x1x2＝，所以y1y2＝(kx1＋m)·(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝.由kOA·kOB＝－＝－得y1y2＝－x1x2， 即＝－·，化简得2m2－4k2＝3，满足Δ>0.5\n由弦长公式得|AB|＝|x1－x2|＝·＝.又点O到直线l：y＝kx＋m的距离d＝，所以S△AOB＝·d·|AB|＝·＝＝＝＝.故△AOB的面积为定值.2．(2022·太原模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是点F1、F2，其离心率e＝，点P为椭圆上的一个动点，△PF1F2面积的最大值为4.(1)求椭圆的方程；(2)若A、B、C、D是椭圆上不重合的四个点，AC与BD相交于点F1，·＝0，求||＋||的取值范围．解：(1)由题意得，当点P是椭圆的上、下顶点时，△PF1F2面积取最大值，此时S△PF1F2＝·|F1F2|·|OP|＝bc，所以bc＝4，因为e＝，所以b＝2，a＝4，所以椭圆的方程为＋＝1.(2)由(1)得椭圆的方程为＋＝1，则F1的坐标为(－2，0)，因为·＝0，所以AC⊥BD，①当直线AC与BD中有一条直线斜率不存在时，易得||＋||＝6＋8＝14，②当直线AC的斜率k存在且k≠0时，则其方程为y＝k(x＋2)，设A(x1，y1)，C(x2，y2)，联立消去y，得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－48＝0，所以，所以||＝|x1－x2|＝，此时直线BD的方程为y＝－(x＋2)，同理，由可得||＝，所以||＋||＝＋＝，5\n令t＝k2＋1(k≠0)，则t>1，所以||＋||＝，因为t>1，所以0<≤，所以||＋||∈.由①②可知，||＋||的取值范围是.5
