专题讲座2三角函数、解三角形与平面向量在高考中的常见题型与求解策略1．已知|a|＝3，|b|＝2，(a＋2b)·(a－3b)＝－18，则a与b夹角为( )A．30° B．60°C．120°D．150°解析：选B.(a＋2b)·(a－3b)＝－18，所以a2－6b2－a·b＝－18，因为|a|＝3，|b|＝2，所以9－24－a·b＝－18，所以a·b＝3，所以cos〈a，b〉＝＝＝，所以〈a，b〉＝60°.2．(2022·郑州第一次质量预测)已知函数f(x)＝Asin(πx＋φ)的部分图像如图所示，点B，C是该图像与x轴的交点，过点C的直线与该图像交于D，E两点，则(＋)·(－)的值为( )A．－1B．－C.D．2解析：选D.注意到函数f(x)的图像关于点C对称，因此C是线段DE的中点，＋＝2.又－＝＋＝，且||＝T＝×＝1，因此(＋)·(－)＝22＝2. 3．(2022·高考重庆卷)在△ABC中，B＝120°，AB＝，A的角平分线AD＝，则AC＝________．解析：如图，在△ABD中，由正弦定理，得＝，所以sin∠ADB＝.所以∠ADB＝45°，所以∠BAD＝180°－45°－120°＝15°.所以∠BAC＝30°，∠C＝30°，所以BC＝AB＝.在△ABC中，由正弦定理，得＝，所以AC＝.答案：4．(2022·高考天津卷改编)已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω＞0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内递增，且函数y＝f(x)的图像关于直线x＝ω对称，则ω5\n的值为________．解析：f(x)＝sinωx＋cosωx＝sin，因为f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图像关于直线x＝ω对称，所以f(ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋＝2kπ＋，k∈Z，所以ω2＝＋2kπ，k∈Z.又ω－(－ω)≤，即ω2≤，所以ω2＝，所以ω＝.答案：5.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图像的一部分如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)当x∈时，求函数y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值与最小值及相应的x的值．解：(1)由题图知A＝2，T＝8，因为T＝＝8，所以ω＝.又图像经过点(－1，0)，所以2sin＝0.因为|φ|<，所以φ＝.所以f(x)＝2sin.(2)y＝f(x)＋f(x＋2)＝2sin＋2sin＝2sin＝2cosx.因为x∈，5\n所以－≤x≤－.所以当x＝－，即x＝－时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最大值；当x＝－π，即x＝－4时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最小值－2.6．(2022·高考陕西卷)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，b)与n＝(cosA，sinB)平行．(1)求A；(2)若a＝，b＝2，求△ABC的面积．解：(1)因为m∥n，所以asinB－bcosA＝0，由正弦定理，得sinAsinB－sinBcosA＝0，又sinB≠0，从而tanA＝.由于0＜A＜π，所以A＝.(2)法一：由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，而a＝，b＝2，A＝，得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0.因为c＞0，所以c＝3.故△ABC的面积为bcsinA＝.法二：由正弦定理，得＝，从而sinB＝.又由a＞b，知A＞B，所以cosB＝.故sinC＝sin(A＋B)＝sin＝sinBcos＋cosBsin＝.所以△ABC的面积为absinC＝.1．已知函数f(x)＝2cos2x＋2sinxcosx(x∈R)．(1)当x∈时，求函数f(x)的递增区间；(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝3，f(C)＝2，若向量m＝(1，sinA)与向量n＝(2，sinB)共线，求a，b的值．解：(1)f(x)＝2cos2x＋sin2x＝cos2x＋sin2x＋1＝2sin＋1，令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，因为x∈，所以f(x)的递增区间为.5\n(2)由f(C)＝2sin＋1＝2，得sin＝，而C∈(0，π)，所以2C＋∈，所以2C＋＝π，解得C＝.因为向量m＝(1，sinA)与向量n＝(2，sinB)共线，所以＝.由正弦定理得＝，①由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos，即a2＋b2－ab＝9.②联立①②，解得a＝，b＝2.2．(2022·高考福建卷)已知函数f(x)＝10sincos＋10cos2.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)将函数f(x)的图像向右平移个单位长度，再向下平移a(a＞0)个单位长度后得到函数g(x)的图像，且函数g(x)的最大值为2.①求函数g(x)的解析式；②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0.解：(1)因为f(x)＝10sincos＋10cos2＝5sinx＋5cosx＋5＝10sin(x＋)＋5，所以函数f(x)的最小正周期T＝2π.(2)①将f(x)的图像向右平移个单位长度后得到y＝10sinx＋5的图像，再向下平移a(a＞0)个单位长度后得到g(x)＝10sinx＋5－a的图像．又已知函数g(x)的最大值为2，所以10＋5－a＝2，解得a＝13.所以g(x)＝10sinx－8.②证明：要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得10sinx0－8＞0，即sinx0＞.由＜知，存在0＜α0＜，使得sinα0＝.由正弦函数的性质可知，当x∈(α0，π－α0)时，均有sinx＞.因为y＝sinx的周期为2π，所以当x∈(2kπ＋α0，2kπ＋π－α0)(k∈Z)时，均有sinx＞.因为对任意的整数k，(2kπ＋π－α0)－(2kπ＋α0)＝π－2α0＞＞1，所以对任意的正整数k，都存在正整数xk∈(2kπ＋α0，2kπ＋π－α0)，使得sinxk＞.5\n即存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0. 5
