课时提升练(四十四) 椭 圆一、选择题1．(2022·西安模拟)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是( )A.＋＝1 B.＋＝1C.＋＝1D.＋y2＝1【解析】 由题意可知c＝1，＝，∴a＝2，b2＝a2－c2＝3.∴C的方程为＋＝1.【答案】 C2．(2022·银川模拟)已知正方形ABCD，以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的离心率为( )A.－1 B. C. D.－1【解析】 依题意，设|AB|＝m，则题中的椭圆的离心率是e＝＝－1，故选D.【答案】 D3．(2022·四川高考)从椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )A.B.C.D.【解析】 由题意设P(－c，y0)，将P(－c，y0)代入＋＝1，得＋＝1，则y＝b2＝b2·＝.∴y0＝或y0＝－(舍去)，7\n∴P，∴kOP＝－.∵A(a,0)，B(0，b)，∴kAB＝＝－.又∵AB∥OP，∴kAB＝kOP，∴－＝－，∴b＝c.∴e＝＝＝＝.故选C.【答案】 C4．(2022·衡水模拟)已知F1，F2是椭圆＋y2＝1的两个焦点，P为椭圆上一动点，则使|PF1|·|PF2|取最大值的点P为( )A．(－2,0)B．(0,1)C．(2,0)D．(0,1)或(0，－1)【解析】 由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，∴|PF1|·|PF2|≤2＝4，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2，即P(0，－1)或(0,1)时，取“＝”．【答案】 D5．(2022·福建高考)设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是( )A．5B.＋C．7＋D．6【解析】 如图所示，设以(0,6)为圆心，以r为半径的圆的方程为x2＋(y－6)2＝r2(r＞0)，与椭圆方程＋y2＝1联立得方程组，消掉x2得9y2＋12y＋r2－46＝0.7\n令Δ＝122－4×9(r2－46)＝0，解得r2＝50，即r＝5.由题意易知P，Q两点间的最大距离为r＋＝6，故选D.【答案】 D6．椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是( )A.B.C.D.【解析】 由题意可得A1(－2,0)，A2(2,0)，当PA2的斜率为－2时，直线PA2的方程为y＝－2(x－2)，代入椭圆方程，消去y化简得19x2－64x＋52＝0，解得x＝2或x＝.由点P在椭圆上得点P，此时直线PA1的斜率k＝.同理，当直线PA2的斜率为－1时，直线PA2方程为y＝－(x－2)，代入椭圆方程，消去y化简得7x2－16x＋4＝0，解得x＝2或x＝.由点P在椭圆上得点P，此时直线PA1的斜率k＝.数形结合可知，直线PA1斜率的取值范围是.【答案】 B二、填空题7．(2022·上海八校联考)直线x－2y＋2＝0过椭圆＋＝1的左焦点F1和一个顶点B7\n，则椭圆的方程为________．【解析】 注意到直线x－2y＋2＝0与两坐标轴的交点坐标分别是(－2,0)，(0,1)，依题意得F1(－2,0)，B(0,1)，即b＝1，c＝2，a2＝22＋12＝5，所求的椭圆的方程是＋y2＝1.【答案】 ＋y2＝18．(2022·辽宁高考)已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝________.【解析】 椭圆＋＝1中，a＝3.如图，设MN的中点为D，则|DF1|＋|DF2|＝2a＝6.∵D，F1，F2分别为MN，AM，BM的中点，∴|BN|＝2|DF2|，|AN|＝2|DF1|，∴|AN|＋|BN|＝2(|DF1|＋|DF2|)＝12.【答案】 129．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________．【解析】 因为方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，所以|a|－1＞a＋3＞0，解得－3＜a＜－2.【答案】 (－3，－2)三、解答题10.7\n图852(2022·江苏高考)如图852，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.(1)若点C的坐标为，且BF2＝，求椭圆的方程；(2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．【解】 设椭圆的焦距为2c，则F1(－c,0)，F2(c,0)．(1)因为B(0，b)，所以BF2＝＝a.又BF2＝，故a＝.因为点C在椭圆上，所以＋＝1，解得b2＝1.故所求椭圆的方程为＋y2＝1.(2)因为B(0，b)，F2(c,0)在直线AB上，所以直线AB的方程为＋＝1.解方程组得或所以点A的坐标为.又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为.因为直线F1C的斜率为＝，直线AB的斜率为－，且F1C⊥AB，所以·＝－1.又b2＝a2－c2，整理得a2＝5c2.7\n故e2＝，因此e＝.11．(2022·安徽高考)设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．【解】 (1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝1.因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8.故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5.(2)设|F1B|＝k，则k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.由椭圆定义可得|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.在△ABF2中，由余弦定理可得|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B，即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)，化简可得(a＋k)(a－3k)＝0.而a＋k>0，故a＝3k.于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，故△AF1F2为等腰直角三角形．从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝＝.12．(2022·绍兴模拟)图853如图853所示，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，7\nF2(c,0)．已知点M在椭圆上，且点M到两焦点距离之和为4.(1)求椭圆的方程；(2)设与MO(O为坐标原点)垂直的直线交椭圆于A，B(A，B不重合)，求·的取值范围．【解】 (1)∵2a＝4，∴a＝2，又M在椭圆上，∴＋＝1，解得b2＝2，∴所求椭圆方程＋＝1.(2)由题意知kMO＝，∴kAB＝－，设直线AB的方程为y＝－x＋m，联立方程组消去y，得13x2－4mx＋2m2－4＝0，Δ＝(4m)2－4×13×(2m2－4)＝8(26－m2)＞0.∴m2＜26，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得x1＋x2＝，x1x2＝.则·＝x1x2＋y1y2＝7x1x2－m(x1＋x2)＋m2＝∈.∴·的取值范围是.7
