2022年福建省高考模拟试题数学试题（理科）本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题),第二卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．总分值150分，考试时间120分钟．命题人：厦门外国语学校吴育文本卷须知：1．答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚．4．做选考题时、考生按照题目要求作答,并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．5．保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试完毕后,将本试卷和答题卡一并交回.参考公式：10/10样本数据x1,x2,…,xn的标准差其中为样本平均数;柱体体积公式其中S为底面面积,h为高锥体体积公式其中S为底面面积,h为高球的外表积、体积公式，其中R为球的半径10/10第I卷（选择题共50分）10/10\n一、选择题：本大题有10小题，每题5分，共50中，只有一个选项是符合题目要求的．1．设，假设（为虚数单位）为正实数，那么A．2B．1C．0D．2．已知，，，是空间四点，命题甲：，，，四点不共面，命题乙：直线和不相交，那么甲是乙成立的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．曲线，与直线，所围成的平面区域的面积为A．B．C．D．4．以下向量中与向量平行的是A．（-4，6）B．（4，6）C．（-3，2）D．（3，2）5．函数是A．奇函数B．既是奇函数又是偶函数C．偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数6．设函数在区间内是减函数，那么，，的大小关系是A．B．C．D．7．设为等差数列｛｝的前n项和，且，那么A．45B．50C．55D．90_频率分数405060708090100组距8．统计某校1000名学生的数学水平测试成绩，得到样本频率分布直方图如以下图，假设总分值为100分，规定不低于60分为及格，那么及格率是A．20%B．25%C．6%D．80%9．将函数的图像按向量平移得到的图像对应的一个函数解析式是A．B．C．10/10\nD．10．设，，…，是1，2，…，的一个排列，把排在的左边且比小的数的个数称为的顺序数（）．如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0．那么在1至8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为A．48B．96C．144D．192第二卷（非选择题共100分）完毕输出(x，y)是开场x←1,y←0,n←1x←1,n＞8否n←n＋2第11题x←3xy←y－2第11题图二、填空题（本大题有4小题，每题5分，共20分）11．命题“，”的否认是.12．已知某算法的流程图如以下图，假设将输出的数组依次记为，，，,，那么程序运行完毕时输出的最后一个数组为.13．曲线在点（1，2）处的切线方程是．14．假设实数满足不等式组那么3x－y的最小值是________.15．定义：我们把阶乘的定义引申，定义，假设为偶数，那么乘至2，反之，那么乘至1，而0!!=0。我们称之为双阶乘(DoubleFactorial)对夫妇任意地排成一列，那么每位丈夫都排在他的妻子后面的概率是________.（结果用含双阶乘的形式表示）三、解答题（本大题有6小题，共74分）16．（此题总分值13分）某投资公司在2022年年初准备将1000万元投资到“低碳”工程上，现有两个工程供选择：10/10\n工程一：新能源汽车．据市场调研，投资到该工程上，到年底可能获利，也可能亏损，且这两种情况发生的概率分别为和；工程二：通信设备．据市场调研，投资到该工程上，到年底可能获利，可能亏损，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为、和．针对以上两个投资工程，请你为投资公司选择一个合理的工程，并说明理由；17．（此题总分值13分）如图5，已知直角梯形所在的平面垂直于平面，，，．（1）在直线上是否存在一点，使得平面？请证明你的结论；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．18．（此题总分值13分）一走廊拐角处的横截面如以下图，已知内壁和外壁都是半径为的四分之一圆弧，，分别与圆弧相切于，两点，∥，∥，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是．（1）假设水平放置的木棒的两个端点分别在外壁和上，且木棒与内壁圆弧相切于点．设，试用表示木棒的长度；NMABCDEFGHPQ1m1m第18题图（2）假设一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值．第17题图19．（此题总分值13分）已知椭圆的某个焦点为，双曲线的某个焦点为．（1）请在上补充条件，使得椭圆的方程为；友情提示：不可以补充形如之类的条件。（2）命题一：“已知抛物线的焦点为F，定点满足，以PF为直径的圆交轴于A、B，那么直线PA、PB与抛物线相切”．命题中涉及了这么几个要素：对于任意抛物线，定点P，以PF为直径的圆交轴于A、B，PA、PB与抛物线相切．试类比上述命题分别写出一个关于椭圆C和双曲线G的类似正确的命题；（3）证明命题一的正确性．20．（此题总分值14分）已知函数.（Ⅰ）当时，求证：函数在上单调递增；（Ⅱ）假设函数有三个零点，求的值；（Ⅲ）假设存在，使得，试求的取值范围.10/10\n21．此题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每题7分,请考生任选2题作答,总分值14分.如果多作,那么按所做的前两题计分.作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将选题号填入括号中.(1)(本小题总分值7分)选修4一2:矩阵与变换求矩阵的特征值及对应的特征向量.(2)(本小题总分值7分)选修4一4:坐标系与参数方程已知直线的参数方程：（为参数）和圆的极坐标方程：．（Ⅰ）将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线和圆的位置关系．(3)(本小题总分值7分)选修4一5:不等式选讲已知函数.假设不等式恒成立，求实数的范围.2022年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）理科试题试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解答与本解答不同，可根据试题的主要内容比照评分标准制定相应的评分细那么.二、对计算题，当考生的解答某一步出现错误时，如果后继局部的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继局部的给分，但不得超过该局部正确解容许给分数的一半；如果后继局部的解答有错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.10/10\n一、选择题：此题主要考察根底知识和根本运算．1．B2．A3．D4．A5．D6．D7．A8．D9．D10．C二、本大题共4个小题；每题5分，共20分.此题主要考察根底知识和根本运算．11．,12．13．14．715．【15题解析】(理解一)排列的总数是.为了计算有利场合的个数，可以这样考虑.首先把n个丈夫进展排列，共有种可能.然后让排在第一的那位丈夫的妻子插人队伍，她显然只有1种可能的位置，即排在最前面，接着让排在第二位的丈夫的妻子进人队伍.现在她的丈夫之前已有两人，因此她有3种位置可选择.排在第三位的丈夫的妻子进人队伍有5种位置可选择，依次下去，最后一位丈夫的妻子有，所以要求的概率是。(理解二)对于每个家庭来说，丈夫排在妻子后面的概率都是，有对夫妻，因此概率应该为，下面只要想方法将化简为含有双阶乘形式就可以了。。三、解答题:本大题共6小题,共80分.解容许写出文字说明,证明过程或演算步骤.16．解：假设按“工程一”投资，设获利万元，那么的分布列为（万元）.………………4分假设按“工程二”投资，设获利万元，那么的分布列为：10/10\n（万元）.……………………8分又，……………10分………12分所以，，这说明虽然工程一、工程二获利相等，但工程一更稳妥．综上所述，建议该投资公司选择工程一投资．………………………………………………………………………………13分17.解：（1）线段的中点就是满足条件的点．……1分证明如下：取的中点连结，那么，，…………………2分取的中点，连结，∵且，∴△是正三角形，∴．∴四边形为矩形，∴．又∵，………3分∴且，四边形是平行四边形．……………………4分∴，而平面，平面，∴平面．……………………6分（2）（解法1）过作的平行线，过作的垂线交于，连结，∵，∴，是平面与平面所成二面角的棱．……8分∵平面平面，，∴平面，又∵平面，∴平面，10/10\n∴，∴是所求二面角的平面角．………………11分设，那么，，∴，∴．………………………13分（解法2）∵，平面平面，∴以点为原点，直线为轴，直线为轴，建立空间直角坐标系，那么轴在平面内（如图）．设，由已知，得，，．∴，，………………………8分设平面的法向量为，那么且，∴∴解之得取，得平面的一个法向量为.…………………………11分又∵平面的一个法向量为．．…………13分说明：此题主要考察直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力．18．(1)如图，设圆弧所在的圆的圆心为，过点作垂线，垂足为点，且交或其延长线与于，并连接，再过点作的垂线，垂足为．在中，因为，，NMABCDEFGHPS1m1mTQW所以．因为与圆弧切于点，所以，在，因为，，所以，，①假设在线段上，那么在中，，10/10\n因此②假设在线段的延长线上，那么在中，，因此．………………………………………6分（2）设，那么，因此．因为，又，所以恒成立，因此函数在是减函数，所以，即．答：一根水平放置的木棒假设能通过该走廊拐角处，那么其长度的最大值为．…………………………………………………………………………13分19.解:（1）补充一：椭圆的离心率为，且椭圆的长轴长为补充二：椭圆过和补充三：椭圆上任一点到椭圆两焦点的距离和为，且椭圆的一条准线长为类似地还可以有很多补充，这里不再赘述，评卷员视实际情况给分，此题总分值（2分）（2）命题一：已知椭圆的某个焦点为F，定点满足，以PF为直径的圆与圆交于A、B两点，那么PA、PB与椭圆相切。…………………………………………………………………………………………5分命题二：已知双曲线的某个焦点为，定点满足，以PF为直径的圆与圆交于A、B两点，那么PA、PB与双曲线相切。…………………………………………………………………………………………9分（3）证明：以PF为直径的圆的方程为，设A，那么，直线PA的方程为，即联立，消去x得到，所以，所以直线PA与抛物线相切。同理可证PB与抛物线相切。………………………………………………………………13分20．解：（Ⅰ）由于，故当时，，所以，故函数在上单调递增…………4分10/10\n（Ⅱ）当时，因为，且在R上单调递增，故有唯一解………………6分所以的变化情况如下表所示：x0－0＋递减极小值递增又函数有三个零点，所以方程有三个根，而，所以，解得…8分（Ⅲ）因为存在，使得，所以当时，由（Ⅱ）知，在上递减，在上递增，所以当时，，而，记，因为（当时取等号），所以在上单调递增，而，所以当时，；当时，，也就是当时，；当时，……………13分①当时，由，②当时，由，综上知，所求的取值范围为………………………………14分（1）．解：设A的一个特征值为，由题意知：………………3分……5分……7分（2）．解：（Ⅰ）消去参数，得直线的普通方程为………………3分，即，两边同乘以得，得⊙的直角坐标方程为………………………5分（Ⅱ）圆心到直线的距离，所以直线和⊙相交……7分（3）．解：由，且，得……3分又因为，那么有2………………5分解不等式，得……………………7分10/10
