第01节数列的概念与简单表示法【考纲解读】考 点考纲内容五年统计分析预测数列的概念和表示方法了解数列的概念和表示方法(列表、图象、公式)2022浙江131.高频考向:利用an与Sn的关系求通项,递推数列求通项.2.低频考向:数列的周期性、单调性及最值.3.特别关注:(1)构造特殊数列求通项;(2)利用数列的单调性求参数范围或数列项的最值.【知识清单】一．数列的概念与通项公式1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数，称为数列.数列中的每一项叫做数列的项.数列的项在这列数中是第几项，则在数列中是第几项.一般记为数列.对数列概念的理解(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．2．数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列其中n∈N＋递减数列15\n常数列按其他标准分类有界数列存在正数，使摆动数列的符号正负相间，如1，－1,1，－1，…3．数列是一种特殊的函数数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集和正整数集的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点.4.数列的通项公式：如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.5.数列的前项和和通项的关系：.对点练习：已知数列的前几项为,,,,…，则数列的一个通项公式为.【答案】.二．数列的性质数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点，因此，在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．对点练习：15\n已知数列，则数列最小项是第项.【答案】5【考点深度剖析】关于数列的概念问题，虽然在高考中很少独立命题，但数列的通项公式、猜想、归纳、递推意识却融入数列的试题之中，因此对本节要细心领会，认真掌握．【重点难点突破】考点1数列的基本概念，由数列的前几项求数列的通项公式【1-1】【2022届贵州省贵阳市第一中学高三上学期适应性月考（一）】只用“加减乘除”就可解决问题.88511，16351，？，10251；“？”处应填的数字是__________．【答案】73155【解析】1+6=76-3=33*5=15故得到73155．【1-2】【2022届安徽省巢湖一中、合肥八中、淮南二中等高中十校联盟高三摸底考试理】若有穷数列满足，就称该数列为“相邻等和数列”，已知各项都为正整数的数列是项数为8的“相邻等和数列”，且，则满足条件的数列有__________个．【答案】4【解析】设，由题意知，，，.∵数列各项都为正整数，∴，则满足条件的数列有4个.【领悟技法】1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用15\n或来调整．2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证.3.对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式.【触类旁通】【变式一】【2022届重庆市第一中学高三上学期第一次月考】我们把满足的数列叫做牛顿数列，已知函数，且数列为牛顿数列，设，则（）A.B.C.D.【答案】C【变式二】【2022届甘肃省兰州第一中学高三上学期第二次月考】数列满足，，（），则等于A.5B.9C.10D.15【答案】D【解析】令，则，即，则；故选D.15\n考点2由前项和公式推导通项公式，即与的关系求通项【2-1】【2022届衡水金卷高三大联考理】已知数列与的前项和分别为，，且，，，若恒成立，则的最小值是()A.B.C.49D.【答案】B因为，所以.即数列是以3为首项，3为公差的等差数列，所以.所以.所以.要使恒成立，只需.故选B.【2-2】【2022届河北省石家庄市高三毕业班第二次模拟考试数学（理）】已知数列满足，．（Ⅰ）求数列的通项公式；15\n（Ⅱ）若，，求证：对任意的，.【答案】（1）（2）见解析所以，当时，，所以，．（Ⅱ）因为，.因此.所以，对任意，．【领悟技法】已知数列的前项和，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：(1)先利用求出；(2)用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式；(3)对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写．15\n【注】该公式主要是用来求数列的通项，求数列通项时，一定要分两步讨论，结果能并则并，不并则分.【触类旁通】【变式一】【2022届甘肃省兰州第一中学高三上学期第二次月考】已知正项数列的首项，前n项和为，若以为坐标的点在曲线上，则数列的通项公式为________．【答案】【变式二】【2022届”超级全能生”高考全国卷26省9月联考乙卷】已知正项数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）式中令n=1,求得，n用n-1代，得，两式作差可得，可求得。（2）由（1），由错位相减法可求和。试题解析：（1）设数列的前项和为.当时，，当时，，两式相减得，即，15\n又，数列的首项为，公差为的等差数列，即.（2），①，②①-②得，考点3由递推公式推导通项公式【3-1】【河北省2022届衡水中学押题卷】数列满足，（），则（）A.B.C.D.【答案】D【3-2】【重庆市梁平区2022届高三上学期第一次调研考试】已知数列满足，且，则________________.【答案】【解析】由可得：，所以是以1为首项3为公比的等比数列，所以，故.【3-3】【湖北省武汉市2022届高三四月调研测试数学理】已知数列满足，，若，则数列的通项（）A.B.C.D.15\n【答案】B，，则.选B.【领悟技法】递推公式推导通项公式方法：（1）累加法：（2）累乘法：（3）待定系数法：（其中均为常数，）解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解.（4）待定系数法：（其中均为常数，）.（或,其中均为常数）.解法：在原递推公式两边同除以，得：，令，得：，再按第（3）种情况求解.15\n（5）待定系数法：解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列.（6）待定系数法：解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列.（7）待定系数法：（其中均为常数）.解法：先把原递推公式转化为其中满足，再按第（4）种情况求解.（8）取倒数法：解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为，按第（3）种情况求解.（，解法：等式两边同时除以后换元转化为，按第（3）种情况求解.）.（9）取对数解法：这种类型一般是等式两边取以为底的对数，后转化为，按第（3）种情况求解.【触类旁通】【变式一】【2022届甘肃省肃南县第一中学高三月考】某数学大会会徽的主体图案是由一连串直角三角形演化而成的(如图)，其中，记，，，…，的长度构成的数列为，则的通项公式__________.15\n【答案】【解析】根据题意：OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1∴，∴是以1为首项，以1为公差的等差数列∴.【变式二】【山西省太原市第五中学2022届高三第二次模拟考试（5月）数学（理）】对于正整数，设是关于的方程的实数根，记，其中表示不超过实数的最大整数，则__________．【答案】考点4数列的性质的应用【4-1】【湖南师范大学附属中学2022届高三下学期高考模拟（二）数学（理）】已知数列{an}，an≥0，a1＝0，an＋12＋an＋1－1＝an2(n∈N*)．对于任意的正整数n，不等式t2－an2－3t－3an≤0恒成立，则正数t的最大值为()A.1B.2C.3D.6【答案】C【解析】易证得数列{an}是递增数列，又t2－an2－3t－3an＝(t－an－3)(t＋an)≤0，t＋an>0，∴t≤an＋3恒成立，t≤(an＋3)min＝a1＋3＝3，15\n∴tmax＝3.故选C.【4-2】【湖北省襄阳四中2022届高三下学期5月适应性考试】若数列，的通项公式分别为，，且对任意恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【领悟技法】1.数列中项的最值的求法数列中或的最值问题与函数处理方法类似，首先研究数列或的特征，再进一步判断数列的单调性，从而得到最值．要注意的细节是只能取正整数．数列中最大项和最小项的求法求最大项的方法：设为最大项，则有；求最小项的方法：设为最小项，则有.前项和最值的求法(1)先求出数列的前项和，根据的表达式求解最值；(2)根据数列的通项公式，若，且，则最大；若，且，则最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值.2．在运用函数判断数列的单调性时，要注意函数的自变量为连续的，数列的自变量为不连续的，所以函数性质不能够完全等同于数列的性质．有些数列会出现前后几项的大小不一，从某一项开始才符合递增或递减的特征，这时前几项中每一项都必须研究．15\n3.数列中恒等关系和有解问题主要是建立关于数列中基本量或相关参数的方程，再进一步论证该方程是否有整数解问题，其中对方程的研究是关键，一般可从奇偶数、约数、有理数、无理数等方面论证，也可以先利用参数范围，代入相关的整数研究．4．数列中大小比较与不等式中大小比较方法类似，同类型的多项式比较可以作差作商或用基本不等式，不同类型的比较一般要构造函数来解决．5．数列可以看作是一类特殊的函数，因此要用函数的知识，函数的思想方法来解决．注意：对求数列中的最大项是高考的热点，一般难度较大．解决这类问题时，要利用函数的单调性研究数列的最值，但要注意数列的单调性与函数的单调性有所不同，其自变量的取值是不连续的，只能取正整数，所以在求数列中的最大(小)项时，应注意数列中的项可以是相同的，故不应漏掉等号．【触类旁通】【变式一】【河北省保定市2022届高三下学期第一次模拟考试数学】已知函数，若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是A.(1,3)B.C.(2,3)D.【答案】C【变式二】【安徽省江淮十校2022届高三下学期第三次联考理】定义：，已知数列满足：，若对任意正整数，都有成立，则的值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】解：由题意可知：∵2n2−(n+1)2=(n−1)2−2,当时,(n−1)2−2>0，15\n∴当时an+1>an；当n<3时,(n−1)2−2<0,所以当n<3时an+1<an.∴当n=3时an取到最小值为f(3)=.本题选择D选项.【易错试题常警惕】易错典例：已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式为________．易错分析：忽略考虑时情况.温馨提醒：an与Sn关系不清致误：在数列问题中，数列的通项an与其前n项和Sn之间存在下列关系：，这个关系对任意数列都是成立的，但要注意的是这个关系式是分段的，在n＝1和n≥2时这个关系式具有完全不同的表现形式，这也是解题中经常出错的一个地方，在使用这个关系式时要牢牢记住其“分段”的特点．【学科素养提升之思想方法篇】数列中的创新题型以数列为背景的新定义问题是高考中的一个热点题型，考查频率较高，一般会结合归纳推理综合命题．常见的命题形式有新法则、新定义、新背景、新运算等．(1)准确转化：解决数列新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，将题目所给定义转化成题目要求的形式，切忌同已有概念或定义相混淆．(2)方法选取：对于数列新定义问题，搞清定义是关键，仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意，从而找到恰当的解决方法．【典例】1.【2022·洛阳模拟】将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2022项与5的差，即＝( )A．2022×2022B．2022×2022C．1009×2022D．1010×202215\n【答案】D【解析】因为，所以，所以=1010×2022.故选D.【典例】2.已知正项数列{an}的前n项和为Sn，∀n∈N*,2Sn＝a＋an.令bn＝，设{bn}的前n项和为Tn，则在T1，T2，T3，…，T100中有理数的个数为________．【答案】915
