专题3.4利用导数研究函数的极值，最值一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1.若函数在上有最小值，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C2.【2022年.浙江卷.理8】)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则( )．A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值,B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值【答案】C【解析】当k＝1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)，f′(x)＝xex－1，∵f′(1)＝e－1≠0，∴f(x)在x＝1处不能取到极值；当k＝2时，f(x)＝(ex－1)(x－1)2，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2)，令H(x)＝xex＋ex－2，则H′(x)＝xex＋2ex＞0，x∈(0，＋∞)．说明H(x)在(0，＋∞)上为增函数，且H(1)＝2e－2＞0，H(0)＝－1＜0，因此当x0＜x＜1(x0为H(x)的零点)时，f′(x)＜0，f(x)在(x0,1)上为减函数．当x＞1时，f′(x)＞0，f(x)在(1，＋∞)上是增函数．∴x＝1是f(x)的极小值点，故选C．3.已知函数有两个极值点，，且，则（）13\nA．,B．C．D．【答案】D【解析】令，则所以在区间是增函数，所以，故选．4.【2022·浙江模拟】已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则( )A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值【答案】C【解析】当k＝1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)，0,1是函数f(x)的零点．当0<x<1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)<0，当x>1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)>0,1不会是极值点．当k＝2时，f(x)＝(ex－1)(x－1)2，零点还是0,1，但是当0<x<1，x>1时，f(x)>0，由极值的概念，知选C.5.已知二次函数的导数为，，对于任意实数，有，则的最小值为()13\nＡ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【答案】C6.已知函数的导函数的图象如图所示，若△ABC为锐角三角形，则下列不等式一定成立的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】∵△ABC为锐角三角形，∴A、B都是锐角，且A+B＞由此可得0＜-B＜A＜，因为正弦函数在锐角范围是增函数，所以对上式的两边取正弦得sin（-B）＜sinA∴1>sinA＞cosB>0，由图象可知函数在(0,1)上是减函数.∴，故选D.7．已知函数有两个极值点,则实数的取值范围是( ）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为函数有两个极值点，由13\n.所以有两个不同的正实数根，令，所以.令所以（小于零不成立）.所以可得，解得.综上所以.故选B.8．已知函数f(x)＝x3＋ax＋4，则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】9.已知函数的导函数的图象如右图所示，则的图象最有可能的是（）【答案】A【解析】,由导函数的图象可知在上单调递增，上单调递减，上单调递增，满足上述单调性的只有A，故选A.10.若函数，当时，函数的单调减区间和极小值分别为（）A.,B.,C.,D.,【答案】C13\n【解析】的定义域为（），当时，，由得，由得，或，由得，∴的单调递增区间为，；单调递减区间为；∴极大值为；极小值为，选C.11.设为函数的导函数，已知，则下列结论正确的是（）（A）在单调递增（B）在单调递减（C）在上有极大值（D）在上有极小值【答案】【解析】12.【2022广东佛山二模】设函数（）满足，现给出如下结论：①若是上的增函数，则是的增函数；②若，则有极值；③对任意实数，直线与曲线有唯一公共点.13\n其中正确结论的个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】由化简得.，其对称轴为，如果在上递增，其关于对称的区间为，故也是其增区间，①正确.，即，导函数的判别式，当时，，判别式为正数，当时，，其判别式为正数，即导函数有零点，根据二次函数的性质可知原函数由极值，②正确.注意到，则③转化为，即函数图像上任意两点连线的斜率和函数在处的切线的斜率相等的有且仅有一个点.由于是导函数的最小值点，即有且仅有一个最小值点，故③正确.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13.函数的单调增区间为．【答案】【解析】14．【2022·沈阳模拟】设函数f(x)＝lnx－ax2－bx，若x＝1是f(x)的极大值点，则a的取值范围为________．【答案】a>－1【解析】f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－ax－b，由f′(1)＝0，得b＝1－a.∴13\nf′(x)＝－ax＋a－1＝.①若a≥0，当0<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以x＝1是f(x)的极大值点．②若a<0，由f′(x)＝0，得x＝1或x＝－.因为x＝1是f(x)的极大值点，所以－>1，解得－1<a<0.综合①②得a的取值范围是a>－1.15．已知，若对任意两个不等的正实数都有恒成立，则的取值范围是.【答案】【解析】∵为开口方向向下，对称轴为x=1的抛物线，∴当x=1时，取得最大值g（1）=1，∴a≥1．即a的取值范围是[1，+∞）．16.若对区间D上的任意都有成立，则称为到13\n在区间D上的“任性函数”，已知，若是到在上的“任性函数”，则的取值范围是【答案】【解析】试题分析：由题意，对区间D上的任意都有成立，即对上的任，都有.由，设，因此在上单调递增，由，设，因此在上单调递减，在上单调递增，即是的极小值点，也是最小值点，故.综上，.二、解答题（本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.【2022·江西模拟】已知函数f(x)＝(4x2＋4ax＋a2)，其中a＜0.(1)当a＝－4时，求f(x)的单调递增区间；(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8，求a的值．【答案】13\n(2)f′(x)＝，a＜0，由f′(x)＝0得x＝－或x＝－.当x∈时，f(x)单调递增；当x∈－，－时，f(x)单调递减；当x∈时，f(x)单调递增．易知f(x)＝(2x＋a)2≥0，且f＝0.①当－≤1时，即－2≤a＜0时，f(x)在[1,4]上的最小值为f(1)，由f(1)＝4＋4a＋a2＝8，得a＝±2－2，均不符合题意．②当1＜－≤4时，即－8≤a＜－2时，f(x)在[1,4]上的最小值为f＝0，不符合题意．③当－＞4时，即a＜－8时，f(x)在[1,4]上的最小值可能在x＝1或x＝4处取得，而f(1)≠8，由f(4)＝2(64＋16a＋a2)＝8得a＝－10或a＝－6(舍去)，当a＝－10时，f(x)在(1,4)上单调递减，f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)＝8，符合题意．综上，a＝－10.18.【2022浙江三市4月联考】设函数．（Ⅰ）若，求在区间[-1,2]上的取值范围；（Ⅱ）若对任意，恒成立，记，求的最大值．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)a-b的最大值是e.【解析】试题分析：13\n试题解析：（Ⅰ）当时，，，的根是，且当时，，当时，，所以在（0,2）上单调递增，在（-1,0）上单调递减．所以，，所以在区间[-1,2]上的取值范围是．（Ⅱ）恒成立，即恒成立，易知，若，则，即，若，由恒成立，即恒成立，即恒成立，令，则，当时，，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．所以，13\n19．【2022北京丰台5月综合测试】已知函数.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）证明：对于，在区间上有极小值，且极小值大于0.【答案】（1）（2）见解析【解析】（Ⅰ）的定义域为，因为，所以，所以.因为，，所以曲线在点处的切线方程为.（Ⅱ）因为,所以在区间上是单调递增函数.因为，，所以,使得.所以，；，，故在上单调递减，在上单调递增，所以有极小值.13\n因为,所以.设，，则，20.【2022浙江台州期末】已知函数f(x)=x3+|x-a|(a∈R).(Ⅰ)当a=1时,求f(x)在(0,f(0))处的切线方程;(Ⅱ)当a∈(0,1)时,求f(x)在区间[-1,1]上的最小值(用a表示).【答案】(Ⅰ)y=-x+1；(Ⅱ)f(x)min={a-239,a∈(33,1),a3,a∈(0,33]..【解析】【试题分析】（1）借助题设运用导数的几何意义求解；（2）依据题设条件，借助导数与函数的单调性之间的关系求解：(Ⅰ)当a=1,x<1时,f(x)=x3+1-x,f'(x)=3x2-1,所以f(0)=1,f'(0)=-1,所以f(x)在(0,f(0))处的切线方程y=-x+1.(Ⅱ)当α∈(0,1)时,由已知得f(x)={x3+x-a,a≤x≤1,x3-x+a,-1≤x≤a.当a<x<1时,由f'(x)=3x2+1>0,知f(x)在(a,1)是上单调递增.当-1<x<a时,由f'(x)=3x2-1,(1)当a∈(33,1)时,f(x)在(-1,-33)上递增,在(-33,33)上递减,在(33,1)上递增,所以f(x)min=min{f(-1),f(33)}=min{a,a-239}=a-239.13\n13
