河南省洛阳市第二外国语学校2022届高考数学 闯关密练特训《4-3三角函数的图象与性质》试题 新人教A版

河南省洛阳市第二外国语学校2022届高考数学闯关密练特训《4-3三角函数的图象与性质》试题新人教A版1.(文)(2022·大纲全国卷理)设函数f(x)＝cosωx(ω>0)，将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于(　　)A.　　　　　　　　　B．3C．6D．9[答案]　C[解析]　由题意知，＝·k(k∈Z)，∴ω＝6k，令k＝1，∴ω＝6.(理)(2022·浙江诸暨质检)函数f(x)＝sin2x＋cos2x的图象可以由函数y＝2sin2x的图象经哪种平移得到(　　)A．向左平移个单位　　B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位[答案]　B[解析]　∵f(x)＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋)＝2sin2(x＋)，∴f(x)的图象可以由函数y＝2sin2x向左平移个单位得到，故应选B.2．(文)(2022·福建文，8)函数f(x)＝sin(x－)的图象的一条对称轴是(　　)A．x＝B．x＝C．x＝－D．x＝－[答案]　C[解析]　本题考查了正弦型函数图象的对称轴问题．函数f(x)＝sin(x－)的图象的对称轴是x－＝kπ＋，k∈Z，即x＝kπ＋，k∈Z.-18-\n当k＝－1时，x＝－π＋＝－.[点评]　正弦(余弦)型函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点．(理)(2022·海淀模拟)函数f(x)＝sin(2x＋)图象的对称轴方程可以为(　　)A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝[答案]　A[解析]　令2x＋＝kπ＋得x＝＋，k∈Z，令k＝0得x＝，故选A.[点评]　f(x)＝sin(2x＋)的图象的对称轴过最高点将选项代入检验，∵2×＋＝，∴选A.3．(文)(2022·唐山模拟)函数y＝sin(2x＋)的一个递减区间为(　　)A．(，)B．(－，)C．(－，)D．(，)[答案]　A[解析]　由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋得，kπ＋≤x≤kπ＋　(k∈Z)，令k＝0得，≤x≤，故选A.(理)(2022·新课标全国理，9)已知ω>0，函数f(x)＝sin(ωx＋)在(，π)上单调递减，则ω的取值范围是(　　)A．[，]B．[，]C．(0，]D．(0,2]-18-\n[答案]　A[解析]　本题考查了三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及间接法解题．ω＝2⇒ωx＋∈[，]不合题意，排除D，ω＝1⇒(ωx＋)∈[，]合题意，排除B，C.4．(2022·大连模拟)已知函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在区间[－，]上的最小值是－2，则ω的最小值为(　　)A.B.C．2D．3[答案]　B[解析]　∵f(x)＝2sinωx(ω>0)在区间[－，]上的最小值为－2，∴≤，即≤，∴ω≥，即ω的最小值为.5．(文)(2022·吉林一中月考)函数y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图，则(　　)A．ω＝，φ＝B．ω＝，φ＝C．ω＝，φ＝D．ω＝，φ＝[答案]　C-18-\n[解析]　∵＝3－1＝2，∴T＝8，∴ω＝＝.令×1＋φ＝，得φ＝，∴选C.(理)函数y＝，x∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是下列图象中的(　　)[答案]　C[解析]　依题意，函数y＝，x∈(－π，0)∪(0，π)为偶函数，排除A，当x∈(0，π)时，直线y＝x的图象在y＝sinx上方，所以y＝>1，故选C.6．(文)(2022·课标全国文)设函数f(x)＝sin(2x＋)＋cos(2x＋)，则(　　)A．y＝f(x)在(0，)单调递增，其图象关于直线x＝对称B．y＝f(x)在(0，)单调递增，其图象关于直线x＝对称C．y＝f(x)在(0，)单调递减，其图象关于直线x＝对称D．y＝f(x)在(0，)单调递减，其图象关于直线x＝对称[答案]　D-18-\n[解析]　f(x)＝sin＋cos＝sin＝cos2x.则函数在单调递减，其图象关于直线x＝对称．(理)(2022·河南五校联考)给出下列命题：①函数y＝cos(x＋)是奇函数；②存在实数α，使得sinα＋cosα＝；③若α、β是第一象限角且α<β，则tanα<tanβ；④x＝是函数y＝sin(2x＋)的一条对称轴方程；⑤函数y＝sin(2x＋)的图象关于点(，0)成中心对称图形．其中正确命题的序号为(　　)A．①③B．②④C．①④D．④⑤[答案]　C[解析]　①y＝cos(x＋)⇒y＝－sinx是奇函数；②由sinα＋cosα＝sin(α＋)的最大值为<，所以不存在实数α，使得sinα＋cosα＝；③α，β是第一象限角且α<β.例如：45°<30°＋360°，但tan45°>tan(30°＋360°)，即tanα<tanβ不成立；④把x＝代入y＝sin(2x＋)得y＝sin＝－1，所以x＝是函数y＝sin(2x＋)的一条对称轴；⑤把x＝代入y＝sin(2x＋)得y＝sin＝1，所以点(，0)不是函数y＝sin(2x＋)的对称中心．综上所述，只有①④正确．[点评]　作为选择题，判断①成立后排除B、D，再判断③(或④)即可下结论．7．(文)函数y＝cosx的定义域为[a，b]，值域为[－，1]，则b－a-18-\n的最小值为________．[答案]　[解析]　cosx＝－时，x＝2kπ＋或x＝2kπ＋，k∈Z，cosx＝1时，x＝2kπ，k∈Z.由图象观察知，b－a的最小值为.(理)(2022·江苏南通一模)函数f(x)＝sinωx＋cosωx(x∈R)，又f(α)＝－2，f(β)＝0，且|α－β|的最小值等于，则正数ω的值为________．[答案]　1[解析]　f(x)＝sinωx＋cosωx＝2sin(ωx＋)，由f(α)＝－2，f(β)＝0，且|α－β|的最小值等于可知，＝，T＝2π，所以ω＝1.8．已知关于x的方程2sin2x－sin2x＋m－1＝0在x∈(，π)上有两个不同的实数根，则m的取值范围是________．[答案]　－2<m<－1[解析]　m＝1－2sin2x＋sin2x＝cos2x＋sin2x＝2sin(2x＋)，∵x∈(，π)时，原方程有两个不同的实数根，∴直线y＝m与曲线y＝2sin(2x＋)，x∈(，π)有两个不同的交点，∴－2<m<－1.9．(2022·济南调研)设函数y＝2sin(2x＋)的图象关于点P(x0,0)成中心对称，若x0∈[－，0]，则x0＝________.[答案]　－[解析]　∵函数y＝2sin(2x＋)的对称中心是函数图象与x轴的交点，∴2sin(2x0＋)＝0，-18-\n∵x0∈[－，0]∴x0＝－.10．(文)(2022·北京文)已知函数f(x)＝4cosxsin(x＋)－1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[－，]上的最大值和最小值．[解析]　(1)因为f(x)＝4cosxsin(x＋)－1＝4cosx(sinx＋cosx)－1＝sin2x＋2cos2x－1＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋)．所以f(x)的最小正周期为π.(2)因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤.于是，当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－1.(理)(2022·天津南开中学月考)已知a＝(sinx，－cosx)，b＝(cosx，cosx)，函数f(x)＝a·b＋.(1)求f(x)的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；(2)当0≤x≤时，求函数f(x)的值域．[解析]　(1)f(x)＝sinxcosx－cos2x＋＝sin2x－(cos2x＋1)＋＝sin2x－cos2x＝sin(2x－)，所以f(x)的最小正周期为π.令sin(2x－)＝0，得2x－＝kπ，∴x＝＋，k∈Z.-18-\n故所求对称中心的坐标为(＋，0)(k∈Z)．(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.∴－≤sin(2x－)≤1，即f(x)的值域为[－，1].能力拓展提升11.(文)(2022·苏州模拟)函数y＝sinx·||(0<x<π)的图象大致是(　　)[答案]　B[解析]　y＝sinx·||＝.(理)(2022·辽宁文)已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)，y＝f(x)的部分图象如图，则f()＝(　　)A．2＋B.-18-\nC.D．2－[答案]　B[解析]　由图可知：T＝2×(π－)＝，∴ω＝＝2，又∵图象过点(π，0)，∴A·tan(2×π＋φ)＝A·tan(π＋φ)＝0，∴φ＝.又∵图象还过点(0,1)，∴Atan(2×0＋)＝A＝1，∴f(x)＝tan(2x＋)，∴f()＝tan(2×＋)＝tan(＋)＝tan＝.12．(文)为了使函数y＝cosωx(ω>0)在区间[0,1]上至多出现50次最小值，则ω的最大值是(　　)A．98πB.πC．99πD．100π[答案]　C[解析]　由题意至多出现50次最小值即至多需用49个周期，∴·≥1，∴ω≤99π，故选C.(理)有一种波，其波形为函数y＝sin的图象，若在区间[0，t](t>0)上至少有2个波谷(图象的最低点)，则正整数t的最小值是(　　)A．5　　　　B．6　　　　C．7　　　　D．8[答案]　C[解析]　∵y＝sin的图象在[0，t]上至少有2个波谷，函数y＝sin-18-\n的周期T＝4，∴t≥T＝7，故选C.13．(文)(2022·南昌调研)设函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ∈(－，))的最小正周期为π，且其图象关于直线x＝对称，则在下面四个结论中：①图象关于点(，0)对称；②图象关于点(，0)对称；③在[0，]上是增函数；④在[－，0]上是增函数中，所有正确结论的编号为________．[答案]　②④[解析]　由最小正周期为π得，＝π，∴ω＝2；再由图象关于直线x＝对称，∴2×＋φ＝，∴φ＝，∴f(x)＝sin(2x＋)，当x＝时，f()＝≠0，故①错；当x＝时，f()＝0，故②正确；由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋　(k∈Z)得，kπ－≤x≤kπ＋，令k＝0得，－≤x≤，故③错，④正确，∴正确结论为②④.(理)(2022·南京模拟)已知函数f(x)＝xsinx，现有下列命题：①函数f(x)是偶函数；②函数f(x)的最小正周期是2π；③点(π，0)是函数f(x)的图象的一个对称中心；④函数f(x)在区间[0，]上单调递增，在区间[－，0]上单调递减．其中真命题是________(写出所有真命题的序号)．[答案]　①④[解析]　∵y＝x与y＝sinx均为奇函数，∴f(x)为偶函数，故①真；∵f()＝，f(＋2π)＝＋2π≠，-18-\n∴②假；∵f()＝，f()＝－，＋＝2π，＋(－)≠0，∴③假；设0≤x1<x2≤，则＝·<1，∴f(x1)<f(x2)(f(x2)>0)，∴f(x)在[0，]上为增函数，又∵f(x)为偶函数，∴f(x)在[－，0]上为减函数，∴④真．14．函数f(x)＝2acos2x＋bsinxcosx满足：f(0)＝2，f()＝＋.(1)求函数f(x)的最大值和最小值；(2)若α、β∈(0，π)，f(α)＝f(β)，且α≠β，求tan(α＋β)的值．[解析]　(1)由得解得a＝1，b＝2，∴f(x)＝sin2x＋cos2x＋1＝sin(2x＋)＋1，∵－1≤sin(2x＋)≤1，∴f(x)max＝＋1，f(x)min＝1－.(2)由f(α)＝f(β)得，sin(2α＋)＝sin(2β＋)．∵2α＋、2β＋∈(，)，且α≠β，∴2α＋＝π－(2β＋)或2α＋＝3π－(2β＋)，∴α＋β＝或α＋β＝，故tan(α＋β)＝1.15．(文)(2022·长沙一中月考)已知f(x)＝sinx＋sin(－x)．(1)若α∈[0，π]，且sin2α＝，求f(α)的值；(2)若x∈[0，π]，求f(x)的单调递增区间．[解析]　(1)由题设知f(α)＝sinα＋cosα.∵sin2α＝＝2sinα·cosα>0，α∈[0，π]，∴α∈(0，)，sinα＋cosα>0.由(sinα＋cosα)2＝1＋2sinα·cosα＝，-18-\n得sinα＋cosα＝，∴f(α)＝.(2)由(1)知f(x)＝sin(x＋)，又0≤x≤π，∴f(x)的单调递增区间为[0，]．(理)在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，向量m＝(b,2a－c)，n＝(cosB，cosC)，且m∥n.(1)求角B的大小；(2)设f(x)＝cos＋sinωx(ω>0)，且f(x)的最小正周期为π，求f(x)在区间[0，]上的最大值和最小值．[解析]　(1)由m∥n得，bcosC＝(2a－c)cosB，∴bcosC＋ccosB＝2acosB.由正弦定理得，sinBcosC＋sinCcosB＝2sinAcosB，即sin(B＋C)＝2sinAcosB.又B＋C＝π－A，∴sinA＝2sinAcosB.又sinA≠0，∴cosB＝.又B∈(0，π)，∴B＝.(2)由题知f(x)＝cos(ωx－)＋sinωx＝cosωx＋sinωx＝sin(ωx＋)，由已知得＝π，∴ω＝2，f(x)＝sin(2x＋)，当x∈[0，]时，(2x＋)∈[，]，sin(2x＋)∈[－，1]．因此，当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值.当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－.16．(文)(2022·福建四地六校联考)已知函数f(x)＝－1＋2sinxcosx＋2cos2x.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)求f(x)图象上与原点最近的对称中心的坐标；-18-\n(3)若角α，β的终边不共线，且f(α)＝f(β)，求tan(α＋β)的值．[解析]　f(x)＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋)，(1)由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，∴f(x)的单调减区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．(2)由sin(2x＋)＝0得2x＋＝kπ(k∈Z)，即x＝－(k∈Z)，∴f(x)图象上与原点最近的对称中心坐标是(－，0)．(3)由f(α)＝f(β)得：2sin(2α＋)＝2sin(2β＋)，又∵角α与β的终边不共线，∴(2α＋)＋(2β＋)＝2kπ＋π(k∈Z)，即α＋β＝kπ＋(k∈Z)，∴tan(α＋β)＝.(理)(2022·浙江文)已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)，x∈R，A>0,0<φ<.y＝f(x)的部分图象如图所示，P、Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为(1，A)．(1)求f(x)的最小正周期及φ的值；(2)若点R的坐标为(1,0)，∠PRQ＝，求A的值．-18-\n[解析]　(1)由题意得，T＝＝6，因为P(1，A)在y＝Asin(x＋φ)的图象上，所以sin(＋φ)＝1.又因为0<φ<，所以φ＝.(2)设点Q的坐标为(x0，－A)，由题意可知x0＋＝，得x0＝4，所以Q(4，－A)．连接PQ，在△PRQ中，∠PRQ＝π，由余弦定理得，cos∠PRQ＝＝＝－，解得A2＝3　又A>0，所以A＝.1．(2022·河北郑口中学模拟)已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A>0，－<φ<0)在x＝处取得最大值，则f(x)在[－π，0]上的单调增区间是(　　)A．[－π，－]B．[－，－]C．[－，0]D．[－，0][答案]　D[解析]　∵f(x)＝Asin(x＋φ)在x＝处取得最大值，A>0，－<φ<0，∴φ＝－，∴-18-\nf(x)＝Asin(x－)，由2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)得2kπ－≤x≤2kπ＋，令k＝0得－≤x≤0，故选D.2．(2022·长沙二模)若将函数y＝sin(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝sin的图象重合，则ω的最小值为(　　)A．1B．2C.D.[答案]　D[解析]　y＝siny＝sin＝sin，∴－ω＋2kπ＝，∴ω＝8k－(k∈Z)，又∵ω>0，∴ωmin＝.3．(2022·北京大兴区模拟)已知函数f(x)＝sin图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆x2＋y2＝R2上，则f(x)的最小正周期为(　　)A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4[答案]　D[解析]　f(x)的周期T＝＝2R，f(x)的最大值是，结合图形分析知R>，则2R>2>3，只有2R＝4这一种可能，故选D.4．(2022·河北保定模拟)已知向量a＝(cosθ，sinθ)与b＝(cosθ，－sinθ)互相垂直，且θ为锐角，则函数f(x)＝sin(2x－θ)的图象的一条对称轴是直线(　　)A．x＝πB．x＝C．x＝D．x＝[答案]　B-18-\n[解析]　a·b＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ＝0，∵θ为锐角，∴θ＝，∴f(x)＝sin(2x－)．由2x－＝kπ＋得，x＝＋，令k＝1得x＝，故选B.5.(2022·北京西城模拟)函数y＝sin(πx＋φ)(φ>0)的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，则tan∠APB＝(　　)A．10B．8C.D.[答案]　B[分析]　利用正弦函数的周期、最值等性质求解．[解析]　如图，过P作PC⊥x轴，垂足为C，设∠APC＝α，∠BPC＝β，∴∠APB＝α＋β，y＝sin(πx＋φ)，T＝＝2，tanα＝-18-\n＝＝，tanβ＝＝＝，则tan(α＋β)＝＝＝8，∴选B.6．对任意x1，x2∈，x2>x1，y1＝，y2＝，则(　　)A．y1＝y2B．y1>y2C．y1<y2D．y1，y2的大小关系不能确定[答案]　B[解析]　取函数y＝1＋sinx，则的几何意义为过原点及点(x1,1＋sinx1)的直线斜率，的几何意义为过原点及点(x2,1＋sinx2)的直线斜率，由x1<x2，观察函数y＝1＋sinx的图象可得y1>y2.选B.7．(2022·菏泽模拟)对于函数f(x)＝，给出下列四个命题：①该函数是以π为最小正周期的周期函数；②当且仅当x＝π＋kπ(k∈Z)时，该函数取得最小值是－1；③该函数的图象关于直线x＝＋2kπ(k∈Z)对称；④当且仅当2kπ<x<＋2kπ(k∈Z)时，0<f(x)≤.其中正确命题的序号是________(请将所有正确命题的序号都填上)[答案]　③④[解析]　画出函数f(x)的图象，易知③④正确．8．已知函数f(x)＝sin(2x－)＋2sin2(x－)(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．[解析]　(1)f(x)＝sin(2x－)＋1－cos2(x－)＝2＋1＝2sin(2x－)＋1.-18-\n所以最小正周期为T＝π.(2)当f(x)取最大值时，只要sin(2x－)＝1，得出x＝kπ＋(k∈Z)，∴x值的集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．[点评]　差异分析是解答数学问题的有效方法．诸如：化复杂为简单，异角化同角，异名化同名，高次化低次，化为一个角的同名三角函数的形式等等．-18-