2022届江苏省高考数学冲刺试卷一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．1.已知集合U={1,2,3,4}，M={1,2}，N={2,3}，那么(M∪N)=▲．2．复数（i是虚数单位）的虚部为▲．3．设向量a，b满足：，，那么▲．4．在平面直角坐标系xOy中，直线与直线互相垂直的充要条件是m=．5．函数的最小正周期是▲．6．在数列{an}中，假设对于n∈N*，总有＝2n－1，那么=▲．7．抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x，y，那么为整数的概率是▲．8．为了解高中生用电脑输入汉字的水平，随机抽取了局部学生进展每分钟输入汉字个数测试，以以下图是根据抽样测试后的数据绘制的频率分布直方图，其中每分钟输入汉字个数的范围是[50，150]，样本数据分组为[50，70），[70，90），[90，110），[110，130），[130，150]，已知样本中每分钟输入汉字个数小于90的人数是36，那么样本中每分钟输入汉字个数大于或等于70个并且小于130个的人数是▲．9．运行如以下图程序框图后，输出的结果是▲．k≥-3？/开场k1S0SS–2kkk-1完毕输出SYN（第9题图）（第8题图）字数/分钟频率组距0.00500.00750.01000.01250.015050709011013015010．关于直线和平面，有以下四个命题：①假设，那么；②假设，那么；③假设，那么且；④假设，那么或.其中假命题的序号是▲．11．已知函数假设，那么实数a的取值范围是▲．12．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的9/9\n四边形是一个面积为4的正方形，设P为该椭圆上的动点，C、D的坐标分别是，那么PC·PD的最大值为▲．13．设面积为S的平面四边形的第i条边的边长记为ai（i=1，2，3，4），P是该四边形内任意一点，P点到第i条边的距离记为hi，假设,那么.类比上述结论，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si（i=1，2，3，4），Q是该三棱锥内的任意一点，Q点到第i个面的距离记为Hi，那么相应的正确命题是：假设,那么▲．14．在平面直角坐标系xOy中，设直线和圆相切，其中m，，假设函数的零点，那么k=▲．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题总分值14分）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C所对的边，且b2=ac，向量和满足.（1）求的值；（2）求证：三角形ABC为等边三角形．FABCDE(第16题图)16．（本小题总分值14分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD，DE＝2AB，F为CD的中点．（1）求证：AF∥平面BCE；（2）求证：平面BCE⊥平面CDE．17．（本小题总分值15分）设等差数列的前项和为且．（1）求数列的通项公式及前项和公式；（2）设数列的通项公式为，问:是否存在正整数t，使得成等差数列？假设存在，求出t和m的值；假设不存在，请说明理由.18．（本小题总分值15分）某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC的三个顶点处，已知AB=AC=6km，现方案在BC边的高AO上一点P处建造一个OBCAP（第18题图）变电站.记P到三个村庄的距离之和为y.（1）设，把y表示成的函数关系式；（2）变电站建于何处时，它到三个小区的距离之和最小？9/9\n19．（本小题总分值16分）已知椭圆的离心率为，过右顶点A的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且.（1）求椭圆C和直线l的方程；（2）记曲线C在直线l下方的局部与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D．假设曲线与D有公共点，试求实数m的最小值．20．（本小题总分值16分）已知二次函数g（x）对任意实数x都满足，且．令．（1）求g(x)的表达式；（2）假设使成立，求实数m的取值范围；（3）设，，证明:对，恒有附加题局部ABCDDFO21．【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1 几何证明选讲如图，AB是⊙O的直径，C、F为⊙O上的点，且CA平分∠BAF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D.求证：DC是⊙O的切线.B．选修4—2 矩阵与变换变换T是绕坐标原点逆时针旋转的旋转变换，求曲线在变换T作用下所得的曲线方程．C．选修4—4 参数方程与极坐标（此题总分值10分）已知圆和圆的极坐标方程分别为，．（1）把圆和圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．D．选修4—5 不等式证明选讲（此题总分值10分）9/9\n已知，求证：.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．动点P在x轴与直线l：y＝3之间的区域（含边界）上运动，且到点F（0，1）和直线l的距离之和为4．（1）求点P的轨迹C的方程；（2）过点作曲线C的切线，求所作的切线与曲线C所围成区域的面积．ABCC1B1A1FD（第23题图）23．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，AB＝BC=，BB1＝3，D为A1C1的中点，F在线段AA1上．（1）AF为何值时，CF⊥平面B1DF？（2）设AF=1，求平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.2022届江苏省高考数学冲刺试卷【填空题答案】1．；2．;3．2；4．；5．；6．；7．； 8．90；9．10；10．①③④；11．；12．4； 13．；14．0．15．【解】（1）由得，，……………………2分又B=π(A+C)，得cos(AC)cos(A+C)=，……………………4分即cosAcosC+sinAsinC(cosAcosCsinAsinC)=，所以sinAsinC=．……………6分【证明】（2）由b2=ac及正弦定理得，故.……………8分于是，所以或.因为cosB=cos(AC)>0，所以，故．…………………11分由余弦定理得，即，又b2=ac，所以得a=c.因为，所以三角形ABC为等边三角形.…………………14分16．【证明】（1）因为AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，所以AB∥DE.取CE的中点G，连结BG、GF，因为F为的中点，所以GF∥ED∥BA，GF＝ED＝BA，9/9\n从而ABGF是平行四边形，于是AF∥BG.……………………4分因为AF平面BCE，BG平面BCE，所以AF∥平面BCE．……………………7分（2）因为AB⊥平面ACD，AF平面ACD，所以AB⊥AF，即ABGF是矩形，所以AF⊥GF.……………………9分又AC=AD，所以AF⊥CD.…………………11分而CD∩GF＝F，所以AF⊥平面GCD，即AF⊥平面CDE.因为AF∥BG，所以BG⊥平面CDE.因为BG平面BCE，所以平面BCE⊥平面CDE．…………………14分17．【解】（1）设等差数列的公差为d.由已知得……………………2分即解得……………………4分.故.………6分（2）由（1）知.要使成等差数列，必须，即，……8分.整理得，……………11分因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5.当时，；当时，；当时，.故存在正整数t，使得成等差数列.…………………15分18．【解】（1）在中，所以=OA=.所以由题意知.……………………2分 所以点P到A、B、C的距离之和为 . ……………………6分故所求函数关系式为.……………………7分（2）由（1）得，令即，又，从而.……………………9分.当时，；当时,.所以当时，取得最小值，…………………13分此时（km），即点P在OA上距O点km处.【答】变电站建于距O点km处时，它到三个小区的距离之和最小.…………15分9/9\n19．【解】（1）由离心率，得，即.①………………2分又点在椭圆上，即.②………………4分解①②得，故所求椭圆方程为.…………………6分由得直线l的方程为.………8分（2）曲线，即圆，其圆心坐标为，半径，表示圆心在直线上，半径为的动圆.…………………10分由于要求实数m的最小值，由图可知，只须考虑的情形.设与直线l相切于点T，那么由，得，…………………12分当时，过点与直线l垂直的直线的方程为，解方程组得.…………………14分因为区域D内的点的横坐标的最小值与最大值分别为，所以切点，由图可知当过点B时，m取得最小值，即，解得.…………………16分（说明：假设不说理由，直接由圆过点B时，求得m的最小值，扣4分）20．【解】（1）设，于是所以又，那么．所以.……………………4分（2）当m>0时，由对数函数性质，f（x）的值域为R；9/9\n当m=0时，对，恒成立；……………………6分当m<0时，由，列表：x－0＋减极小增……………………8分所以假设，恒成立，那么实数m的取值范围是.故使成立，实数m的取值范围．………………10分（3）因为对，所以在内单调递减.于是…………………12分记，那么所以函数在是单调增函数，…………………14分所以，故命题成立.…………………16分附加题答案A．选修4—1 几何证明选讲【证明】连结OC，所以∠OAC=∠OCA.又因为CA平分∠BAF，所以∠OAC=∠FAC，ABCDDFO于是∠FAC=∠OCA，所以OC//AD.又因为CD⊥AF，所以CD⊥OC，故DC是⊙O的切线．…………………10分B．选修4—2 矩阵与变换9/9\n【解】变换T所对应变换矩阵为，设是变换后图像上任一点，与之对应的变换前的点是，那么，即，代入，即，所以变换后的曲线方程为．…………………10分C．选修4—4 参数方程与极坐标（此题总分值10分）【解】（1），所以；因为，所以，所以．………5分（2）将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为．化为极坐标方程为，即．…………………10分D．选修4—5 不等式证明选讲（此题总分值10分）【解】因为，所以，所以要证，即证，即证，即证，而显然成立，故．……………10分22．【解】（1）设P（x，y），根据题意，得＋3－y＝4，化简，得y＝x2（y≤3）．…………………4分（2）设过Q的直线方程为y＝kx－1，代入抛物线方程，整理得x2－4kx＋4＝0．由△＝16k2－16＝0．解得k＝±1．于是所求切线方程为y＝±x－1（亦可用导数求得切线方程）.切点的坐标为（2，1），（－2，1）．由对称性知所求的区域的面积为S＝…………………10分23．【解】（1）因为直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥面ABC，∠ABC＝．以B点为原点，BA、BC、BB1分别为x、y、z轴建立如以下图空间直角坐标系.因为AC＝2，∠ABC＝90º，所以AB＝BC＝，9/9\nABCC1B1A1FDxyz从而B(0，0，0)，A，C，B1(0，0，3)，A1，C1，D，E．所以，设AF＝x，那么F(，0，x)，.，所以要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥B1F.由＝2＋x（x－3）＝0，得x＝1或x＝2，故当AF＝1或2时，CF⊥平面B1DF．………………5分（2）由（1）知平面ABC的法向量为n1=（0，0，1）.设平面B1CF的法向量为，那么由得令z=1得，所以平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值www.zxsx.com9/9
