专题能力训练3 函数的图象与性质(时间:60分钟 满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.已知函数f(x)=3x-,则f(x)( )A.是奇函数,且在R上是增函数B.是偶函数,且在R上是增函数C.是奇函数,且在R上是减函数D.是偶函数,且在R上是减函数2.若函数f(x)=ax-b的图象如图所示,则( )A.a>1,b>1B.a>1,0<b<1C.0<a<1,b>1D.0<a<1,0<b<13.(2022浙江台州4月调研)若函数y=f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,则f(2017)=( ) A.-2017B.0C.1D.20174.若当x∈R时,函数f(x)=a|x|始终满足0<|f(x)|≤1,则函数y=loga的图象大致为( )5.给出定义:若m-<x≤m+(其中m为整数),则m叫做离实数最近的整数,记作{x},即{x}=m.在此基础上给出下列关于x的函数f(x)=x-{x}的四个命题:①f;②f(3.4)=-0.4;③f<f;④函数y=f(x)的值域是.其中真命题的序号是( )A.①②B.①③C.②④D.③④6.设函数f(x)=若f[f(a)]>f[f(a)+1],则实数a的取值范围为( )A.(-1,0]B.[-1,0]C.(-5,-4]D.[-5,-4]7.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=2f(x)-2,当x∈(0,2]时,f(x)=若x∈5\n(0,4]时,t2-≤f(x)≤3-t恒成立,则实数t的取值范围是( )A.[1,2]B.C.D.[2,+∞)8.(2022浙江名校协作体联考)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+4)=f(x),且当0≤x≤2时,f(x)=min{-x2+2x,2-x},若方程f(x)-mx=0恰有两个根,则m的取值范围是( )A.B.C.D.二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)= . 10.设函数f(x)=则f(13)+2f的值为 . 11.若函数f(x)=在定义域R上不是单调函数,则实数a的取值范围是 . 12.已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b= . 13.已知定义在R上的函数y=f(x)满足以下三个条件:①对于任意的x∈R,都有f(x+1)=;②函数y=f(x+1)的图象关于y轴对称;③对于任意的x1,x2∈[0,1],且x1<x2,都有f(x1)>f(x2).则f,f(2),f(3)从小到大的关系是 . 14.设函数f(x)=若|f(x)+f(x+l)-2|+|f(x)-f(x+l)|≥2(l>0)对任意实数x都成立,则l的最小值为 . 三、解答题(本大题共2小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分15分)已知函数f(x)=logax,g(x)=2loga(2x+t-2),其中a>0且a≠1,t∈R.(1)若t=4,且x∈时,F(x)=g(x)-f(x)的最小值是-2,求实数a的值;(2)若0<a<1,且x∈时,有f(x)≥g(x)恒成立,求实数t的取值范围.16.(本小题满分15分)已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.(1)求a,b的值;(2)判断函数f(x)的单调性,并用定义证明;(3)当x∈时,f(kx2)+f(2x-1)>0恒成立,求实数k的取值范围.5\n参考答案专题能力训练3 函数的图象与性质1.A 解析因为函数f(x)的定义域为R,f(-x)=3-x--3x=-f(x),所以函数f(x)是奇函数.又y=3x和y=-在R上都是增函数,所以函数f(x)在R上是增函数.故选A.2.D 解析∵由题图可知函数为减函数,∴0<a<1,又图象与y轴的交点为(0,1-b),∴0<1-b<1,即0<b<1.故选D.3.B 解析因为周期为2,所以f(-1)=f(1)=-f(1),即f(1)=0,而f(2017)=f(1+2×1008)=f(1)=0.故选B.4.B 解析∵当x∈R时,函数f(x)=a|x|始终满足0<|f(x)|≤1,∴必有0<a<1.先画出函数y=loga|x|的图象如图1.而函数y=loga=-loga|x|,∴其图象如图2.故选B.5.B 解析f=--(-1)=;f=--0=-,f-0=,所以f<f;f(3.4)=3.4-3=0.4;函数y=f(x)的值域是.故选B.6.C 解析作出函数f(x)的图象(图略),结合函数图象可知f[f(a)]>f[f(a)+1],即解得-1<f(a)≤0,从而有-5<a≤-4.故选C.7.A 解析由题意,当x∈(0,2]时,f(x)=其值域为,当x∈(2,4]时,x-2∈(0,2],∴f(x)=2f(x-2)-2.∴函数f(x)在(2,4]上的值域为∪[-1,0],故f(x)在(0,4]上的最大值为1,最小值为-.由x∈(0,4]时,t2-≤f(x)≤3-t恒成立,得解得1≤t≤2.故选A.8.C 解析∵f(x)=f(x+4)=f(-x),∴f(x)是周期函数,周期T=4,且图象关于直线x=2对称.∴函数f(x)的图象如下图所示,若直线y=mx与抛物线y=-x2+2x相切,则⇒x2+(m-2)x=0,由Δ=0⇒m=2,故可知实数m的取值范围是,应选C.9.12 解析因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).又因为当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,所以f(2)=-f(-2)=-[2×(-8)+4]=12.5\n10.0 解析因为f(13)=f(13-4)=f(9)=log39=2,2f=2log3=-2,所以f(13)+2f=2-2=0.11.∪(1,+∞) 解析由题意可知a>0,且a≠1.若函数f(x)在R上单调递增,满足解集为空集;若函数f(x)在R上单调递减,满足解得≤a<,f(x)在定义域R上不是单调函数,则实数a的取值范围是∪(1,+∞).12.- 解析若a>1,则函数f(x)=ax+b单调递增,故解得这与a>1矛盾;故0<a<1,则函数f(x)=ax+b单调递减,故解得所以a+b=-.13.f(3)<f<f(2) 解析由①得f(x+2)=f(x+1+1)==f(x),所以函数f(x)的周期为2.因为函数y=f(x+1)的图象关于y轴对称,将函数y=f(x+1)的图象向右平移一个单位即得函数y=f(x)的图象,所以函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称;根据③可知函数f(x)在[0,1]上为减函数,又结合②知,函数f(x)在[1,2]上为增函数.因为f(3)=f(2+1)=f(1),在区间[1,2]上,1<<2,所以f(1)<f<f(2),即f(3)<f<f(2).14.2 解析画出函数y=f(x)的图象如下图,根据图象可知函数y=f(x)为偶函数,因为对任意x∈R都有|f(x)+f(x+l)-2|+|f(x)-f(x+l)|≥2恒成立,不妨令x=-,则转化为≥2,因为f=f,所以转化为≥1对l>0恒成立,即f≥2或f≤0(舍)对l>0恒成立,结合图象分析可知lmin=|CD|=2.15.解(1)∵t=4,∴F(x)=g(x)-f(x)=2loga(2x+2)-logax=loga=loga4,易证h(x)=4上单调递减,在[1,2]上单调递增,且h>h(2),∴h(x)min=h(1)=16,h(x)max=h=25.∴当a>1时,F(x)min=loga16,由loga16=-2,解得a=(舍去);当0<a<1时,F(x)min=loga25,由loga25=-2,解得a=.故实数a的值是.(2)∵f(x)≥g(x)恒成立,即logax≥2loga(2x+t-2)恒成立,∴logax≥loga(2x+t-2).又∵0<a<1,x∈,∴≤2x+t-2,即t≥-2x++2恒成立,∴t≥(-2x++2)max.令y=-2x++2=-2,∴ymax=2.故实数t的取值范围为[2,+∞).16.解(1)∵f(x)在定义域R上是奇函数,∴f(0)=0,即=0.∴b=1.又由f(-1)=-f(1),即=-,可得a=2,检验知,当a=2,b=1时,原函数是奇函数.(2)由(1)知f(x)==-,任取x1,x2∈R,设x1<x2,则f(x2)-f(x1)=,∵函数y=2x在R上是增函数,且x1<x2,∴<0.又(+1)(+1)>0,∴f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1).∴函数f(x)在R上是减函数.(3)∵f(x)是奇函数,∴不等式f(kx2)+f(2x-1)>0等价于f(kx2)<-f(2x-1)=f(1-2x).5\n又f(x)在R上是减函数,∴由上式可推得kx2<1-2x,即对一切x∈有k<恒成立.设g(x)=-2·,令t=,t∈,则有g(t)=t2-2t,t∈,∴g(x)min=g(t)min=g(1)=-1.∴k<-1,即k的取值范围为(-∞,-1).5
