普通高中课程标准实验教科书—数学[人教版]高三新数学第一轮复习教案（讲座17）—算法案例一．课标要求：通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学开展的奉献。二．命题走向算法是高中数学新课程中的新增内容，本讲的重点是几种重要的算法案例思想，复习时重算法的思想轻算法和程序的构造。预测2022年高考队本讲的考察是：以选择题或填空题的形式出现，分值在5分左右，考察的热点是算法实例和传统数学知识的结合题目。三．要点精讲1．求最大公约数（1）短除法求两个正整数的最大公约数的步骤：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是两个互质数为止，然后把所有的除数连乘起来。（2）穷举法（也叫枚举法）穷举法求两个正整数的最大公约数的解题步骤：从两个数中较小数开场由大到小列举，直到找到公约数立即中断列举，得到的公约数便是最大公约数。（3）辗转相除法辗转相除法求两个数的最大公约数，其算法可以描述如下：①输入两个正整数m和n；②求余数r：计算m除以n，将所得余数存放到变量r中；③更新被除数和余数：m=n，n=r；15/15\n④判断余数r是否为0。假设余数为0，那么输出结果；否那么转向第②步继续循环执行。如此循环，直到得到结果为止。（4）更相减损术我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。在《九章算术》中记载了更相减损术求最大公约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母•子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。步骤：Ⅰ．任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。假设是，用2约简；假设不是，执行第二步。Ⅱ．以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这操作，直到所得的数相等为止，那么这个数（等数）就是所求的最大公约数。2．秦九韶算法秦九韶算法的一般规那么：秦九韶算法适用一般的多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0的求值问题。用秦九韶算法求一般多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0当x=x0时的函数值，可把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题，即求v0=anv1=anx+an－1v2=v1x+an－2v3=v2x+an－315/15\n……..vn=vn－1x+a0观察秦九韶算法的数学模型，计算vk时要用到vk－1的值，假设令v0=an。我们可以得到下面的递推公式：v0=anvk=vk－1+an－k(k=1,2,…n)这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，可以用循环构造来实现。3.排序排序的算法很多，课本主要介绍里两种排序方法：直接插入排序和冒泡排序（1）直接插入排序在日常生活中，经常碰到这样一类排序问题：把新的数据插入到已经排好顺序的数据列中。例如：一组从小到大排好顺序的数据列{1，3，5，7，9，11，13}，通常称之为有序列，我们用序号1，2，3，……表示数据的位置，欲把一个新的数据8插入到上述序列中。完成这个工作要考虑两个问题：（1）确定数据“8”在原有序列中应该占有的位置序号。数据“8”所处的位置应满足小于或等于原有序列右边所有的数据，大于其左边位置上所有的数据。（2）将这个位置空出来，将数据“8”插进去。对于一列无序的数据列，例如：{49，38，65，97，76，13，27，49}，如何使用这种方法进展排序呢？根本思想很简单，即反复使用上述方法排序，由序列的长度不断增加，一直到完成整个无序列就有序了。15/15\n首先，{49}是有序列，我们将38插入到有序列{49}中，得到两个数据的有序列：{38，49}，然后，将第三个数据65插入到上述序列中，得到有序列：{38，49，65}…………按照这种方法，直到将最后一个数据65插入到上述有序列中，得到{13，27，38，49，49，65，76，97}这样，就完成了整个数据列的排序工作。注意到无序列“插入排序算法”成为了解决这类问题的平台。（2）冒泡法排序所谓冒泡法排序，形象地说，就是将一组数据按照从小到大的顺序排列时，小的数据视为质量轻的，大的数据视为质量沉的。一个小的数据就好比水中的气泡，往上移动，一个较大的数据就好比石头，往下移动。显然最终会沉到水底，最轻的会浮到顶，反复进展，直到数据列排成为有序列。以上过程反映了这种排序方法的根本思路。我们先对一组数据进展分析。设待排序的数据为：{49，38，65，97，76，13，27，49}排序的具体操作步骤如下：1．将第1个数与右边相邻的数38进展比较，因为38<49，49应下沉，即向右移动，所以交换他们的位置，得到新的数据列：{38，49，65，97，76，13，27，49}2．将新数据列中的第2个数49与右边相邻的数65进展比较，因为65>49，所以顺序不变，得到新的数据列：{38，49，65，97，76，13，27，49}3．将新数据列中的第3个数65与右边相邻的数97进展比较，因为97>65，所以顺序不变，得到新的数据列：{38，49，65，97，76，13，27，49}4．将新数据列中的第4个数97与右边相邻的数76进展比较，因为76<97，97应下沉，所以顺序不变，得到新的数据列：{38，49，65，76，97，13，27，49}5．将新数据列中的第5个数97与右边相邻的数13进展比较，因为13<97，97应下沉，所以顺序改变，得到新的数据列：15/15\n{38，49，65，76，13，97，27，49}6．将新数据列中的第6个数97与右边相邻的数27进展比较，因为27<97，97应下沉，所以顺序改变，得到新的数据列：{38，49，65，76，13，97，27，49}7．将新数据列中的第7个数97与右边相邻的数49进展比较，因为49<97，97应下沉，所以顺序改变，得到新的数据列：{38，49，65，76，13，97，49，27}我们把上述过程称为一趟排序。其根本特征是最大的数据沉到底，即排在最左边位置上的数据是数组中最大的数据。反复执行上面的步骤，就能完成排序工作，排序过程不会超过7趟。这种排序的方法称为冒泡排序。上面的分析具有一般性，如果数据列有n个数据组成，至多经过n－1趟排序，就能完成整个排序过程。4．进位制（1）概念进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0—9进展记数。对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。比方：十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的。一般地，假设k是一个大于一的整数，那么以k为基数的k进制可以表示为：，15/15\n而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数。（2）进位制间的转换关于进位制的转换，教科书上以十进制和二进制之间的转换为例讲解，并推广到十进制和其它进制之间的转换。这样做的原因是，计算机是以二进制的形式进展存储和计算数据的，而一般我们传输给计算机的数据是十进制数据，因此计算机必须先将十进制数转换为二进制数，再处理，显然运算后首次得到的结果为二进制数，同时计算机又把运算结果由二进制数转换成十进制数输出。非十进制数转换为十进制数比较简单，只要计算下面的式子值即可：第一步：从左到右依次取出k进制数各位上的数字，乘以相应的k的幂，k的幂从n开场取值，每次递减1，递减到0，即；第二步：把所得到的乘积加起来，所得的结果就是相应的十进制数。十进制数转换成非十进制数把十进制数转换为二进制数，教科书上提供了“除2取余法”，我们可以类比得到十进制数转换成k进制数的算法“除k取余法”。非十进制之间的转换一个自然的想法是利用十进制作为桥梁。教科书上提供了一个二进制数据与16进制数据之间的互化的方法，也就是先有二进制数转化为十进制数，再由十进制数转化成为16进制数。四．典例解析15/15\n题型1：求最大公约数例1．（1）用辗转相除法求123和48的最大公约数？（2）用更相减损来求80和36的最大公约数？解析：（1）辗转相除法求最大公约数的过程如下：（建立带余除式） 123＝2×48＋27 48＝1×27＋21 27＝1×21＋6 21＝3×6＋3 6＝2×3+0最后6能被3整除，得123和48的最大公约数为3。（2）分析：我们将80作为大数，36作为小数，执行更相减损术来求两数的最大公约数。执行完毕的准那么是减数和差相等。更相减损术：因为80和36都是偶数，要去公因数2。80÷2=40，36÷2=18；40和18都是偶数，要去公因数2。40÷2=20，18÷2=9下面来求20与9的最大公约数，20－9=1111－9=29－2=77－2=55－2=33－2=12－1=1可得80和36的最大公约数为22×1=4。15/15\n点评：比照两种方法控制好算法的完毕，辗转相除法是到达余数为0，更相减损术是到达减数和差相等。例2．设计一个算法，求出840与1764的最大公因数。解析：我们已经学习过了对自然数的素因数分解的方法，下面的算法就是在此根底上设计的。解题思路如下：首先对两个数进展素因数分解：840=23×3×5×7，1764=22×32×72，其次，确定两个数的公共素因数：2，3，7。接着确定公共素因数的指数：对于公共素因数2，840中为23，1764中为22，应取较少的一个22，同理可得下面的因数为3和7。算法步骤：第一步：将840进展素数分解23×3×5×7；第二步：将1764进展素数分解22×32×72；第三步：确定它们的公共素因数：2，3，7；第四步：确定公共素因数2，3，7的指数分别是：2，1，1；第五步：最大公因数为22×31×71=84。点评：质数是除１以外只能被１和本身整除的正整数，它应该是无限多个，但是目前没有一个规律来确定所有的质数。题型2：秦九韶算法15/15\n例3．（2022北京，14）已知n次多项式，如果在一种算法中，计算（k＝2，3，4，…，n）的值需要k－1次乘法，计算的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算的值共需要次运算。下面给出一种减少运算次数的算法：（k＝0，1，2，…，n－1）．利用该算法，计算的值共需要6次运算，计算的值共需要次运算。答案：65；20。点评：秦九韶算法适用一般的多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0的求值问题。直接法乘法运算的次数最多可到达，加法最多n次。秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数减少到最多n次，加法最多n次。例4．已知多项式函数f(x)=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7，求当x=5时的函数的值。解析：把多项式变形为：f(x)=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7=((((2x－5)x－4)x+3)x－6)x+7计算的过程可以列表表示为：多项式x系数2－5－43－67运算运算所得的值10251055402670+15/15\n变形后x的"系数"25211085342677*5最后的系数2677即为所求的值。算法过程：v0=2v1=2×5－5=5v2=5×5－4=21v3=21×5+3=108v4=108×5－6=534v5=534×5+7=2677点评：如果多项式函数中有缺项的话，要以系数为0的项补齐后再计算。题型三：排序例4．试用两种排序方法将以下8个数：7,1,3,12,8,4,9,10。按照从大到小的顺序进展排序。解析：可以按照直接插入排序和冒泡排序这两种方法的要求，结合图形，分析写出。直接插入法排序：[7]131284910[71]31284910[731]1284910[12731]84910[128731]4910[1287431]910[12987431]10[1210987431]冒泡排序7777777711333333331121212121215/15\n12121218888888814444444419999999911010101010101010第一趟771212121231288910128791098491088491077791044441033333111111第2趟第3趟第4趟第5趟第6趟点评：直接插入法和冒泡法排序是常见的排序方法，通过该例，我们比照可以发现，直接插入排序比冒泡排序更有效一些，执行的操作步骤更少一些。例6．给出以下四个数：6，－3，0，15，用直接插入法排序将它们按从小到大的顺序排列，用冒泡法将它们按从大到小的顺序排列。分析：不管从大到小的顺序还是按从大到小的顺序，都可按两种方法的步骤进展排序。解析：直接插入排序法：[6]－3015[－36]015[－306]15[－30615]用冒泡排序法排序：6666666151515－3－3000151566600－315150000015/15\n151515－3－3－3－3－3－3－3题型4：进位值例7．把十进制数89化为三进制数，并写出程序语句.解析：具体的计算方法如下：89=3×29+229=3×9+29=3×3+03=3×1+01=3×0+1所以:89（10）=1011001(3)。点评：根据三进制数满三进一的原那么，可以用3连续去除89及其所的得的商，然后按倒序的先后顺序取出余数组成数据即可。例8．将8进制数314706（8）化为十进制数，并编写出一个实现算法的程序。解析：314706（8）=3×85+1×84+4×83+7×82+0×81+6×80=104902。所以，化为十进制数是104902。点评：利用把k进制数转化为十进制数的一般方法就可以把8进制数314706（8）化为十进制数，然后根据该算法，利用GET函数，应用循环构造可以设计程序。五．思维总结开场输入：m,nr=mMODnm=nn=rr=0?输出：开场YN1．求最大公约数15/15\n（1）辗转相除法程序框图与程序语句程序：INPUT“m，n=”;m,nDOr=mMODnm=nn=rLOOPUNTILr=0PRINTEND（2）更相减损术更相减损术程序：INPUT“请输入两个不相等的正整数”；a，bi=0WHILEaMOD2=0ANDbMOD2=0a=a/2b=b/2i=i+1WENDDOIFb<aTHENt=aa=bb=tENDIFc=a－ba=bb=cLOOPUNTILa=bPRINTa^iEND对于两个正整数如何选择适宜的方法求他们的最大公约数15/15\n方法适用范围及特点短除法适合两个较小的正整数或两个质因数较少的正整数，简便易操作。穷举法适合计算机操作，但一一验证过于繁琐。辗转相除法适用于两个较大的正整数，以除法为主，辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小差异较大时计算次数较明显。更相减损术适用于两个较大的正整数，更相减损术以减法为主，计算次数上相对于辗转相处法较多。2．我们以这个5次多项式函数为例加以说明，设：f（x）=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0首先，让我们以5次多项式一步步地进展改写：f（x）=（a5x4+a4x3+a3x2+a2x+a1）x+a0=（（a5x3+a4x2+a3x+a2）x+a1）x+a0=（（（a5x2+a4x+a3）x+a2）x+a1）x+a0=（（（（a5x+a4）x+a3）x+a2）x+a1）x+a0上面的分层计算。只用了小括号，计算时，首先计算最内层的括号，然后由里向外逐层计算，直到最外层的括号，然后加上常数项即可。开场输入a1,a2,a3,a4,a5,x0n=1,v=v5n≤6?v=v×x0+a5－nn=n+1输出v完毕3．排序（1）直接插入排序插入排序的思想就是读一个，排一个。将数组的第１个数据放入数组的第１个位置，以后读入的数据与已存入数组的数据进展比较，确定它按从大到小（从小到大）的排列中排在正确的位置。将该位置以及以后的元素向后推移一个位置，将读入的新数填到空出的位置即可。（2）冒泡排序以从大到小为例：依次比较相邻的两个数,把大的放前面,小的放后面。即首先比较第1个数和第2个数,大数放前,小数放后；然后比较完成第2个数和第3个数；......；直到比较完了最后两个数。第一趟排序完毕,最小的一定沉到最后。重复上过程,仍从第1个数开场,到最后第2个数......15/15\n由于在排序过程中总是大数往前,小数往后,相当气泡上升,所以叫冒泡排序。4．进位值我们常见的数字都是十进制数,比方一般的数值计算，但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的。比方时间和角度的单位是六十进制,电子计算机的指令用的是二进制，早先的计算机的用的是十六进制的。15/15
