一轮复习数学模拟试题03一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1．在同一坐标系中，函数与的图象之间的关系是（）．A．关于轴对称B．关于轴对称C．关于原点对称D．关于直线对称2．下列函数中，在区间上是增函数的是（）．A．B．C．D．3．下列函数中为偶函数的是（）．A．B．C．D．4.函数为（）．A．奇函数且在上是减函数B．奇函数且在上是增函数C．偶函数且在上是减函数D．偶函数且在上是增函数5.函数有零点的区间是( )A．B．C．D．6．设，，，则的大小关系为（）．A．B．C．D．7.设是周期为2的函数，当时，，则＝( )A．B．C.D.8.一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象大致是( )9.如果函数对任意的实数，都有，那么( )A．B．-8-\nC．D．10．《优化方案》系列丛书第三年的销量比第一年的销量增长了，若每年的平均增长率相同(设为)，则以下结论正确的是( )A．B．C．D．的大小由第一年的销量确定二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）11.计算＝.12.已知关于的二次方程，若方程有两根，其中一根在区间内，另一根在区间内，的范围是．13．设函数若，则实数．14.函数的值域为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.15.(12分)已知函数.（1）用函数的单调性的定义证明在上是减函数．(8分)（2）求函数在上的最大值和最小值。（4分）16．(14分)已知函数(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；(8分)(2）说明如何由的图象得到函数的图象．(4分)-8-\n17．(12分)某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数分布)如下表：学历35岁以下35～50岁50岁以上本科803020研究生20(1)用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人的学历为研究生的概率；(8分)(2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为，求，的值．(4分)18．(14分)如图，在四棱锥中，是矩形，平面，，点是的中点，点在上移动．(1)求三棱锥的体积；（4分）(2)当点为的中点时，试判断与平面的关系，并说明理由；（4分）(3)求证：（6分）19.(14分)函数.（1）求在闭区间上的最大值和最小值.（6分）（2）设在闭区间()上的最小值记为，试写出的函数关系式.（8分）-8-\n20．(14分)已知为常数，且，函数是自然对数的底数)．(1)求实数的值；（3分）(2)求函数的单调区间；（5分）(3)当时，是否同时存在实数和，使得对每一个，直线与曲线）都有公共点？若存在，求出最小的实数和最大的实数；若不存在，说明理由．（6分）参考答案1-5ABDCD6-10CDCDB11．12．13．14．15．（12分）（1）证明：任取，且，…………………………1分则==……4分由，得，，，所以，…………………6分所以，所以，所以，在上是减函数．………………………………………8分（2）解：由（1）得在上是减函数，所以，在上是减函数．…………10分所以，当时，取得最大值，最大值是2；当时，取得最小值，最小值是．………………………12分16．（12分）解：(1)…………………2分-8-\n…………………………………4分则最小正周期…………………………………5分由，得，………………………………7分故f(x)的增区间为………………………………8分(2)先把的图象向左平移个单位得到的图象，………10分再把的图象向上平移个单位，即得函数的图象．…………12分17．（14分）解：(1)用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本，设抽取学历为本科的人数为，∴，解得＝3.……………………………3分∴抽取了学历为研究生2人，学历为本科3人，分别记作,.从中任取2人的所有基本事件共10个：,,,,,,,,……………………………5分其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：,,,,,,．………………………7分∴从中任取2人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为.……………………………8分(2)依题意得：,解得…………………………10分∴35～50岁中被抽取的人数为.…………………………11分∴………………………13分解得，∴，……………………14分-8-\n18．18．(14分)如图，在四棱锥中，是矩形，平面，，点是的中点，点在上移动．(1)求三棱锥的体积；（4分）(2)当点为的中点时，试判断与平面的关系，并说明理由；（4分）(3)求证：（6分）图7－1218．(1)证明：∵平面，……………………1分∴＝……………………4分(2)解：当点为的中点时，∥平面.……………………5分理由如下：∵点分别为的中点，∴∥.……………………6分又∵⊂平面，平面，∴∥平面.……………………8分(3)证明：∵平面,⊂平面,.∵是矩形，∴.∵∩，∴.……………………10分∵,∴.……………………11分∵=，点是的中点，∴.又∩，∴.……………………13分∵∴.……………………14分19.解:.二次函数的图象是一条开口方向向上的抛物线，对称轴方程是，……………2分所以，函数在上单调递减，在上单调递增.……………4分-8-\n，，.所以，当时，，当时，.……………6分（2）当时,f(x)在上是增函数.∴.……………8分当即时,.……………10分当,即时,f(x)在区间上是减函数.∴.……………12分综上可知:……………14分20．解：(1)由，得.……………3分(2)由(1)知，其定义域为．…………4分从而，因为，所以……………5分①当时，由得.由得.②当时，由得由得.……………7分所以，当时，的单调增区间为，单调减区间为．当时，f(x)的单调增区间为，单调减区间为．……………8分(3)当时，.则.令，则.当在区间内变化时，，的变化情况如下表：1－0＋单调递减极小值1单调递增2因为，所以在区间内值域为．……………11分由此可得，-8-\n若则对每一个，直线与曲线都有公共点．……………12分并且对每一个，直线与曲线都没有公共点．综合以上，当时，存在实数和，使得对每一个，直线与曲线都有公共点．……………14分-8-
