2022全国高考分类解析（10）数列三、解答题：1．（2022年高考）已知函数，是方程的两个根，是的导数．设，．（1）求的值；（2）已知对任意的正整数有，记．求数列的前项和．【解析】(1)由，得，∴，．(2)，，，∴，又，∴数列是一个首项为，公比为2的等比数列；∴．6\n2．（2022年高考）设数列满足，，．数列满足是非零整数，且对任意的正整数和自然数，都有．（1）求数列和的通项公式；（2）记，求数列的前项和．【解析】（1）由得又，数列是首项为1公比为的等比数列，，当n为奇数时当n为偶数时由得，由得，…同理可得当n为偶数时，；当n为奇数时，；因此当n为奇数时当n为偶数时（2）当n为奇数时，当n为偶数时令……①①×得：……②①-②得：，∴，6\n当n为奇数时当n为偶数时因此3．（2022年高考）已知点是函数的图像上一点．等比数列的前项和为．数列的首项为且前项和满足．（1）求数列和的通项公式；（2）若数列的前项和为，问满足的最小正整数是多少？【解析】（1）∵，∴．，，．又数列成等比数列，，∴．又公比，所以，；∵，又，，∴；数列构成一个首相为1公差为1的等差数列，，，当，，∴()．（2）；由，得，满足的最小正整数为．6\n4．（2022年高考）设b>0，数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）证明：对于一切正整数，．【解析】∵，∴，∴，当时，∴，∴当时，是以为首项，公差为1的等差数列，∴，∴．∵也符合，∴，．当时，令，∴，∴，∴∴，∴当时，是以为首项，公比为的等比数列，∴，∴．∵也符合，∴，．综上：当时，，．当时，，．（2）证明：当时，，．∴对于一切正整数，．当时，∴，∴要证．6\n即证．即证．即证．即证．设，∴∴根据均值不等式得：．∴当时，对于一切正整数，．综上：对于一切正整数，．6\n5．（2022年高考）设数列的前项和为，数列的前项和为，满足．（1）求的值；（2）求数列的通项公式．【解析】（1）当时，，∵，∴，∴，(2)当时，，∵当时，∴，∴，∴数列是以为首项，为公比的等比数列，∴，∴，∵，∴，．6
