专题06充分条件与必要条件的合理判定考纲要求:1、理解必要条件、充分条件与充要条件的意义；2、掌握必要条件、充分条件与充要条件的判定.基础知识回顾:充分条件与必要条件已知命题是条件，命题是结论（1）充分条件：若，则是充分条件；所谓“充分”，意思是说，只要这个条件就够了，就很充分了，不要其它条件了。如：是的充分条件。（2）必要条件：若，则是必要条件；所谓“必要”，意思是说，这个条件是必须的，必要的，当然，还有可能需要其它条件。如：某个函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。函数要具有奇偶性首先必须定义域关于原点对称，否则一定是非奇非偶。但是定义域关于原点对称并不就一定是奇偶函数，还必须满足才是偶函数，满足是奇函数。（3）充要条件：若，且，则是充要条件.（4）两种常见说法：A是B的充分条件，是指A⇒B；A的充分条件是B，是指B⇒AA的充要条件是，充分性是指B⇒A，必要性是A⇒B，此语句应抓“条件是B”；是B的充要条件，此语句应抓“A是条件”．应用举例:类型一：充分条件与必要条件的判定——函数【例1】【2022长郡中学高三入学考试】“”是“函数在区间内单调递减”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要【答案】A【解析】当时，在区间上，单调递减，但区间上单调递减时，，所以“”是“11\n在区间内单调递减”的.【例2】【2022浙江省温州市高三模拟考试】设函数，则“”是“与都恰有两个零点”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C类型二：充分条件与必要条件的判定——不等式【例3】【北京市朝阳区2022届高三二模】“x>0,y>0”是“yx+xy≥2”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当x>0,y>0时，由均值不等式yx+xy≥2成立。但yx+xy≥2时，只需要xy>0,不能推出x>0,y>0。所以是充分而不必要条件。选A.【例4】【2022河北省邯郸市高三摸底】设a，b∈R，则“a＞0，b＞0”是“”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】由a＞0，b＞0不能得知，如取a＝b＝1时，；由不能得知a＞0，b＞0，如取a＝4，b＝0时，满足，但b11\n＝0.综上所述，“a＞0，b＞0”是“”的既不充分也不必要条件.类型三：充分条件与必要条件的判定——圆锥曲线【例5】【2022河北省张家口市高三质检】已知p：“a＝”，q：“直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切”，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A.【解析】由直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切得，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离等于圆的半径，即有，a＝±.因此，p是q的充分不必要条件.【例6】【2022宝鸡市高三毕业班摸底】“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C类型四：充分条件与必要条件的判定——复数【例7】【2022河北省衡水冀州中学高三月考】已知复数z＝(a∈R，i为虚数单位)，则“a>0”是“z在复平面内对应的点位于第四象限”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】z＝＝－(a＋3i)i＝3－ai，若z位于第四象限，则a>0，反之也成立，所以“a>0”是“z在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件．类型五：充分条件与必要条件的判定——三角函数【例8】【2022届江西省南昌市高三第一次模拟考试】已知均为第一象限的角，那么是的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件11\n【答案】D【解析】均为第一象限的角，满足，但，因此不充分；均为第一象限的角，满足，但，因此不必要；所以选D.【例9】【山东省日照市2022届高三第三次模拟考试】命题，命题的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由得，即，由得，∴是的充要条件，故选C.类型六：充分条件与必要条件的判定——平面向量【例10】【2022山东省潍坊市高三摸底】设是非零向量，“”是“”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A.类型七：充分条件与必要条件的判定——集合【例11】【2022海南省海口市高三摸底】已知集合A＝{x∈R|＜2x＜8}，B＝{x∈R|－1＜x＜m＋1}，若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是( )A．m≥2B．m≤2C．m＞2D．－2＜m＜2【答案】C.【解析】A＝{x∈R|＜2x＜8}＝{x|－1＜x＜3}∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，∴AB，∴m＋1＞3，即m＞2.【例12】【2022重庆市高三调研】已知集合A＝{1，m2＋1}，B＝{2,4}，则“m＝”是“A∩B＝{4}”的( )11\nA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A.【解析】A∩B＝{4}⇒m2＋1＝4⇒m＝±，故“m＝”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件．类型八：充分条件与必要条件的判定——立体几何【例13】【北京市昌平区2022年高三第二次统一练习】已知直线和平面，满足.则“”是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【例14】已知直线m、n和平面α，在下列给定的四个结论中，m∥n的一个必要但不充分条件是( )A．m∥α，n∥αB．m⊥α，n⊥αC．m∥α，n⊂αD．m、n与α所成的角相等【答案】D【解析】m∥n⇒m，n与α所成的角相等，反之m，n与α所成的角相等不一定推出m∥n.类型九：充分条件与必要条件的判定——数列【例15】【2022届山东省济宁市高三3月模拟考试】设，“，，为等比数列”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意得，，，为等比数列，因此，，为等比数列，所以“，，为等比数列”是“”的必要不充分条件，故选B.【例16】【2022浙江省温州市高三月考试题】设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D11\n【解析】解法一：(特殊值法)：由q>1不能推出{an}是递增数列，如数列－2，－4，－8，－16，…；由{an}是递增数列也不能推出公比q>1，如数列－16，－8，－4，－2，….故“q>1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件．解法二：当数列{an}的首项a1<0时，若q>1，则数列{an}是递减数列；当数列{an}的首项a1<0时，要使数列{an}为递增数列，则0<q<1，所以“q>1”是“数列{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件．故选D.类型十：充分条件与必要条件的应用【例17】【2022湖南省长沙市长郡中学高三月考】已知集合A＝，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．【答案】∪.【例18】【2022河南省洛阳市一中高三入学考试】已知p：，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，且是的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．【答案】m≥9..【解析】方法一：由q：x2－2x＋1－m2≤0，得1－m≤x≤1＋m，∴：A＝{x|x＞1＋m或x＜1－m，m＞0}，由p：，解得－2≤x≤10，∴：B＝{x|x＞10或x＜－2}．∵是的必要而不充分条件．∴，∴或，即m≥9或m＞9.∴m≥9.方法二：∵是的必要而不充分条件，∴p是q的充分而不必要条件，由q：x2－2x＋1－m2≤0，得1－m≤x≤1＋m，∴q：Q＝{x|1－m≤x≤1＋m}，由p：，解得－2≤x≤10，∴p：P＝{x|－2≤x≤10}．11\n∵p是q的充分而不必要条件，∴P⊆Q，∴或，即m≥9或m＞9.∴m≥9.方法、规律归纳:(1)充分条件、必要条件的判断方法【定义法】直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．【等价法】利用p⇒q与q⇒p，q⇒p与p⇒q，p⇔q与q⇔p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．【集合法】若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．(2)判断指定条件与结论之间关系的基本步骤：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论，从结论推条件；③确定条件和结论是什么关系．实战演练:1．【河北省衡水中学2022届高三下学期第三次摸底考试】在中，“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B2．【重庆市巴蜀中学2022届高三下学期期中（三模）考试】设，，则“”是“”的()A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】不能推出，反过来，若则成立，故为必要不充分条件.3．【四川省泸州市2022届高三四诊】“”是“”的()11\nA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B4．【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2022年高三第三次模拟】已知，，，则是的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为取时，在，但不成立，故是不充分条件；但当成立时，则命题成立，即是必要条件，故是的必要不充分条件，应选答案B。5．【河南省豫北重点中学2022届高三4月联考】“数列是等差数列”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若数列是等差数列，则，反过来，也成立，所以是充分必要条件，故选C.6．【青海省西宁市2022届高三下学期复习检测二】在中,成等差数列是11\n的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C即B−A=C−B；∴A，B，C成等差数列；∴A,B,C成等差数列是(b+a−c)(b−a+c)=ac的必要条件；∴综上得,A,B,C成等差数列是(b+a−c)(b−a+c)=ac的充要条件。本题选择C选项.11\n7．【湖北省武汉市2022届高三五月模拟】下面四个条件中，使成立的必要而不充分的条件是()A.B.C.D.【答案】B【解析】“a>b”不能推出“a1>b”，故选项A不是“a>b”的必要条件，不满足题意；“a>b”能推出“a+1>b”，但“a+1>b”不能推出“a>b”，故满足题意；“a>b”不能推出“|a|>|b|”，故选项C不是“a>b”的必要条件，不满足题意；“a>b”能推出“a3>b3”，且“a3>b3”能推出“a>b”，故是充要条件，不满足题意；本题选择B选项.点睛：有关探求充要条件的选择题，破题关键是：首先，判断是选项“推”题干，还是题干“推”选项；其次，利用以小推大的技巧，即可得结论．8．【河南省六市2022届高三下学期第二次联考】已知圆.设条件：，条件：圆上至多有2个点到直线的距离为1，则是的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C9．【2022河北省廊坊市第四中学高三月考试题】已知p：－x2＋6x＋16≥0，q：x2－4x＋4－m2≤0(m＞0)．(1)若p为真命题，求实数x的取值范围；(2)若p是q成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【答案】－2≤x≤8;m≥6.【解析】(1)由－x2＋6x＋16≥0，解得－2≤x≤8；所以当p为真命题时，x的取值范围为－2≤x≤8.11\n(2)方法一：若q为真，可由x2－4x＋4－m2≤0(m＞0)，解得2－m≤x≤2＋m(m＞0)．若p是q成立的充分不必要条件，则[－2,8]是[2－m，2＋m]的真子集，所以(两等号不同时成立)，得m≥6.所以实数m的取值范围是m≥6.方法二：设f(x)＝x2－4x＋4－m2(m＞0)，若p是q成立的充分不必要条件，则有(两等号不同时成立)，解得m≥6.所以实数m的取值范围是m≥6.10．【2022湖北省襄阳市第四中学高三月考试题】已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－5x＋6＜0}，B＝{x|(x－a)(x－a2－2)＜0}．(1)当a＝时，求(∁UB)∩A；(2)命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．【答案】(∁UB)∩A＝{x|≤x＜3};(－∞，－1]∪[1,2]．11
