专题05四种命题及其相互关系的智能转化考纲要求:1、了解命题的概念，会分析原命题及其逆命题、否命题与逆否命题这四种命题的相互关系；2、给出四种命题中的一种，能够写出其他的三种.基础知识回顾:1．命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及其关系（1）四种命题原命题：若则；原命题的逆命题：若则；原命题的否命题：若则；原命题的逆否命题：若则。【注】命题的否定：若则。（命题的否命题既否定命题的条件又否定命题的结论，而命题的否定仅是否定命题的结论。）（2）四种命题间的关系（3）四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.应用举例:类型一、四种命题之间的关系 【例1】【2022河北冀州中学高三摸底考试】命题“若a2>b2，则a>b”的否命题是( )A．若a2>b2，则a≤b B．若a2≤b2，则a≤bC．若a≤b，则a2>b2D．若a≤b，则a2≤b28\n【答案】B【解析】根据命题的四种形式可知，命题“若p，则q”的否命题是“若p，则q”．该题中，p为a2>b2，q为a>b，故p为a2≤b2，q为a≤b.所以原命题的否命题为：若a2≤b2，则a≤b.【例2】【2022江苏省泰州中学高三摸底】命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为( )A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为真命题B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题【答案】C【解析】根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝4或－1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．类型二、命题的真假判断【例3】【江西省赣州市2022届高三第二次模拟考试】对于下列说法正确的是()A.若是奇函数，则是单调函数B.命题“若，则”的逆否命题是“若，则”C.命题，则，D.命题“”是真命题【答案】D【例4】【天津市红桥区2022届高三二模】已知下列命题：①函数有最小值2；②“”的一个必要不充分条件是“”；③命题：，；命题：，.则命题“”是假命题；④函数在点处的切线方程为.其中正确命题的序号是__________．8\n【答案】③④【解析】，设，在上为增函数，的最小值为，①错误；②，“”的一个必要不充分条件是“”，错误；③命题：，，为真命题；命题：，，为真命题；则命题“”是假命题，正确；④函数在点处的切线方程为，正确；正确命题的序号为③④.【点睛】对每个命题进行判断，研究函数的最值首先要考虑函数的定义域；判断充要条件要搞清谁是条件，谁是结论；判断复合命题的真假首先要判断两个简单命题的真假；利用导数求切线方程要明确导数的几何意义.类型三、命题的否定与否命题【例5】【2022河北邯郸市成安一中高三入学考试】“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为______________________________．该命题的否定为______________________________．【答案】在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B不都是锐角【解析】原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，结论：∠A、∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”．命题的否定是否定命题的结论，即“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B不都是锐角”。类型四、已知命题真假求参数范围【例6】【2022山西省长治二中、临汾一中、康杰中学、晋城一中高三联考】已知命题p：关于x的不等式ax＞1(a＞0，a≠1)的解集是{x|x＜0}，命题q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．【答案】∪[1，＋∞).8\n故或解得a≥1或0<a≤，故实数a的取值范围是∪[1，＋∞).【例7】【湖北省黄冈中学2022年高三5月第三次模拟考试】若命题“”是假命题，则的取值范围是__________．【答案】方法、规律归纳:1、一个区别：否命题与命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．2、写一个命题的其他三种命题时的2个注意点(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．如“题组练透”第3题②易忽视．3、命题真假的2种判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．(2)利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断．（1）逆命题与否命题互为逆否命题；（2）互为逆否命题的两个命题同真假，故当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．4、根据命题真假求参数的3步骤(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．5、判断含有逻辑联结词命题真假的2个步骤(1)先判断简单命题p，q的真假．(2)再根据真值表判断含有逻辑联结词命题的真假．实战演练:1．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2022年第一次高考模拟考试】下列结论中正确的个数是()①“x=π3”是“sin(x+π2)=12”的充分不必要条件②若a>b，则am2>bm2；③命题“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∀x∈R，sinx>1”；8\n④函数f(x)=x-cosx在[0,+∞)内有且仅有两个零点．A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】由于x=π3时，sin(x+π2)=12成立，反之不成立，所以①正确；因为若m=0，命题“若a>b，则am2>bm2”不正确，因此②不正确；由于全称命题与特称命题互为否定，因此③不正确；由于当π2<x<3π2时，cosx<0，当3π2<x<2π时，x>cosx，所以函数f(x)=x-cosx在[0,+∞)内仅有一个零点，即④不正确。应选答案A。2．【江西省鹰潭市2022届高三第一次模拟考试】下列命题中错误的是()A.若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∨(¬q)”为真命题B.命题“若a+b≠7，则a≠2或b≠5”为真命题C.命题“若x2-x=0，则x=0或x=1”的否命题为“若x2-x=0，则x≠0且x≠1”D.命题p：∃x>0，sinx>2x-1，则¬p为∀x>0，sinx≤2x-1【答案】C3．【山东省淄博市2022届高三3月模拟考试】下列命题为真命题的是().A.若x>y>0，则lnx+lny>0B.“φ=π2”是“函数y=sin(2x+φ)为偶函数”的充要条件C.∃x0∈(-∞,0)，使3x0<4x0成立D.已知两个平面α,β，若两条异面直线m,n满足m⊂α,n⊂β且m//β,n//α，则α//β【答案】D8\n4．【2022届重庆市第八中学高三文上第二次适应性考试】命题“若，则”的否命题是()A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】C【解析】试题分析：否命题是否定条件和结论，故选C.考点：四种命题及其相互关系.5．【2022届山西孝义市高三上学期二轮模拟】命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数【答案】B【解析】试题分析：由命题的否定的定义知，“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是任意一个无理数，它的平方不是有理数．考点：命题的否定．6．【2022河南省洛阳市高三统考】在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p8\n是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A．(p)∨(q)B．p∨(q)C．(p)∧(q)D．p∨q【答案】A【解析】p：甲没有降落在指定范围；q：乙没有降落在指定范围，至少有一位学员没有降落在指定范围，即p或q发生．即为(p)∨(q).7．在命题“若m＞－n，则m2＞n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．【答案】3【解析】若m＝2，n＝3，则2>－3，但22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m＝－3，n＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.8．【2022河北省枣强一中高三摸底】已知p(x)：x2＋2x－m＞0，若p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为________．【答案】[3,8)【解析】因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3；又p(2)是真命题，所以4＋4－m＞0，解得m＜8.故实数m的取值范围是[3,8)．9．【2022河北省魏县一中高三摸底】设命题p：函数的定义域为R；命题q：不等式对均成立。（1）如果p是真命题，求实数的取值范围；（2）如果命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，求实数的取值范围．【答案】；10．【2022河北省定州中学高三月考】已知命题p：“存在a>0，使函数f(x)＝ax2－4x在(－∞，2]上单调递减”，命题q：“存在a∈R，使∀x∈R,16x2－16(a－1)x＋1≠0”．若命题“p∧q”为真命题，求实数a的取值范围．8\n【答案】；8
