【解析分类汇编系列五：北京2022高三（一模）文数】10：概率一、选择题．（2022届北京大兴区一模文科）若实数满足,则关于的方程无实数根的概率为（ ）A．B．C．D．D要使方程无实根，则判别式，即，,如图，阴影部分。所以三角形OAB的面积为，所以阴影部分的面积为，所以由几何概率公式可得所求概率为，选D.．（2022届北京市石景山区一模数学文）将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量=（m，n），=（3，6），则向量与共线的概率为（）A．B．C．D．D由题意可得,基本事件（m，n）（m，n=1，2，…，6）的个数=6×6=36．-10-\n若共线，则，得到．满足此条件的共有（1，2），（2，4），（3，6）三个基本事件．因此向量共线的概率,选D.二、填空题．（2022届北京东城区一模数学文科）从1,3,5,7这四个数中随机地取两个数组成一个两位数,则组成的两位数是5的倍数的概率为___.从1，3，5，7这四个数中随机地取两个数组成一个两位数，共有.组成的两位数是5的倍数，则个位数应为5，所以有种，所以组成的两位数是5的倍数的概率为。．（2022届北京门头沟区一模文科数学）用计算机产生随机二元数组成区域,对每个二元数组,用计算机计算的值,记“满足<1”为事件,则事件发生的概率为________.，矩形的面积为，圆的面积为，所以由几何概型公式可得.三、解答题．（2022届北京市延庆县一模数学文）某市电视台为了宣传举办问答活动,随机对该市15~65岁的人群抽样了人,回答问题统计结果如图表所示.-10-\n(Ⅰ)分别求出的值;(Ⅱ)从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人,则第2,3,4组每组应各抽取多少人?(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下,电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖,求:所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率.(Ⅰ)第1组人数,所以,第2组人数,所以,第3组人数,所以,第4组人数,所以第5组人数,所以(Ⅱ)第2,3,4组回答正确的人的比为,所以第2,3,4组每组应各依次抽取人,人,人(Ⅲ)记抽取的6人中,第2组的记为,第3组的记为,第4组的记为,则从6名学生中任取2名的所有可能的情况有15种,它们是:,,,,,,,,,,,,,,其中第2组至少有1人的情况有9种,它们是:,,,,,,,,故所求概率为-10-\n．（2022届北京东城区一模数学文科）为了解高三学生综合素质测评情况,对2000名高三学生的测评结果进行了统计,其中优秀、良好、合格三个等级的男、女学生人数如下表:优秀良好合格男生人数380373女生人数370377(Ⅰ)若按优秀、良好、合格三个等级分层,在这2000份综合素质测评结果中随机抽取80份进行比较分析,应抽取综合素质测评结果是优秀等级的多少份?(Ⅱ)若,,求优秀等级的学生中男生人数比女生人数多的概率.(Ⅰ)由表可知,优秀等级的学生人数为:.因为,故在优秀等级的学生中应抽取份.(Ⅱ)设“优秀等级的学生中男生人数比女生人数多”为事件.因为,,,且,为正整数,所以数组的可能取值为:,,,,,共个.其中满足的数组的所有可能取值为:,,,,共5个,即事件包含的基本事件数为.所以.故优秀等级的学生中男生人数比女生人数多的概率为.．（2022届北京丰台区一模文科）在一次抽奖活动中,有a、b、c、d、e、f共6人获得抽奖的机会.抽奖规则如下:主办方先从6人中随机抽取两人均获一等奖,再从余下的4人中随机抽取1人获二等奖,最后还从这4人中随机抽取1人获三等奖.(Ⅰ)求a能获一等奖的概率;-10-\n(Ⅱ)若a、b已获一等奖,求c能获奖的概率.(Ⅰ)设“a能获一等奖”为事件A,事件A等价于事件“从6人中随机取抽两人,能抽到a”.从6人中随机抽取两人的基本事件有(a、b)、(a、c)、(a、d)、(a、e)、(a、f)、(b、c)、(b、d)、(b、e)、(b、f)、(c、d)、(c、e)、(c、f)、(d、e)、(d、f)、(e、f)15个,包含a的有5个,所以,P(A)=,答:a能获一等奖的概率为(Ⅱ)设“若a、b已获一等奖,c能获奖”为事件B,a、b已获一等奖,余下的四个人中,获奖的基本事件有(c,c)、(c、d)、(c、e)、(c、f)、(d,c)、(d、d)、(d、e)、(d、f)、(e,c)、(e、d)、(e、e)、(e、f)、(f,c)、(f、d)、(f、e)、(f、f)16个,其中含有c的有7种,所以,P(B)=,答:若a、b已获一等奖,c能获奖的概率为．（2022届北京海淀一模文）在某大学自主招生考试中,所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试,成绩分为A,B,C,D,E五个等级.某考场考生的两科考试成绩的数据统计如下图所示,其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人.(I)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数;(II)若等级A,B,C,D,E分别对应5分,4分,3分,2分,1分,求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分;(Ⅲ)已知参加本考场测试的考生中,恰有两人的两科成绩均为A.在至少一科成绩为A的考生中,随机抽取两人进行访谈,求这两人的两科成绩均为A的概率.-10-\n:(I)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人,所以该考场有人所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为(II)求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为(Ⅲ)因为两科考试中,共有6人得分等级为A,又恰有两人的两科成绩等级均为A,所以还有2人只有一个科目得分为A设这四人为甲,乙,丙,丁,其中甲,乙是两科成绩都是A的同学,则在至少一科成绩等级为A的考生中,随机抽取两人进行访谈,基本事件空间为{甲,乙},{甲,丙},{甲,丁},{乙,丙},{乙,丁},{丙,丁},一共有6个基本事件设“随机抽取两人进行访谈,这两人的两科成绩等级均为A”为事件B,所以事件B中包含的基本事件有1个,则．（2022届北京门头沟区一模文科数学）某学校有两个参加国际中学生交流活动的代表名额,为此该校高中部推荐了2男1女三名候选人,初中部也推荐了1男2女三名候选人.(I)若从初高中各选1名同学做代表,求选出的2名同学性别相同的概率;(II)若从6名同学中任选2人做代表,求选出的2名同学都来自高中部或都来自初中部的概率.设高中部三名候选人为A1,A2,B.初中部三名候选人为a,b1,b2(I)由题意,从初高中各选1名同学的基本事件有(A1,a),(A1,b1),(A1,b2),(A2,a),(A2,b1),(A2,b2),(B,a),(B,b1),(B,b2),共9种设“2名同学性别相同”为事件E,则事件E包含4个基本事件,概率P(E)=所以,选出的2名同学性别相同的概率是(II)由题意,从6名同学中任选2人的基本事件有(A1,A2),(A1,B),(A1,a),(A1,b1),(A1,b2),(A2,B),(A2,a),(A2,b1),(A2,b2),(B,a),(B,b1),(B,b2),(a,b1),(a,b2),(b1,b2)共15种设“2名同学来自同一学部”为事件F,则事件F包含6个基本事件,-10-\n概率P(F)=所以,选出的2名同学都来自高中部或都来自初中部的概率是．（2022届北京大兴区一模文科）一次考试结束后,随机抽查了某校高三(1)班5名同学的数学与物理成绩如下表:学生数学8991939597物理8789899293(Ⅰ)分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差,并估计该班数学与物理成绩那科更稳定;(Ⅱ)从以上5名同学中选2人参加一项活动,求选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率.:5名学生数学成绩的平均分为:5名学生数学成绩的方差为:5名学生物理成绩的平均分为:5名学生物理成绩的方差为:因为样本的数学成绩方差比物理成绩方差大,所以,估计高三(1)班总体物理成绩比数学成绩稳定.(Ⅱ)设选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分为事件A5名学生中选2人包含基本事件有:共10个.事件A包含基本事件有:共7个.-10-\n所以,5名学生中选2人,选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率为.．（2022届北京西城区一模文科）某商区停车场临时停车按时段收费,收费标准为:每辆汽车一次停车不超过小时收费元,超过小时的部分每小时收费元(不足小时的部分按小时计算).现有甲、乙二人在该商区临时停车,两人停车都不超过小时.(Ⅰ)若甲停车小时以上且不超过小时的概率为,停车付费多于元的概率为,求甲停车付费恰为元的概率;(Ⅱ)若每人停车的时长在每个时段的可能性相同,求甲、乙二人停车付费之和为元的概率.(Ⅰ)解:设“甲临时停车付费恰为元”为事件,则.所以甲临时停车付费恰为元的概率是(Ⅱ)解:设甲停车付费元,乙停车付费元,其中则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为:,共种情形其中,这种情形符合题意故“甲、乙二人停车付费之和为元”的概率为．（2022届房山区一模文科数学）是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.我国标准采用世卫组织设定的最宽限值,即日均值在微克/立方米以下空气质量为一级;在微克/立方米微克/立方米之间空气质量为二级;在微克/立方米以上空气质量为超标.某城市环保局从该市市区年全年每天的监测数据中随机的抽取-10-\n天的数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶).(Ⅰ)若从这天的数据中随机抽出天,求至多有一天空气质量超标的概率;(Ⅱ)根据这天的日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按天计算)中平均有多少天的空气质量达到一级或二级?日均值(微克/立方米)3348179397解:由茎叶图可知:6天有4天空气质量未超标,有2天空气质量超标记未超标的4天为,超标的两天为,则从6天抽取2天的所有情况为:,基本事件总数为15(Ⅰ)记“至多有一天空气质量超标”为事件,则“两天都超标”为事件,易得,所以(Ⅱ)天中空气质量达到一级或二级的频率为,所以估计一年中平均有天的空气质量达到一级或二级(说明:答243天,244天不扣分)．（2022届北京市石景山区一模数学文）（本小题满分13分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．石景山古城地区2022年2月6日至15日每天的PM2.5监测数据如茎叶图所示．（Ⅰ）计算这10天PM2.5数据的平均值并判断其是否超标；（Ⅱ）小陈在此期间的某天曾经来此地旅游，求当天PM2.5日均监测数据未超标的概率;（Ⅲ）小王在此期间也有两天经过此地，这两天此地PM2.5监测数据均未超标.-10-\n请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率．解：（Ⅰ），…………2分64.8在35与75之间，空气质量属于二级，未超标.…………3分（Ⅱ）记“当天PM2.5日均监测数据未超标”为事件A,.…………6分（Ⅲ）由茎叶图知PM2.5数据在之间的有21、26，PM2.5数据在之间的有37、59、60、63，从这六个数据中，任意抽取2个的结果有：(21，37)，(21，59)，(21，60)，(21，63)，(26，37)，(26，59)，(26，60)，(26，63)，(21，26)，(37，59)，(37，60)，(37，63)，(59，60)，(59，63)，(60，63)．共有15个.…………10分记“这两天此地PM2.5监测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级”为事件B,.…………13分-10-
