【走向高考】（全国通用）2022高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题8平面向量一、选择题1．设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝( )A.B.C．2D．10[答案] B[解析] 本题考查向量的模及垂直问题．∵a⊥b，∴a·b＝0，∴x－2＝0，∴x＝2，∴a＋b＝(3，－1)，|a＋b|＝.[方法点拨] 1.平面向量的平行与垂直是高考命题的主要方向之一，此类题常见命题形式是：①考查坐标表示；②与三角函数、三角形、数列、解析几何等结合，解题时直接运用向量有关知识列出表达式，再依据相关知识及运用相关方法加以解决．2．点共线和向量共线，直线平行与向量平行既有联系又有区别．3．注意垂直与平行的坐标表示不要混淆．2．(文)(2022·新课标Ⅱ理，3)设向量a、b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝( )A．1B．2C．3D．5[答案] A[解析] 本题考查平面向量的模，平面向量的数量积．∵|a＋b|＝，|a－b|＝，∴a2＋b2＋2a·b＝10，a2＋b2－2a·b＝6.联立方程解得ab＝1，故选A.(理)设向量a，b满足|a|＝2，a·b＝，|a＋b|＝2，则|b|等于( )A.B．1C.D．2[答案] B[解析] ∵|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝4＋3＋|b|2＝8，∴|b|＝1.3．(文)(2022·四川文，2)设向量a＝(2,4)与向量b＝(x,6)共线，则实数x＝( )13\nA．2B．3C．4D．6[答案] B[解析] 由向量平行的性质，有24＝x6，解得x＝3，选B.[方法点拨] 若a与b都是非零向量λμ≠0，则λa＋μb＝0⇔a与b共线；若a与b不共线，则λa＋μb＝0⇔λ＝μ＝0，a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)共线⇔x1y2－x2y1＝0⇔＝(y1y2≠0)．(理)(2022·新课标Ⅰ文，2)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝( )A．(－7，－4)B．(7,4)C．(－1,4)D．(1,4)[答案] A[解析] 本题主要考查平面向量的线性运算．＝＋＝(－3，－1)＋(－4，－3)＝(－7，－4)．故本题正确答案为A.4．(2022·北京文，6)设a，b是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 考查充分必要条件、向量共线．a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉，由已知得cos〈a，b〉＝1，即〈a，b〉＝0，a∥b.而当a∥b时，〈a，b〉还可能是π，此时a·b＝－|a||b|，故“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件．5．(文)如果不共线向量a、b满足2|a|＝|b|，那么向量2a＋b与2a－b的夹角为( )A. B. C. D.[答案] C[解析] ∵(2a＋b)·(2a－b)＝4|a|2－|b|2＝0，∴(2a＋b)⊥(2a－b)，∴选C.13\n(理)若两个非零向量a、b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角是( )A.B.C.D.[答案] C[解析] 解法1：由条件可知，a·b＝0，|b|＝|a|，则cosθ＝＝＝＝－⇒θ＝.解法2：由向量运算的几何意义，作图可求得a＋b与a－b的夹角为.[方法点拨] 两向量夹角的范围是[0，π]，a·b>0与〈a，b〉为锐角不等价；a·b<0与〈a，b〉为钝角不等价．6．(2022·广东文，9)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·＝( )A．5B．4C．3D．2[答案] A[解析] 考查：1.平面向量的加法运算；2.平面向量数量积的坐标运算．因为四边形ABCD是平行四边形，所以＝＋＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，所以·＝2×3＋1×(－1)＝5，故选A.7．(文)如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么＝( )A.－B.＋C.＋D.－13\n[答案] D[解析] ＝－＝＋－(＋)＝－.(理)已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若＋2＝3，则的值为( )A.B.C.D.[答案] A[解析] ∵＋2＝3，∴－＝3(－)，∴＝3，∴＝2，∴||＝2||，∴＝，故选A.8．(文)(2022·新课标Ⅰ理，10)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则|QF|＝( )A.B.C．3D．2[答案] C[解析] 抛物线的焦点坐标是F(2,0)，过点Q作抛物线的准线的垂线，垂足是A，则|QA|＝|QF|，抛物线的准线与x轴的交点为G，因为＝4，∴＝，由于三角形QAP与三角形FGP相似，所以可得＝＝，所以|QA|＝3，所以|QF|＝3.(理)(2022·中原名校第二次联考)在三角形ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于D，AB＝4，＝＋λ(λ∈R)，则AD的长为( )A．1B.13\nC．3D．3[答案] D[解析] 在AC上取E点，在AB上取F点，使＝，＝λ，∵＝＋λ＝＋，∴DE∥AB，DF∥AC，∴＝＝＝3，∵AF＋BF＝AB＝4，∴BF＝1，AF＝3，在△ADF中，AF＝3，DF＝3，∠DFA＝120°，∴AD＝3.9．(文)(2022·湖南文，10)在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1,0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足||＝1，则|＋＋|的取值范围是( )A．[4,6]B．[－1，＋1]C．[2，2]D．[－1，＋1][答案] D[解析] 考查了向量的坐标运算，圆的有关知识．设D(x，y)，则由||＝1，得(x－3)2＋y2＝1，而|＋＋|＝表示点D(x，y)到点(1，－)的距离，(x－3)2＋y2＝1表示以(3,0)为圆心，1为半径的圆，点(1，－)与点(3,0)的距离为，∴|＋＋|的取值范围为[－1，＋1]．(理)(2022·湖南文，9)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0)，则|P＋P＋P|的最大值为( )A．6B．7C．8D．9[答案] B[解析] 考查直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质．由题根据所给条件不难得到该圆x2＋y2＝1是以AC为直径的圆，然后根据所给条件结合向量的几何关系不难得到|PA―→＋PB―→＋PC―→|＝|2PO―→＋PB―→|，又＝－，∴|＋＋|＝|2＋－|＝|－3|＝＝＝≤7，当且仅当∠POB＝180°时取等号，故最大值为7，选B.13\n10．(文)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E、F分别在边BC、DC上，＝λ，＝μ.若·＝1，·＝－，则λ＋μ＝( )A. B.C.D.[答案] C[解析] ∵＝＋＝＋λ，＝＋＝＋μ，∴·＝(＋λ)·(＋μ)＝·＋λ·＋μ·＋λμ·＝2×2×cos120°＋4λ＋4μ＋λμ(2×2×cos120°)＝－2＋4(λ＋μ)－2λμ＝1，①·＝(1－λ)·(1－μ)＝－2(1－λ)(1－μ)＝－，∴λμ－(λ＋μ)＝－.②解①②组成的方程组得λ＋μ＝.[方法点拨] 1.熟记平面向量的数量积、夹角、模的定义及性质是解答求模与夹角问题的基础．2．充分利用平面向量的几何运算法则、共线向量定理、平面向量数量积的运算法则、平面向量基本定理，探究解题思路是解决平面向量问题的保证．(理)(2022·江西质检)设F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(＋)·＝0，O为坐标原点，且||＝2||，则双曲线的离心率为( )13\nA.B.C．2D.[答案] D[解析] 由(＋)·＝0，得(＋)·(－)＝0，即||2－||2＝0，所以||＝||＝c，所以△PF1F2中，边F1F2上的中线等于|F1F2|的一半，则PF1⊥PF2，即|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，又||＝2|PF2|，解得|PF1|＝c，|PF2|＝c.所以|PF1|－|PF2|＝c＝2a，所以e＝＝.二、填空题11．(文)在边长为1的正三角形ABC中，设＝2，＝3，则·＝________.[答案] －[解析] 如图，令＝a，＝b，＝(a＋b)，＝＋＝(b－a)＋＝b－a，∴·＝·＝a·b－＋－a·b＝－－a·b＝－－×＝－.(理)(2022·天津文，13)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点E和F分别在线段BC和DC上，且＝，＝，则·的值为________．[答案] [解析] 考查平面向量的数量积．如图，O为AB的中点，设A＝a，A＝b，则|a|＝|b|＝1且a·b＝13\n，根据梯形的性质可得D＝A＝a，B＝O＝b－a.所以A＝A＋B＝A＋B＝2a＋(b－a)＝a＋b.A＝A＋D＝A＋D＝a＋b.所以A·A＝·＝a2＋a·b＋b2＝.12．(文)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________.[答案] [解析] 本题考查平面向量数量积的性质及运算．依题意e1·e2＝|e1||e2|cosα＝，∴|a|2＝9e－12e1·e2＋4e＝9，∴|a|＝3，|b|2＝9e－6e1·e2＋e＝8，a·b＝9e－9e1·e2＋2e＝8，∴|b|＝2，cosβ＝＝＝.(理)如图所示，A、B、C是圆O上的三点，线段CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若＝m＋n，则m＋n的取值范围是________．[答案] (－1,0)[解析] 根据题意知，线段CO的延长线与线段BA的延长线的交点为D，则＝t.∵D在圆外，∴t<－1，又D、A、B共线，∴存在λ、μ，使得＝λ＋μ，且λ＋μ＝1，又由已知，＝m＋n，∴tm＋tn＝λ＋μ，13\n∴m＋n＝，故m＋n∈(－1,0)．13．(2022·安徽文，15)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①a为单位向量；②b为单位向量；③a⊥b;④b∥；⑤(4a＋b)⊥.[答案] ①④⑤[解析] 考查1.平面向量的基本概念；2.平面向量的性质．∵等边三角形ABC的边长为2，AB―→＝2a，∴|AB―→|＝2|a|＝2⇒|a|＝1，故①正确；∵AC―→＝AB―→＋BC―→＝2a＋BC―→，∴BC―→＝b⇒|b|＝2，故②错误，④正确；由于AB―→＝2a，BC―→＝b⇒a与b夹角为120°，故③错误；又∵(4a＋b)·BC―→＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×1×2×(－)＋4＝0，∴(4a＋b)⊥BC―→，故⑤正确，因此，正确的编号是①④⑤.14．(文)如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设＝a，＝b，若＝2，则＝________(用向量a和b表示)．[答案] a＋b[解析] 据题意可得＝＋＝＋＝a＋b，又由＝2，可得＝＝(a＋b)＝a＋b.(理)已知O为坐标原点，点M(3,2)，若N(x，y)满足不等式组则·的最大值为________．[答案] 12[解析] 据不等式组得可行域如图所示：13\n由于z＝·＝3x＋2y，结合图形进行平移可得点A(4,0)为目标函数取得最大值的最优解．即zmax＝3×4＋2×0＝12.三、解答题15．(文)已知向量a＝(cosθ，sinθ)，θ∈[0，π]，向量b＝(，－1)．(1)若a⊥b，求θ的值；(2)若|2a－b|<m恒成立，求实数m的取值范围．[解析] (1)∵a⊥b，∴cosθ－sinθ＝0，得tanθ＝.又θ∈[0，π]，∴θ＝.(2)∵2a－b＝(2cosθ－，2sinθ＋1)，∴|2a－b|2＝(2cosθ－)2＋(2sinθ＋1)2＝8＋8(sinθ－cosθ)＝8＋8sin(θ－)．又θ∈[0，π]，∴θ－∈[－，]，∴sin(θ－)∈[－，1]，∴|2a－b|2的最大值为16，∴|2a－b|的最大值为4.又|2a－b|<m恒成立，∴m>4.(理)在△ABC中，角A、B、C所对的对边长分别为a、b、c.(1)设向量x＝(sinB，sinC)，向量y＝(cosB，cosC)，向量z＝(cosB，－cosC)，若z∥(x＋y)，求tanB＋tanC的值；(2)若sinAcosC＋3cosAsinC＝0，证明：a2－c2＝2b2.[解析] (1)x＋y＝(sinB＋cosB，sinC＋cosC)，∵z∥(x＋y)，∴cosB(sinC＋cosC)＋cosC(sinB＋cosB)＝0，整理得tanC＋tanB＋2＝0，∴tanC＋tanB＝－2.(2)证明：∵sinAcosC＋3cosAsinC＝0，13\n∴由正、余弦定理得：a·＋3××c＝0，∴a2－c2＝2b2.16．(文)已知向量a＝(sin，)，b＝(cos，－)(ω>0，x≥0)，函数f(x)＝a·b的第n(n∈N*)个零点记作xn(从左向右依次计数)，则所有xn组成数列{xn}．(1)若ω＝，求x2；(2)若函数f(x)的最小正周期为π，求数列{xn}的前100项和S100.[解析] f(x)＝a·b＝sincos－＝sinωx－.(1)当ω＝时，f(x)＝sin(x)－，令f(x)＝0，得x＝4kπ＋或x＝4kπ＋(k∈Z，x≥0)，取k＝0，得x2＝.(2)因为f(x)最小正周期为π，则ω＝2，故f(x)＝sin2x－，令f(x)＝0得x＝kπ＋或x＝kπ＋(k∈Z，x≥0)，所以S100＝(kπ＋)＋(kπ＋)]＝(2kπ＋)＝2π(0＋1＋2＋…＋49)＋50×＝50×49π＋25π＝2475π.[方法点拨] 1.不含坐标的向量综合问题，解答时，按向量有关概念、性质、法则等通过运算解决，若条件方便建立坐标系，则建立坐标系用坐标运算解决，给出坐标的向量综合问题，直接按向量各概念、法则的坐标表示将向量问题转化为代数问题处理．2．向量与其他知识交汇的题目，先按向量的概念、性质、法则脱去向量外衣，转化为相应的三角、数列、不等式、函数、解析几何等问题，再按相应的知识选取解答方法．(理)(2022·太原市一模)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是点F1、F2，其离心率e＝，点P为椭圆上的一个动点，△PF1F2内切圆面积的最大值为.(1)求a，b的值；(2)若A、B、C、D是椭圆上不重合的四个点，且满足∥，∥，·13\n＝0，求||＋||的取值范围．[解析] (1)由题意得，当点P是椭圆的上、下顶点时，△PF1F2内切圆面积取最大值，设△PF1F2内切圆半径为r，则πr2＝，r＝，此时S△PF1F2＝·|F1F2|·|OP|＝bc，又∵S△PF1F2＝·(|F1F2|＋|F1P|＋|F2P|)·r＝(a＋c)，∴bc＝(a＋c)，∵e＝＝，∴a＝2c，∴b＝2，a＝4.(2)∵∥，∥，·＝0，∴直线AC与BD垂直相交于点F1，由(1)得椭圆的方程为＋＝1，则F1的坐标为(－2,0)，①当直线AC与BD中有一条直线斜率不存在时，易得||＋||＝6＋8＝14，②当直线AC斜率k存在且k≠0时，则其方程为y＝k(x＋2)，设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则点A，C的坐标是方程组的两组解．∴(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－48＝0.∴∴||＝|x1－x2|＝.此时直线BD的方程为y＝－(x＋2)．同理，由可得||＝.∴||＋||＝＋＝.令t＝k2＋1(k≠0)，则t>1，∴||＋||＝，∵t>1，∴0<≤，∴||＋||∈，13\n由①②可知，||＋||的取值范围是.13
