【创新设计】（全国通用）2022高考数学二轮复习专题几何证明选讲训练文（选修4-1）1.(2022·陕西卷)如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C.(1)证明：∠CBD＝∠DBA；(2)若AD＝3DC，BC＝，求⊙O的直径.(1)证明 因为DE为⊙O直径，则∠BED＋∠EDB＝90°，又BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90°，从而∠CBD＝∠BED，又AB切⊙O于点B，得∠DBA＝∠BED，所以∠CBD＝∠DBA.(2)解 由(1)知BD平分∠CBA，则＝＝3，又BC＝，从而AB＝3，所以AC＝＝4，所以AD＝3，由切割线定理得AB2＝AD·AE，即AE＝＝6，故DE＝AE－AD＝3，即⊙O直径为3.2.(2022·全国Ⅰ卷)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E.(1)若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；(2)若OA＝CE，求∠ACB的大小.(1)证明 连接AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB.在Rt△AEC中，由已知得，DE＝DC，故∠DEC＝∠DCE.连接OE，则∠OBE＝∠OEB.又∠ACB＋∠ABC＝90°，所以∠DEC＋∠OEB＝90°，故∠OED＝90°，DE是⊙O的切线.(2)解 设CE＝1，AE＝x，由已知得AB＝2，BE＝.由射影定理可得，AE2＝CE·BE，所以x2＝，3\n即x4＋x2－12＝0.可得x＝，所以∠ACB＝60°.3.(2022·全国Ⅱ卷)如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M、N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB、AC分别相切于E、F两点.(1)证明：EF∥BC；(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝2，求四边形EBCF的面积.(1)证明 由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分线.又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AE＝AF，故AD⊥EF.从而EF∥BC.(2)解 由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分线，又EF为⊙O的弦，所以O在AD上.连接OE，OM，则OE⊥AE.由AG等于⊙O的半径得AO＝2OE，所以∠OAE＝30°.因此△ABC和△AEF都是等边三角形.因为AE＝2，所以AO＝4，OE＝2.因为OM＝OE＝2，DM＝MN＝，所以OD＝1.于是AD＝5，AB＝.所以四边形EBCF的面积为××－×(2)2×＝.4.如图所示，⊙O的直径为AB，AD平分∠BAC，AD交⊙O于点D，BC∥DE，且DE交AC的延长线于点E，OE交AD于点F.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若AB＝10，AC＝6，求DF的长.(1)证明 如图所示，连接OD，可得∠ODA＝∠OAD＝∠DAC，所以OD∥AE，又BC⊥AC且BC∥DE，所以DE⊥AC，故DE⊥OD，又OD为半径，所以DE是⊙O的切线.(2)解 过点D作DH⊥AB于H，则有∠DOH＝∠CAB，3\n又AB为⊙O的直径，则∠ACB＝90°，则cos∠DOH＝cos∠CAB＝＝＝.因为OD＝5，所以OH＝3，DH＝4，AD＝4，由角平分线的性质知AE＝AH＝8，又由△AEF∽△DOF可得＝＝，所以DF＝＝.5.如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点.若CF∥AB.证明：(1)CD＝BC；(2)△BCD∽△GBD.证明 (1)如图，因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，连接AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.(2)因为FG∥BC，故GB＝CF.由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD.∴∠BGD＝∠BDG，由BC＝CD知，∠CBD＝∠CDB.又因为∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，故△BCD∽△GBD.3
