第2讲 随机变量及其分布一、选择题1.已知箱子中共有6个球，其中红球、黄球、蓝球各2个.每次从该箱子中取1个球(有放回，每球取到的机会均等)，共取三次.设事件A：“第一次取到的球和第二次取到的球颜色相同”，事件B：“三次取到的球颜色都相同”，则P(B|A)＝( )A.B.C.D.1解析 由题意知P(B|A)＝＝＝.答案 B2.(2022·邯郸模拟)某人射击一次击中目标的概率为，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为( )A.B.C.D.解析 该人3次射击，恰有两次击中目标的概率是P1＝C··，三次全部击中目标的概率是P2＝C·.所以此人至少有两次击中目标的概率是P＝P1＋P2＝C··＋C＝.答案 C3.(2022·南昌模拟)从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X，已知E(X)＝3，则D(X)等于( )A.B.C.D.解析 根据题目条件，每次摸到白球的概率都是p＝，满足二项分布，则有E(X)＝np＝5×＝3，解得m＝2，那么D(X)＝np(1－p)＝5××＝.答案 B4.(2022·全国Ⅰ卷)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )5\nA.0.648B.0.432C.0.36D.0.312解析 该同学通过测试的概率为p＝0.6×0.6＋C×0.4×0.62＝0.648.答案 A二、填空题5.10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________.解析 从10件产品中取4件，共C种取法，取到1件次品的取法为CC种，由古典概型概率计算公式得P＝＝＝.答案 6.(2022·杭州模拟)有三位同学过节日互赠礼物，每人准备一件礼物，先将礼物集中在一个袋子中，每人从中随机抽取一件礼物，设恰好抽到自己准备的礼物的人数为ξ，则ξ的数学期望E(ξ)＝________.解析 ξ的可能取值为0，1，3，P(ξ＝0)＝＝；P(ξ＝1)＝＝；P(ξ＝3)＝＝.E(ξ)＝0×＋1×＋3×＝1.答案 17.(2022·广东卷)已知随机变量X服从二项分布B(n，p)，若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝________.解析 依题可得E(X)＝np＝30，且D(X)＝np(1－p)＝20，解得p＝.答案 8.(2022·衡水中学模拟)位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向右或向左，并且向右移动的概率是.质点P移动5次后，则该点只向右移动了一个单位的概率为________.解析 质点P只能在左、右两个方向上移动，5次移动之后只向右移动了一个单位，所以有两次向左、三次向右移动，故所求事件的概率为P＝C＝.答案 三、解答题5\n9.(2022·唐山模拟)某城市有东西南北四个进入城区主干道的入口，在早高峰时间段，时常发生交通拥堵现象，交警部门统计11月份30天内的拥堵天数.东西南北四个主干道入口的拥堵天数分别是18天，15天，9天，15天.假设每个入口发生拥堵现象互相独立，视频率为概率.(1)求该城市一天中早高峰时间段恰有三个入口发生拥堵的概率；(2)设该城市一天中早高峰时间段发生拥堵的主干道入口个数，求ξ的分布列及数学期望.解 (1)设东西南北四个主干道入口发生拥堵分别为事件A、B、C、D，则P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝，P(D)＝＝，设一天恰有三个入口发生拥堵为事件M，则M＝ABCD＋ABCD＋ABCD＋ABCD，则P(M)＝×××＋×××＋×××＋×××＝＝.(2)ξ的可能取值为0，1，2，4，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝.∴ξ的分布列为：ξ01234PE(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝＝.10.(2022·豫西名校期末)某公司招聘员工，初试设置计算机、礼仪、专业技能、基本素质共四个科目的考试，要求专业技能、基本素质都要合格，且计算机、礼仪至少有一门合格，则能取得参加复试的资格.现有甲、乙、丙三个人报名参加初试，每一个人对这四门考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同(见下表)，且每一门课程是否合格相互独立.科目基本素质专业技能计算机礼仪合格的概率(1)求乙取得参加复试的资格的概率；(2)记ξ表示三个人中取得复试的资格的人数，求ξ的分布列及期望E(ξ)、方差D(ξ).解 (1)记“乙取得参加复试的资格”为事件A，则：P(A)＝×＝，故乙取得参加复试的资格的概率是.(2)据题意，三个人中取得复试的资格的人数ξ的取值分别为0，1，2，3，由题意可知5\nξ～B，P(ξ＝0)＝C＝，P(ξ＝1)＝C＝，P(ξ＝2)＝C＝，P(ξ＝3)＝C＝，ξ的分布列为：ξ0123P∴E(ξ)＝3×＝，D(ξ)＝3××＝.11.(2022·青岛期末)如图为某校语言类专业N名毕业生的综合测评成绩(百分制)频率分布直方图，已知80～90分数段的学员数为21人.(1)求该专业毕业总人数N和90～95分数段内的人数n；(2)现欲将90～95分数段内的n名毕业生分配往甲、乙、丙三所学校，若向学校甲分配两名毕业生，且其中至少有一名男生的概率为，求n名毕业生中男女各几人(男女人数均至少两人)?(3)在(2)的结论下，设随机变量ξ表示n名毕业生中分配往甲学校的3名学生中男生的人数，求ξ的分布列和数学期望.解 (1)80～90分数段的毕业生的频率为p1＝(0.04＋0.03)×5＝0.35，此分数段的学员总数为21人，所以毕业生的总人数为N＝＝60，90～95分数段内人数的频率为p2＝1－(0.01＋0.04＋0.05＋0.04＋0.03＋0.01)×5＝0.1，所以90～95分数段内的人数n＝60×0.1＝6.(2)90～95分数段内共6名毕业生，设其中男生x名，女生为6－x名，设分配往甲校的两名毕业生中至少有一名男毕业生为事件A，则P(A)＝1－＝，解得x＝2或9(舍去)，即6名毕业生中有男生2人，女生4人.(3)ξ表示n名毕业生中分配往甲学校的3名学生中男生的人数，所以ξ的取值可以为0，1，2，5\n当ξ＝0时，P(ξ＝0)＝＝，当ξ＝1时，P(ξ＝1)＝＝，当ξ＝2时，P(ξ＝2)＝＝，所以ξ的分布列为ξ012P所以随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1.5
