第41练 几何证明选讲[题型分析·高考展望] 本讲主要考查相似三角形与射影定理，圆的切线及圆内接四边形的性质与判定定理，圆周角定理及弦切角定理，相交弦、切割线、割线定理等，本部分内容多数涉及圆，并且多是以圆为背景设计的综合性考题，考查逻辑推理能力．试题主要以解答题形式出现，难易程度均为中低档题．常考题型精析题型一 相似三角形及射影定理例1 如图所示，CD垂直平分AB，点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，F、G分别为垂足．求证：AF·AC＝BG·BE. 点评 (1)在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．(2)证题时，作垂线构造直角三角形是解该类问题的常用方法．14\n变式训练1 如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于E，EF⊥BC于F.求证：EF∶DF＝BC∶AC. 题型二 相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理的应用例2 (2022·重庆改编)过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点)，再作割线PBC依次交圆于B，C.若PA＝6，AC＝8，BC＝9，求AB的值． 点评 (1)圆中线段长度成比例的问题，要结合切割线定理、相交弦定理，构造比例关系．(2)利用相似关系求解线段长度要灵活地在三角形中对条件进行转化或等比替换．变式训练2 (2022·天津改编)如图14\n，在圆O中，M，N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N.若CM＝2，MD＝4，CN＝3，求线段NE的长． 题型三 四点共圆的判定例3 如图，已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B＝60°，F在AC上，且AE＝AF.证明：(1)B、D、H、E四点共圆；(2)CE平分∠DEF. 14\n 点评 (1)如果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆；(2)如果四边表的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；(3)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．变式训练3 (2022·湖南)如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：(1)∠MEN＋∠NOM＝180°；(2)FE·FN＝FM·FO. 14\n 高考题型精练1．(2022·重庆改编)如图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA＝6，AE＝9，PC＝3，CE∶ED＝2∶1，求BE的长． 2．(2022·陕西)如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C.(1)证明：∠CBD＝∠DBA；(2)若AD＝3DC，BC＝，求⊙O的直径． 14\n 3.如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P.(1)求证：PM2＝PA·PC；(2)若⊙O的半径为2，OA＝OM，求MN的长． 14\n 4．(2022·课标全国Ⅱ)如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M、N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB、AC分别相切于E、F两点．(1)证明：EF∥BC；(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝2，求四边形EBCF的面积． 5．(2022·课标全国Ⅰ)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．14\n 6.如图所示，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．(1)证明：A，P，O，M四点共圆；(2)求∠OAM＋∠APM的大小． 7．(2022·辽宁)如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连结DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.(1)求证：AB为圆的直径；(2)若AC＝BD，求证：AB＝ED. 14\n 8.如图所示，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A点作直线AP垂直于直线OM，垂足为P.(1)证明：OM·OP＝OA2；(2)N为线段AP上一点，直线NB垂直于直线ON，且交圆O于B点．过B点的切线交直线ON于K.证明：∠OKM＝90°. 14\n答案精析专题9 系列4选讲第41练 几何证明选讲常考题型精析例1 证明 因为CD垂直平分AB，所以△ACD和△BDE均为直角三角形，并且AD＝BD.又因为DF⊥AC，DG⊥BE，所以AF·AC＝AD2，BG·BE＝DB2，因为AD2＝DB2，所以AF·AC＝BG·BE.变式训练1 证明 ∵∠BAC＝90°，且AD⊥BC，∴由射影定理得AC2＝CD·BC，∴＝.①∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD，∴＝.又BE平分∠ABC，且EA⊥AB，EF⊥BC，∴AE＝EF，∴＝.②由①、②得＝，即EF∶DF＝BC∶AC.例2 解 由切割线定理得PA2＝PB·PC＝PB·(PB＋BC)，即62＝PB·(PB＋9)，解得PB＝3(负值舍去)．由弦切角定理知∠PAB＝∠PCA，又∠APB＝∠CPA，故△APB∽△CPA，则＝，即＝，解得AB＝4.变式训练2 解 根据相交弦定理可知，CM·MD＝AM·MB＝AB2＝8，CN·NE＝AN·NB＝AB2＝8，而CN＝3，所以NE＝.例3 证明 (1)在△ABC中，因为∠B＝60°，所以∠BAC＋∠BCA＝120°.因为AD、CE分别是∠BAC、∠DCF的平分线，所以∠HAC＋∠HCA＝60°，故∠AHC＝120°.于是∠EHD＝∠AHC＝120°.所以∠EBD＋∠EHD＝180°，14\n所以B、D、H、E四点共圆．(2)连结BH，则BH为∠ABC的平分线，得∠HBD＝30°.由(1)知B、D、H、E四点共圆，所以∠CED＝∠HBD＝30°.又∠AHE＝∠EBD＝60°，由已知可得EF⊥AD，可得∠CEF＝30°.所以CE平分∠DEF.变式训练3 证明 (1)如图所示，因为M，N分别是弦AB，CD的中点，所以OM⊥AB，ON⊥CD，即∠OME＝90°，∠ENO＝90°，因此∠OME＋∠ENO＝180°，又四边形的内角和等于360°，故∠MEN＋∠NOM＝180°.(2)由(1)知，O，M，E，N四点共圆，故由割线定理即得FE·FN＝FM·FO.高考题型精练1．解 首先由切割线定理得PA2＝PC·PD，因此PD＝＝12，CD＝PD－PC＝9，又CE∶ED＝2∶1，因此CE＝6，ED＝3，再由相交弦定理得AE·EB＝CE·ED，所以BE＝＝＝2.2．(1)证明 因为DE为⊙O直径，则∠BED＋∠EDB＝90°，又BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90°，从而∠CBD＝∠BED，又AB切⊙O于点B，得∠DBA＝∠BED，所以∠CBD＝∠DBA.(2)解 由(1)知BD平分∠CBA，则＝＝3，又BC＝，从而AB＝3，所以AC＝＝4，所以AD＝3，由切割线定理得AB2＝AD·AE，即AE＝＝6，14\n故DE＝AE－AD＝3，即⊙O直径为3.3．(1)证明 连结ON，则ON⊥PN，且△OBN为等腰三角形，则∠OBN＝∠ONB，∵∠PMN＝∠OMB＝90°－∠OBN，∠PNM＝90°－∠ONB，∴∠PMN＝∠PNM，∴PM＝PN.根据切割线定理，有PN2＝PA·PC，∴PM2＝PA·PC.(2)解 OM＝2，在Rt△BOM中，BM＝＝4.延长BO交⊙O于点D，连结DN.由条件易知△BOM∽△BND，于是＝，即＝，∴BN＝6.∴MN＝BN－BM＝6－4＝2.4．(1)证明 由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分线．又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AE＝AF，故AD⊥EF.从而EF∥BC.(2)解 由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分线，又EF为⊙O的弦，所以O在AD上．连接OE，OM，则OE⊥AE.由AG等于⊙O的半径得AO＝2OE，所以∠OAE＝30°.因此△ABC和△AEF都是等边三角形．14\n因为AE＝2，所以AO＝4，OE＝2.因为OM＝OE＝2，DM＝MN＝，所以OD＝1.于是AD＝5，AB＝.所以四边形EBCF的面积为×2×－×(2)2×＝.5．证明 (1)由题设知，A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE，由已知CB＝CE得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)如图，设BC的中点为N，连结MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E，由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．6.(1)证明 连结OP，OM，因为AP与⊙O相切于点P，所以OP⊥AP，因为M是⊙O的弦BC的中点，所以OM⊥BC，于是∠OPA＋∠OMA＝180°.由圆心O在∠PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆．(2)解 由(1)得，A，P，O，M四点共圆，所以∠OAM＝∠OPM，由(1)得OP⊥AP，由圆心O在∠PAC的内部，可知∠OPM＋∠APM＝90°，所以∠OAM＋∠APM＝90°.7．证明 (1)因为PD＝PG，14\n所以∠PDG＝∠PGD.由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA.又由于∠PGD＝∠EGA，故∠DBA＝∠EGA，所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，从而∠BDA＝∠PFA.由于AF⊥EP，所以∠PFA＝90°，于是∠BDA＝90°，故AB是直径．(2)连结BC，DC.由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，从而Rt△BDA≌Rt△ACB.于是∠DAB＝∠CBA.又因为∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB.由于AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角．于是ED为直径．由(1)得ED＝AB.8．证明 (1)因为MA是圆O的切线，所以OA⊥AM.又因为AP⊥OM，在Rt△OAM中，由射影定理知，OA2＝OM·OP.(2)因为BK是圆O的切线，BN⊥OK，同(1)，有OB2＝ON·OK，又OB＝OA，所以OP·OM＝ON·OK，即＝.又∠NOP＝∠MOK，所以△ONP∽△OMK，故∠OKM＝∠OPN＝90°.14
