第40练 归纳推理与类比推理[题型分析·高考展望] 归纳推理与类比推理是新增内容，在高考中，常以选择题、填空题的形式考查.题目难度不大，只要掌握合情推理的基础理论知识和基本方法即可解决.常考题型精析题型一 利用归纳推理求解相关问题例1 (1)(2022·陕西)观察下列等式：1－＝，1－＋－＝＋，1－＋－＋－＝＋＋，…据此规律，第n个等式可为________________________________________________.(2)如图所示，是某小朋友在用火柴拼图时呈现的图形，其中第1个图形用了3根火柴，第2个图形用了9根火柴，第3个图形用了18根火柴，…，则第2014个图形用的火柴根数为( ) A.2012×2015B.2013×2014C.2013×2015D.3021×2015点评 归纳推理的三个特点(1)归纳推理的前提是几个已知的特殊对象，归纳所得到的结论是未知的一般现象，该结论超越了前提所包含的范围；(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否准确，还需要经过逻辑推理和实践检验，因此归纳推理不能作为数学证明的工具；(3)归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助发现问题和提出问题.变式训练1 (2022·陕西)观察分析下表中的数据：9\n多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是_______________________________.题型二 利用类比推理求解相关问题例2 如图所示，在平面上，用一条直线截正方形的一个角，截下的是一个直角三角形，有勾股定理c2＝a2＋b2.空间中的正方体，用一平面去截正方体的一角，截下的是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，若这三个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，截面面积为S，类比平面中的结论有____________________.点评 类比推理的一般步骤(1)定类，即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；(2)推测，即用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；(3)检验，即检验猜想的正确性，要将类比推理运用于简单推理之中，在不断的推理中提高自己的观察、归纳、类比能力.变式训练2 (2022·济南模拟)已知正三角形内切圆的半径是其高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是( )A.正四面体的内切球的半径是其高的B.正四面体的内切球的半径是其高的C.正四面体的内切球的半径是其高的D.正四面体的内切球的半径是其高的高考题型精练9\n1.(2022·西安模拟)我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值a，类比上述结论，边长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值( )A.aB.aC.aD.a2.已知x>0，观察不等式x＋≥2＝2，x＋＝＋＋≥3＝3，…，由此可得一般结论：x＋≥n＋1(n∈N*)，则a的值为( )A.nnB.n2C.3nD.2n3.观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于( )A.28B.76C.123D.1994.(2022·北京)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( )A.2人B.3人C.4人D.5人5.在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝.推广到空间可以得到类似结论，已知正四面体P—ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则等于( )A.B.C.D.6.若数列{an}是等差数列，则数列{bn}(bn＝)也为等差数列.类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为( )9\nA.dn＝B.dn＝C.dn＝D.dn＝7.仔细观察下面○和●的排列规律：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○●……若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________.8.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为＝n2＋n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)＝n2＋n，正方形数N(n,4)＝n2，五边形数N(n,5)＝n2－n，六边形数N(n,6)＝2n2－n…可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝____________.9.两点等分单位圆时，有相应正确关系为sinα＋sin(π＋α)＝0；三点等分单位圆时，有相应正确关系为sinα＋sin(α＋)＋sin(α＋)＝0.由此可以推知：四点等分单位圆时的相应正确关系为________________________.10.观察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10…照此规律，第n个等式可为________.11.观察下列不等式：1＋<，9\n1＋＋<，1＋＋＋<，…照此规律，第五个不等式为________________________________________________.12.当x∈R，|x|<1时，有如下表达式：1＋x＋x2＋…＋xn＋…＝.两边同时积分得：1dx＋xdx＋x2dx＋…＋xndx＋…＝dx，从而得到如下等式：1×＋×()2＋×()3＋…＋×()n+1＋…＝ln2.请根据以上材料所蕴含的数学思想方法计算：C×＋C×()2＋C×()3＋…＋C×()n+1＝________.9\n答案精析第40练 归纳推理与类比推理常考题型精析例1 (1)1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋ (2)D解析 (1)等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n个等式左边有2n项且正负交错，应为1－＋－＋…＋－；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n个有n项，且由前几个的规律不难发现第n个等式右边应为＋＋…＋.(2)由题意，第1个图形需要火柴的根数为3×1；第2个图形需要火柴的根数为3×(1＋2)；第3个图形需要火柴的根数为3×(1＋2＋3)；……由此，可以推出，第n个图形需要火柴的根数为3×(1＋2＋3＋…＋n).所以第2014个图形所需火柴的根数为3×(1＋2＋3＋…＋2014)＝3×＝3021×2015，故选D.变式训练1 F＋V－E＝2解析 观察F，V，E的变化得F＋V－E＝2.例2 S2＝S＋S＋S解析 建立从平面图形到空间图形的类比，在由平面几何的性质类比推理空间立体几何的性质时，注意平面几何中点的性质可类比推理空间几何中线的性质，平面几何中线的性质可类比推理空间几何中面的性质，平面几何中面的性质可类比推理空间几何中体的性质.所以三角形类比空间中的三棱锥，线段的长度类比图形的面积，于是作出猜想：S2＝S＋S＋S.变式训练2 C[设正四面体的每个面的面积是S，高是h，内切球半径为R，由体积分割可得：SR×4＝Sh，所以R＝h.故选C.]高考题型精练1.A[正四面体内任一点与四个面组成四个三棱锥，它们的体积之和为正四面体的体积.设点到四个面的距离分别为h1，h2，h3，h4，每个面的面积为a2，正四面体的体积为a39\n，则有×a2(h1＋h2＋h3＋h4)＝a3，得h1＋h2＋h3＋h4＝a.]2.A[根据已知，续写一个不等式：x＋＝＋＋＋≥4＝4，由此可得a＝nn.故选A.]3.C[观察可得各式的值构成数列1,3,4,7,11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项.继续写出此数列为1,3,4,7,11,18,29,47,76,123，…，第十项为123，即a10＋b10＝123.]4.B[假设满足条件的学生有4位及4位以上，设其中4位同学分别为甲、乙、丙、丁，则4位同学中必有两个人语文成绩一样，且这两个人数学成绩不一样(或4位同学中必有两个数学成绩一样，且这两个人语文成绩不一样)，那么这两个人中一个人的成绩比另一个人好，故满足条件的学生不能超过3人.当有3位学生时，用A，B，C表示“优秀”“合格”“不合格”，则满足题意的有AC，CA，BB，所以最多有3人.]5.C[从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，如图，设正四面体的棱长为a，E为等边三角形ABC的中心，O为内切球与外接球球心.则AE＝a，DE＝a，设OA＝R，OE＝r，则OA2＝AE2＋OE2，即R2＝2＋2，∴R＝a，r＝a，∴正四面体的外接球和内切球的半径之比为3∶1，故正四面体P—ABC的内切球体积V1与外接球体积V2之比等于.]6.D[若{an}是等差数列，则a1＋a2＋…＋an＝na1＋d，∴bn＝a1＋d＝n＋a1－，即{bn}为等差数列；若{cn}是等比数列，则c1·c2·…·cn＝c·q1＋2＋…＋(n－1)＝c·q，9\n∴dn＝＝c1·q，即{dn}为等比数列，故选D.]7.14解析 进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……，则前n组两种圈的总数是f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝，易知f(14)＝119，f(15)＝135，故n＝14.8.1000解析 由N(n,4)＝n2，N(n,6)＝2n2－n，可以推测：当k为偶数时，N(n，k)＝n2＋n，∴N(10,24)＝×100＋×10＝1100－100＝1000.9.sinα＋sin(α＋)＋sin(α＋π)＋sin(α＋)＝0解析 由类比推理可知，四点等分单位圆时，α与α＋π的终边互为反向延长线，α＋与α＋的终边互为反向延长线，如图.10.12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·解析 观察等式左边的式子，每次增加一项，故第n个等式左边有n项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左边的通项为(－1)n＋1n2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为1,3,6,10,15,21，….设此数列为{an}，则a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，…，an－an－1＝n，各式相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n，即an＝1＋2＋3＋…＋n＝.所以第n个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·.11.1＋＋＋＋＋<解析 观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列.9\n∴第五个不等式为1＋＋＋＋＋<.12.[()n＋1－1]解析 设f(x)＝Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cxn＋1，∴f′(x)＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn＝(1＋x)n.∴f＝ʃ0(1＋x)ndx＝0＝n＋1－(1＋0)n＋1＝，即C×＋C×2＋C×3＋…＋C×n＋1＝.9
