第36练 二项式定理的两类重点题型[题型分析·高考展望] 二项式定理的应用，是理科高考的考点之一，考查频率较高，一般为选择题或填空题，题目难度不大，为低、中档题.主要考查两类题型，一是求展开式的指定项，二是求各项和或系数和.只要掌握两类题型的常规解法，该部分题目就能会做.常考题型精析题型一 求展开项例1 (1)(2022·课标全国Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( )A.10B.20C.30D.60(2)(2022·课标全国Ⅰ)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________.(用数字填写答案)点评 应用通项公式要注意四点(1)Tk＋1是展开式中的第k＋1项，而不是第k项；(2)公式中a，b的指数和为n，且a，b不能随便颠倒位置；(3)要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题；(4)对二项式(a－b)n展开式的通项公式要特别注意符号问题.变式训练1 (1)(2022·重庆)5的展开式中x8的系数是________.(用数字作答)(2)使n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为( )A.4B.5C.6D.7题型二 赋值法求系数之和例2 在(2x－3y)10的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和；(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.点评 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋8\nc)m(a、b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可.(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.变式训练2 (1)(2022·课标全国Ⅱ)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝____________.(2)若(1＋2x)2n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2n－1x2n－1＋a2nx2n，则a1＋a3＋…＋a2n－1＝________.高考题型精练1.在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)等于( )A.45B.60C.120D.2102.(2022·陕西)二项式(x＋1)n(n∈N*)的展开式中x2的系数为15，则n等于( )A.4B.5C.6D.73.(2022·安徽)设a≠0，n是大于1的自然数，n的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若点Ai(i，ai)，(i＝0,1,2)的位置如图所示，则a＝________.4.设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m等于( )A.5B.6C.7D.85.设n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系数为( )A.－150B.150C.300D.－3008\n6.设a∈Z，且0≤a<13，若512016＋a能被13整除，则a的值为( )A.0B.1C.11D.127.若(1＋x)(2－x)2015＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2015x2015＋a2016x2016，则a2＋a4＋…＋a2014＋a2016等于( )A.2－22011B.2－22012C.1－22015D.1－220168.设f(x)是6展开式的中间项，若f(x)≤mx在区间上恒成立，则实数m的取值范围是( )A.(－∞，5)B.(－∞，5]C.(5，＋∞)D.[5，＋∞)9.(2022·天津)在6的展开式中，x2的系数为________.10.(2022·山东)若(ax2＋)6的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________.11.已知(1＋2)n的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一项系数的.(1)求展开后所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和；(2)求展开式中的有理项. 8\n12.(2022·广州模拟)已知n.(1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项. 8\n答案精析第36练 二项式定理的两类重点题型常考题型精析例1 (1)C (2)－20解析 (1)方法一 利用二项展开式的通项公式求解.(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.所以x5y2的系数为CC＝30.故选C.方法二 利用组合知识求解.(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CCC＝30.故选C.(2)x2y7＝x·(xy7)，其系数为C，x2y7＝y·(x2y6)，其系数为－C，∴x2y7的系数为C－C＝8－28＝－20.变式训练1 (1) (2)B解析 (1)二项展开式通项为Tk＋1＝C(x3)5－kk＝kCx15－，令15－＝8，解得k＝2，因此x8的系数为2C＝.(2)展开式的通项公式Tk＋1＝C(3x)n－kk，∴Tk＋1＝3n－kCxn－k，k＝0,1,2，…，n.令n－k＝0，n＝k，故最小正整数n＝5.例2 解 设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，(*)各项系数和为a0＋a1＋…＋a10，奇数项系数和为a0＋a2＋…＋a10，偶数项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和.8\n(1)二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝210.(2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(3)奇数项的二项式系数和为C＋C＋…＋C＝29，偶数项的二项式系数和为C＋C＋…＋C＝29.(4)令x＝y＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②①＋②得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，∴奇数项系数和为；①－②得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，∴偶数项系数和为.(5)x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9＝；x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10＝.变式训练2 (1)3 (2)解析 (1)设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，即展开式中x的奇数次幂项的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3.(2)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2n＝32n；①令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2n－1＋a2n＝1.②①－②，可得a1＋a3＋…＋a2n－1＝.高考题型精练1.C[因为f(m，n)＝CC，所以f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝CC＋CC＋CC＋CC＝120.]2.C[由题意易得：C＝15，C＝C＝15，即＝15，解得n＝6.]3.38\n解析 由题意知A0(0,1)，A1(1,3)，A2(2,4).故a0＝1，a1＝3，a2＝4.由n的展开式的通项公式知Tk＋1＝Ck(k＝0,1,2，…，n).故＝3，＝4，解得a＝3.4.B[(x＋y)2m展开式中二项式系数的最大值为C，∴a＝C.同理，b＝C.∵13a＝7b，∴13·C＝7·C.∴13·＝7·.∴m＝6.]5.B[M＝n＝4n，N＝2n⇒4n－2n＝240⇒2n＝16⇒n＝4，Tk＋1＝(－1)kC·54－k·⇒k＝2，则(－1)2C·52＝150.]6.D[512016＋a＝(52－1)2016＋a＝C522016－C522015＋…＋C×52×(－1)2015＋C×(－1)2016＋a.因为52能被13整除，所以只需C×(－1)2016＋a能被13整除，即a＋1能被13整除，因为0≤a<13，所以a＝12.]7.C[采用赋值法，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2015＋a2016＝2，令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2015＋a2016＝0，把两式相加，得2(a0＋a2＋…＋a2016)＝2，所以a0＋a2＋…＋a2016＝1，又令x＝0，得a0＝22015，所以a2＋a4＋…＋a2014＋a2016＝1－22015.故选C.]8.D[由于Tk＋1＝Ckx12－3k，故展开式中间的一项为T3＋1＝C·3·x3＝x3，f(x)≤mx⇔x3≤mx在上恒成立，即m≥x2，又x2≤5，故实数m的取值范围是m≥5.]9.解析 6的展开式的通项Tk＋1＝Cx6－kk＝Ckx6－2k；当6－2k＝2时，k＝2，所以x2的系数为C2＝.10.28\n解析 (ax2＋)6的展开式的通项公式为Tk＋1＝C(ax2)6－k·()k＝Ca6－kbkx12－3k，令12－3k＝3，得k＝3，由Ca6－3b3＝20得ab＝1，所以a2＋b2≥2＝2，故a2＋b2的最小值为2.11.解 根据题意，设该项为第r＋1项，则有即亦即解得(1)令x＝1得展开式中所有项的系数之和为(1＋2)7＝37＝2187.所有项的二项式系数之和为27＝128.(2)展开式的通项为Tk＋1＝C2kx，k≤7且k∈N.于是当k＝0,2,4,6时，对应项为有理项，即有理项为T1＝C20x0＝1，T3＝C22x＝84x，T5＝C24x2＝560x2，T7＝C26x3＝448x3.12.解 (1)因为C＋C＝2C，所以n2－21n＋98＝0，解得n＝7或n＝14.当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.所以T4的系数为C4×23＝，T5的系数为C3×24＝70.当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.所以T8的系数为C727＝3432.(2)因为C＋C＋C＝79，所以n＝12或n＝－13(舍去).设Tk＋1项的系数最大.因为12＝12(1＋4x)12，所以所以9.4≤k≤10.4.又因为0≤k≤12且k∈N，所以k＝10.所以展开式中系数最大的项为T11.T11＝12C410x10＝16896x10.8
