第4练 用好基本不等式[题型分析·高考展望] 基本不等式是解决函数值域、最值、不等式证明、参数范围问题的有效工具，在高考中经常考查，有时也会对其单独考查.题目难度为中等偏上.应用时，要注意“拆、拼、凑”等技巧，特别要注意应用条件，只有具备公式应用的三个条件时，才可应用，否则可能会导致结果错误.常考题型精析题型一 利用基本不等式求最大值、最小值1.利用基本不等式求最值的注意点(1)在运用基本不等式求最值时，必须保证“一正，二定，三相等”，凑出定值是关键.(2)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则就会出错.2.结构调整与应用基本不等式基本不等式在解题时一般不能直接应用，而是需要根据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”，即把研究对象化成适用基本不等式的形式.常见的转化方法有(1)x＋＝x－a＋＋a(x>a).(2)若＋＝1，则mx＋ny＝(mx＋ny)×1＝(mx＋ny)·≥ma＋nb＋2(字母均为正数).例1(1)(2022·山东)定义运算“⊗”：x⊗y＝(x，y∈R，xy≠0)，当x＞0，y＞0时，x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为________.(2)函数y＝的最大值为________.点评 求条件最值问题一般有两种思路：一是利用函数单调性求最值；二是利用基本不等式.在利用基本不等式时往往都需要变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值.等号能够取得.变式训练1 (2022·重庆)设a，b＞0，a＋b＝5，则＋的最大值为________.题型二 基本不等式的综合应用例2 (1)(2022·深圳模拟)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A.60件B.80件10\nC.100件D.120件(2)如图所示，在直角坐标系xOy中，点P(1，)到抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB的中点Q(m，n)在直线OM上.①求曲线C的方程及t的值；②记d＝，求d的最大值. 点评 基本不等式及不等式性质应用十分广泛，在最优化实际问题，平面几何问题，代数式最值等方面都要用到基本不等式，应用时一定要注意检验“三个条件”是否具备.10\n变式训练2 (2022·陕西)设f(x)＝lnx,0＜a＜b，若p＝f()，q＝f，r＝(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是( )A.q＝r＜pB.q＝r＞pC.p＝r＜qD.p＝r＞q高考题型精练1.(2022·重庆)若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是( )A.6＋2B.7＋2C.6＋4D.7＋42.(2022·济南模拟)已知x>1，y>1，且lnx，，lny成等比数列，则xy( )A.有最大值eB.有最大值C.有最小值eD.有最小值3.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则( )A.a<v<B.v＝C.<v<D.v＝4.若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于( )A.1＋B.1＋C.3D.45.(2022·兰州模拟)一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2，则＋的最小值为( )A.B.C.D.6.(2022·北京海淀区模拟)已知a>0，b>0，若不等式－－≤0恒成立，则m的最大值为( )A.4B.16C.9D.37.已知m＝a＋(a>2)，n＝x－2(x≥)，则m与n之间的大小关系为________.10\n8.已知x，y∈(0，＋∞)，2x－3＝y，若＋(m>0)的最小值为3，则m的值为________.9.(2022·天津)已知a＞0，b＞0，ab＝8，则当a的值为________时，log2a·log2(2b)取得最大值.10.(2022·湖北)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)，平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝.(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/时；(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时.11.(1)已知0<x<，求y＝2x－5x2的最大值；(2)求函数y＝(x>－1)的最小值. 12.如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k>0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.10\n(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由. 答案精析第4练 用好基本不等式常考题型精析例1(1) (2)解析 (1)由题意，得x⊗y＋(2y)⊗x＝＋＝≥＝，当且仅当x＝y时取等号.(2)令t＝≥0，则x＝t2＋1，所以y＝＝.当t＝0，即x＝1时，y＝0；当t>0，即x>1时，y＝，因为t＋≥2＝4(当且仅当t＝2时取等号)，10\n所以y＝≤，即y的最大值为(当t＝2，即x＝5时y取得最大值).变式训练1 3[∵a，b＞0，a＋b＝5，∴(＋)2＝a＋b＋4＋2≤a＋b＋4＋()2＋()2＝a＋b＋4＋a＋b＋4＝18，当且仅当a＝，b＝时，等号成立，则＋≤3，即＋最大值为3.]例2 (1)B[平均每件产品的费用为y＝＝＋≥2＝20，当且仅当＝，即x＝80时取等号.所以每批应生产产品80件，才能使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小.](2)解 ①y2＝2px(p>0)的准线x＝－，∴1－(－)＝，p＝，∴抛物线C的方程为y2＝x.又点M(t,1)在曲线C上，∴t＝1.②由①知，点M(1,1)，从而n＝m，即点Q(m，m)，依题意，直线AB的斜率存在，且不为0，设直线AB的斜率为k(k≠0).且A(x1，y1)，B(x2.y2)，由得(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2，故k·2m＝1，∴直线AB的方程为y－m＝(x－m)，即x－2my＋2m2－m＝0.由消去x，整理得y2－2my＋2m2－m＝0，∴Δ＝4m－4m2>0，y1＋y2＝2m，y1y2＝2m2－m.从而|AB|＝·|y1－y2|＝·10\n＝2∴d＝＝2≤m＋(1－m)＝1，当且仅当m＝1－m，即m＝时，上式等号成立，又m＝满足Δ＝4m－4m2>0.∴d的最大值为1.变式训练2 C[∵0＜a＜b，∴＞，又∵f(x)＝lnx在(0，＋∞)上为增函数，故f＞f()，即q＞p.又r＝(f(a)＋f(b))＝(lna＋lnb)＝lna＋lnb＝ln(ab)＝f()＝p.故p＝r＜q.选C.]高考题型精练1.D[由题意得所以又log4(3a＋4b)＝log2，所以log4(3a＋4b)＝log4ab，所以3a＋4b＝ab，故＋＝1.所以a＋b＝(a＋b)(＋)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，当且仅当＝时取等号.故选D.]2.C[∵x>1，y>1，且lnx，，lny成等比数列，∴lnx·lny＝≤2，∴lnx＋lny＝lnxy≥1⇒xy≥e.]3.A[设甲、乙两地相距s，则小王往返两地用时为＋，从而v＝＝.10\n∵0<a<b，∴<，>＝a，∴<，即<，∴a<v<.]4.C[f(x)＝x＋＝x－2＋＋2.∵x>2，∴x－2>0.∴f(x)＝x－2＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝，即x＝3时，“＝”成立.又f(x)在x＝a处取最小值.∴a＝3.]5.D[由已知得，3a＋2b＋0×c＝2，即3a＋2b＝2，其中0<a<，0<b<1.又＋＝＝3＋＋＋≥＋2＝，当且仅当＝，即a＝2b时取“等号”，又3a＋2b＝2，即当a＝，b＝时，＋的最小值为，故选D.]6.B[因为a>0，b>0，所以由－－≤0恒成立得m≤(＋)(3a＋b)＝10＋＋恒成立.因为＋≥2＝6，当且仅当a＝b时等号成立，所以10＋＋≥16，所以m≤16，即m的最大值为16，故选B.]7.m≥n[m＝a＋＝(a－2)＋＋2≥4(a>2)，当且仅当a＝3时，等号成立.由x≥得x2≥，∴n＝x－2＝≤4即n∈(0,4]，∴m≥n.)8.4解析 由2x－3＝y得x＋y＝3，10\n则＋＝(x＋y)·＝≥(1＋m＋2)，∴(1＋m＋2)＝3，即(＋1)2＝9，解得m＝4.9.4解析 log2a·log2(2b)＝log2a·(1＋log2b)≤2＝2＝2＝4，当且仅当log2a＝1＋log2b，即a＝2b时，等号成立，此时a＝4，b＝2.10.(1)1900 (2)100解析 (1)当l＝6.05时，F＝＝≤＝＝1900.当且仅当v＝11米/秒时等号成立，此时车流量最大为1900辆/时.(2)当l＝5时，F＝＝≤＝＝2000.当且仅当v＝10米/秒时等号成立，此时车流量最大为2000辆/时.比(1)中的最大车流量增加100辆/时.11.解 (1)y＝2x－5x2＝x(2－5x)＝·5x·(2－5x).∵0<x<，∴0<5x<2,2－5x>0，∴5x(2－5x)≤()2＝1，∴y≤，当且仅当5x＝2－5x，即x＝时，ymax＝.(2)设x＋1＝t，则x＝t－1(t>0)，∴y＝＝t＋＋5≥2＋5＝9.10\n当且仅当t＝，即t＝2，且此时x＝1时，取等号，∴ymin＝9.12.解 (1)令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0，由实际意义和题设条件知x>0，k>0，故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号.所以炮的最大射程为10千米.(2)因为a>0，所以炮弹可击中目标⇔存在k>0，使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0⇔a≤6.所以当a不超过6千米时，可击中目标.10
