第1练 小集合，大功能[题型分析·高考展望] 集合是高考每年必考内容，题型基本都是选择题、填空题，题目难度大多数为最低档，有时候在填空题中以创新题型出现，难度稍高．在二轮复习中，本部分应该重点掌握集合的表示、集合的性质、集合的运算及集合关系在常用逻辑用语、函数、不等式、三角函数、解析几何等方面的应用．同时注意研究有关集合的创新问题，研究问题的切入点及集合知识在相关问题中所起的作用．常考题型精析题型一 单独命题独立考查常用的运算性质及重要结论：(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A；(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A；(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U；(4)A∩B＝A⇔A⊆B⇔A∪B＝B.例1 (1)(2022·山东)已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2<x<4}，则A∩B等于( )A．(1,3)B．(1,4)C．(2,3)D．(2,4)(2)(2022·湖北)设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(3)已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.答案 (1)C (2)C (3)4解析 (1)∵A＝{x|x2－4x＋3＜0}＝{x|(x－1)(x－3)}＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2＜x＜4}，∴A∩B＝{x|2＜x＜3}＝(2,3)．(2)若存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC，则可以推出A∩B＝∅；若A∩B＝∅，由Venn图(如图)可知，存在A＝C，同时满足A⊆C，B⊆∁UC.8\n故“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的充要条件．(3)由log2x≤2，得0<x≤4，即A＝{x|0<x≤4}，而B＝(－∞，a)，由于A⊆B，如图所示，则a>4，即c＝4.点评 (1)弄清集合中所含元素的性质是集合运算的关键，这主要看代表元素，即“|”前面的表述．(2)当集合之间的关系不易确定时，可借助Venn图或列举实例．变式训练1 (1)(2022·浙江)已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1＜x≤2}，则(∁RP)∩Q等于( )A．[0,1)B．(0,2]C．(1,2)D．[1,2]答案 C解析 ∵P＝{x|x≥2或x≤0}，∁RP＝{x|0＜x＜2}，∴(∁RP)∩Q＝{x|1＜x＜2}，故选C.(2)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|0≤ax＋1≤3}．若A∪B＝B，求实数a的取值范围．解 ∵A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，又∵B＝{x|0≤ax＋1≤3}＝{x|－1≤ax≤2}，∵A∪B＝B，∴A⊆B.①当a＝0时，B＝R，满足题意．②当a>0时，B＝{x|－≤x≤}，∵A⊆B，∴≥2，解得0<a≤1.③当a<0时，B＝{x|≤x≤－}，∵A⊆B，∴－≥2，解得－≤a<0.综上，实数a的取值范围为.题型二 集合与其他知识的综合考查集合常与不等式、向量、解析几何等知识综合考查．8\n集合运算的常用方法：(1)若已知集合是不等式的解集，用数轴求解；(2)若已知集合是点集，用数形结合法求解；(3)若已知集合是抽象集合，用Venn图求解．例2 (2022·安徽)在平面直角坐标系xOy中，已知向量a，b，|a|＝|b|＝1，a·b＝0，点Q满足＝(a＋b)．曲线C＝{P|＝acosθ＋bsinθ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P|0<r≤||≤R，r<R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则( )A．1<r<R<3B．1<r<3≤RC．r≤1<R<3D．1<r<3<R答案 A解析 ∵|a|＝|b|＝1，a·b＝0，又∵＝(a＋b)，∴||2＝2(a＋b)2＝2(a2＋b2＋2a·b)＝4，∴点Q在以原点为圆心，半径为2的圆上．又＝acosθ＋bsinθ，∴||2＝a2cos2θ＋b2sin2θ＝cos2θ＋sin2θ＝1.∴曲线C为单位圆．又∵Ω＝{P|0<r≤||≤R，r<R}，要使C∩Ω为两段分离的曲线，如图，可知1<r<R<3，其中图中两段分离的曲线是指与.故选A.点评 以集合为载体的问题，一定要弄清集合中的元素是什么，范围如何．对于点集，一般利用数形结合，画出图形，更便于直观形象地展示集合之间的关系，使复杂问题简单化．变式训练2 (2022·天津)已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0,1,2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1，xi∈M，i＝1,2，…，n}．(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A；(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，其中ai，bi∈M，i＝1,2，…，n.8\n证明：若an<bn，则s<t.(1)解 当q＝2，n＝3时，M＝{0,1}，A＝{x|x＝x1＋x2·2＋x3·22，xi∈M，i＝1,2,3}，可得，A＝{0,1,2,3,4,5,6,7}．(2)证明 由s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，ai，bi∈M，i＝1,2，…，n及an<bn，可得s－t＝(a1－b1)＋(a2－b2)q＋…＋(an－1－bn－1)qn－2＋(an－bn)qn－1≤(q－1)＋(q－1)q＋…＋(q－1)qn－2－qn－1＝－qn－1＝－1<0.所以s<t.题型三 与集合有关的创新问题与集合有关的创新题目，主要以新定义的形式呈现，考查对集合含义的深层次理解．在新定义下求集合中的元素、确定元素个数、确定两集合的关系等．例3 (2022·湖北)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合AB＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则AB中元素的个数为( )A．77B．49C．45D．30答案 C解析 如图，集合A表示如图所示的所有圆点“”，集合B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”，集合AB显然是集合{(x，y)||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四个点{(－3，－3)，(－3,3)，(3，－3)，(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合AB表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”＋所有圆点“”，共45个．故AB中元素的个数为45.故选C.点评 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．变式训练3 在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z，k＝0,1,2,3,4}．给出如下四个结论：①2016∈[1]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；8\n④“整数a，b属于同一类”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中，正确结论的个数是( )A．1B．2C．3D．4答案 C解析 对于①：2016＝5×403＋1，∴2016∈[1]，故①正确；对于②：－3＝5×(－1)＋2，∴－3∈[2]，故②不正确；对于③：∵整数集Z被5除，所得余数共分为五类．∴Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故③正确；对于④：若整数a，b属于同一类，则a＝5n1＋k，b＝5n2＋k，∴a－b＝5n1＋k－(5n2＋k)＝5(n1－n2)＝5n，∴a－b∈[0]，若a－b＝[0]，则a－b＝5n，即a＝b＋5n，故a与b被5除的余数为同一个数，∴a与b属于同一类，所以“整数a，b属于同一类”的充要条件是“a－b∈[0]”，故④正确，∴正确结论的个数是3.高考题型精练1．(2022·天津)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩(∁UB)等于( )A．{2,5}B．{3,6}C．{2,5,6}D．{2,3,5,6,8}答案 A解析 由题意知，∁UB＝{2,5,8}，则A∩(∁UB)＝{2,5}，选A.2．(2022·安徽)“x<0”是“ln(x＋1)<0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析 ∵ln(x＋1)<0，∴0<x＋1<1，∴－1<x<0.∵x<0是－1<x<0的必要不充分条件，故选B.3．(2022·陕西)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lgx≤0}，则M∪N等于( )A．[0,1]B．(0,1]C．[0,1)D．(－∞，1]答案 A解析 由题意得M＝{0,1}，N＝(0,1]，故M∪N＝[0,1]，故选A.4．(2022·山东)设集合A＝{x||x－1|<2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0,2]}，则A∩B等于( )8\nA．[0,2]B．(1,3)C．[1,3)D．(1,4)答案 C解析 由|x－1|<2，解得－1<x<3，由y＝2x，x∈[0,2]，解得1≤y≤4，∴A∩B＝(－1,3)∩[1,4]＝[1,3)．5．设常数a∈R，集合A＝{x|(x－1)(x－a)≥0}，B＝{x|x≥a－1}，若A∪B＝R，则a的取值范围为( )A．(－∞，2)B．(－∞，2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)答案 B解析 方法一 代值法、排除法．当a＝1时，A＝R，符合题意；当a＝2时，因为B＝[1，＋∞)，A＝(－∞，1]∪[2，＋∞)．所以A∪B＝R，符合题意．综上，选B.方法二 因为B＝[a－1，＋∞)，A∪B＝R，所以A⊇(－∞，a－1)，又(x－1)(x－a)≥0.所以当a＝1时，x∈R，符合题意；当a>1时，A＝(－∞，1]∪[a，＋∞)，1≥a－1，解得1<a≤2；当a<1时，A＝(－∞，a]∪[1，＋∞)，a≥a－1，∴a<1.综上，a≤2.6．设集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )A．1B．3C．5D．9答案 C解析 x－y的取值分别为－2，－1,0,1,2.7．已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩(∁IM)＝∅，则M∪N等于( )A．MB．NC．ID．∅答案 A解析 如图，因为N∩(∁IM)＝∅，所以N⊆M，所以M∪N＝M.8\n8．在R上定义运算⊗：x⊗y＝，若关于x的不等式(x－a)⊗(x＋1－a)>0的解集是集合{x|－2≤x≤2}的子集，则实数a的取值范围是( )A．－2≤a≤2B．－1≤a≤1C．－2≤a≤1D．1≤a≤2答案 C解析 因为(x－a)⊗(x＋1－a)>0，所以>0，即a<x<a＋1，则a≥－2且a＋1≤2，即－2≤a≤1.9．已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是( )A．(0,1]B．[1，＋∞)C．(0,1)D．(1，＋∞)答案 B解析 A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0,1)，B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c)，因为A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1.应选B.10．已知a，b均为实数，设集合A＝{x|a≤x≤a＋}，B＝{x|b－≤x≤b}，且A、B都是集合{x|0≤x≤1}的子集．如果把n－m叫做集合{x|m≤x≤n}的“长度”，那么集合A∩B的“长度”的最小值是________．答案 解析 ∵，∴0≤a≤，∵∴≤b≤1，利用数轴分类讨论可得集合A∩B的“长度”的最小值为－＝.11．对任意两个集合M、N，定义：M－N＝{x|x∈M，且x∉N}，M*N＝(M－N)∪(N－M)，设M＝{y|y＝x2，x∈R}，N＝{y|y＝3sinx，x∈R}，则M*N＝__________.答案 {y|y>3或－3≤y<0}解析 ∵M＝{y|y＝x2，x∈R}＝{y|y≥0}，N＝{y|y＝3sinx，x∈R}＝{y|－3≤y≤3}，∴M－N＝{y|y>3}，N－M＝{y|－3≤y<0}，∴M*N＝(M－N)∪(N－M)＝{y|y>3}∪{y|－3≤y<0}＝{y|y>3或－3≤y<0}．8\n12．已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，集合B＝{y|y＝x2－2x＋a}，集合C＝{x|x2－ax－4≤0}．命题p：A∩B≠∅；命题q：A⊆C.(1)若命题p为假命题，求实数a的取值范围；(2)若命题p∧q为真命题，求实数a的取值范围．解 (1)A＝[1,2]，B＝[a－1，＋∞)，若p为假命题，则A∩B＝∅，故a－1>2，即a>3.(2)命题p为真，则a≤3.命题q为真，即转化为当x∈[1,2]时，f(x)＝x2－ax－4≤0恒成立，方法一 解得a≥0.方法二 当x∈[1,2]时，a≥x－恒成立，而x－在[1,2]上单调递增，故a≥max＝0.故实数a的取值范围是[0,3]．8
