第4讲 推理与证明1．(2022·湖北)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合AB＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则AB中元素的个数为( )A．77B．49C．45D．302．(2022·北京)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( )A．2人B．3人C．4人D．5人3．(2022·山东)观察下列各式：C＝40；C＋C＝41;C＋C＋C＝42；C＋C＋C＋C＝43；……照此规律，当n∈N*时，C＋C＋C＋…＋C＝________.4．(2022·福建)一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…xn(n∈N*)，其中xk(k＝1,2，…，n)称为第k位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：其中运算定义为00＝0,01＝1,10＝1,11＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于________．20\n1.以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小题形式出现.2.直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式等综合命题.热点一 归纳推理(1)归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．(2)归纳推理的思维过程如下：→→例1 (1)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为＝n2＋n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数 N(n,3)＝n2＋n，正方形数N(n,4)＝n2，五边形数N(n,5)＝n2－n，六边形数N(n,6)＝2n2－n……可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝____________.(2)已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，经计算得f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，则有______________________．思维升华 归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用．其思维模式是“观察—归纳—猜想—证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想．跟踪演练1 (1)有菱形纹的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )20\nA．26B．31C．32D．36(2)两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是( )A．48,49B．62,63C．75,76D．84,85热点二 类比推理(1)类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．(2)类比推理的思维过程如下：→→例2 (1)在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABCD的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝________.(2)(2022·日照高三第一次模拟考试)已知双曲正弦函数shx＝和双曲余弦函数chx＝与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质，请类比正弦函数和余弦函数的和角或差角公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个类似的正确结论______________________．思维升华 类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是两类事物之间的相似性，有共同要素是产生类比迁移的客观因素，类比可以由概念性质上的相似性引起，如等差数列与等比数列的类比，也可以由解题方法上的类似引起．当然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的类比．跟踪演练2 (1)若数列{an}是等差数列，bn＝，则数列{bn}也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为( )20\nA．dn＝B．dn＝C．dn＝D．dn＝(2)若点P0(x0，y0)在椭圆＋＝1(a>b>0)外，过点P0作该椭圆的两条切线，切点分别为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程为＋＝1.那么对于双曲线－＝1(a>0，b>0)，类似地，可以得到切点弦所在直线的方程为____________________．热点三 直接证明和间接证明直接证明的常用方法有综合法和分析法，综合法由因导果，而分析法则是执果索因，反证法是反设结论导出矛盾的证明方法．例3 已知数列{an}满足：a1＝，＝，anan＋1<0(n≥1)；数列{bn}满足：bn＝a－a(n≥1)．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)证明：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列． 思维升华 (1)有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可．(2)综合法和分析法是直接证明常用的两种方法，我们常用分析法寻找解决问题的突破口，然后用综合法来写出证明过程，有时候，分析法和综合法交替使用．20\n跟踪演练3 (1)已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：＋＝；(2)已知f(x)＝ax＋(a>1)，证明：方程f(x)＝0没有负根． 热点四 数学归纳法数学归纳法证明的步骤(1)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时结论成立．(2)假设n＝k(k∈N*，且k≥n0)时结论成立，证明n＝k＋1时结论也成立．由(1)(2)可知，对任意n≥n0，且n∈N*时，结论都成立．例4 已知f(n)＝1＋＋＋＋…＋，g(n)＝－，n∈N*.(1)当n＝1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小；(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明． 20\n 思维升华 用数学归纳法证明与正整数有关的等式命题时，关键在于弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．难点在于寻求等式在n＝k和n＝k＋1时的联系．跟踪演练4 设a>0，f(x)＝，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N*.(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论． 1．把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设aij(i，j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a42＝8.若aij＝2011，则i与j的和为________．20\n2．已知下列不等式：x＋≥2，x＋≥3，x＋≥4，…，则第n个不等式为________________．3．设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，证明：数列{Sn}不是等比数列． 提醒：完成作业 专题四 第4讲20\n二轮专题强化练专题四第4讲 推理与证明A组 专题通关1．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于( )A．28B．76C．123D．1992．观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为( )A．76B．80C．86D．923．(2022·合肥模拟)正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理( )A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确4．下列推理是归纳推理的是( )A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，则P点的轨迹为椭圆B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆＋＝1的面积S＝πabD．以上均不正确5．已知函数f(x)是R上的单调增函数且为奇函数，数列{an}是等差数列，a3>0，则f(a1)＋f(a3)＋f(a5)的值( )A．恒为正数B．恒为负数C．恒为0D．可正可负20\n6．(2022·山东)定义运算“⊗”：x⊗y＝(x，y∈R，xy≠0)，当x＞0，y＞0时，x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为________．7．平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为________．8．如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有≤f()．若y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是________．9．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．10．已知a，b，m为非零实数，且a2＋b2＋2－m＝0，＋＋1－2m＝0.(1)求证：＋≥；(2)求证：m≥.B组 能力提高20\n11．(2022·西安五校联考)已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是( )A．(7,5)B．(5,7)C．(2,10)D．(10,1)12．对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23，33，43，….仿此，若m3的“分裂数”中有一个是59，则m的值为________．13．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按下图所标边长，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O—LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么类比得到的结论是_______________________________．14．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数．(1)试给出f(4)，f(5)的值，并求f(n)的表达式(不要求证明)；(2)证明：＋＋＋…＋<.学生用书答案精析第4讲 推理与证明高考真题体验1．C [如图，集合A表示如图所示的所有圆点“”，集合B表示如图所示的所有圆点“20\n”＋所有圆点“”，集合AB显然是集合{(x，y)||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四个点{(－3，－3)，(－3,3)，(3，－3)，(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合AB表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”＋所有圆点“”，共45个．故AB中元素的个数为45.故选C.]2．B [假设满足条件的学生有4位及4位以上，设其中4位同学分别为甲、乙、丙、丁，则4位同学中必有两个人语文成绩一样，且这两个人数学成绩不一样(或4位同学中必有两个数学成绩一样，且这两个人语文成绩不一样)，那么这两个人中一个人的成绩比另一个人好，故满足条件的学生不能超过3人．当有3位学生时，用A，B，C表示“优秀”“合格”“不合格”，则满足题意的有AC，CA，BB，所以最多有3人．]3．4n－1解析 观察每行等式的特点，每行等式的右端都是幂的形式，底数均为4，指数与等式左端最后一个组合数的上标相等，故有C＋C＋C＋…＋C＝4n－1.4．5解析 (ⅰ)x4x5x6x7＝1101＝1，(ⅱ)x2x3x6x7＝1001＝0；(ⅲ)x1x3x5x7＝1011＝1.由(ⅰ)(ⅲ)知x5，x7有一个错误，(ⅱ)中没有错误，∴x5错误，故k等于5.热点分类突破例1 (1)1000 (2)f(2n)>(n≥2，n∈N*)解析 (1)由N(n,4)＝n2，N(n,6)＝2n2－n，可以推测：当k为偶数时，N(n，k)＝n2＋n，∴N(10,24)＝×100＋×10＝1100－100＝1000.(2)由题意得f(22)>，f(23)>，20\nf(24)>，f(25)>，所以当n≥2时，有f(2n)>.故填f(2n)>(n≥2，n∈N*)．跟踪演练1 (1)B (2)D解析 (1)有菱形纹的正六边形个数如下表：图案123…个数61116…由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.故选B.(2)由已知图形中座位的排列顺序，可得：被5除余1的数和能被5整除的座位号临窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号，只有D符合条件．例2 (1)(2)ch(x－y)＝chxchy－shxshy解析 (1)平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成正比，而在空间几何中，球的体积与半径的立方成正比，所以＝.(2)chxchy－shxshy＝·－·＝(ex＋y＋ex－y＋e－x＋y＋e－x－y－ex＋y＋ex－y＋e－x＋y－e－x－y)＝(2ex－y＋2e－(x－y))＝＝ch(x－y)，故知ch(x＋y)＝chxchy＋shxshy，或sh(x－y)＝shxchy－chxshy，或sh(x＋y)＝shxchy＋chxshy.跟踪演练2 (1)D (2)－＝1解析 (1)由{an}为等差数列，设公差为d，则bn＝＝a1＋d，又正项数列{cn}为等比数列，设公比为q，20\n则dn＝＝＝c1，故选D.(2)设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P0(x0，y0)，则过点P1，P2的切线的方程分别为－＝1，－＝1.因为P0(x0，y0)在这两条切线上，所以－＝1，－＝1，这说明P1(x1，y1)，P2(x2，y2)都在直线－＝1上，故切点弦P1P2所在直线的方程为－＝1.例3 (1)解 已知＝化为＝，而1－a＝，所以数列{1－a}是首项为，公比为的等比数列，则1－a＝×n－1，则a＝1－×n－1，由anan＋1<0，知数列{an}的项正负相间出现，因此an＝(－1)n＋1，bn＝a－a＝－×n＋×n－1＝×n－1.(2)证明 假设存在某三项成等差数列，不妨设为bm、bn、bp，其中m、n、p是互不相等的正整数，可设m<n<p，而bn＝×n－1随n的增大而减小，那么只能有2bn＝bm＋bp，可得2××n－1＝×m－1＋×p－1，则2×n－m＝1＋p－m.当n－m≥2时，2×n－m≤2×2＝，上式不可能成立，则只能有n－m＝1，此时等式为＝1＋p－m，即＝p－m，那么p－m＝log，左边为正整数，右边为无理数，不可能相等．所以假设不成立，那么数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列．20\n跟踪演练3 证明 (1)要证＋＝，即证＋＝3，也就是＋＝1，只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，需证c2＋a2＝ac＋b2，又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．于是原等式成立．(2)假设x0是f(x)＝0的负根，则x0<0，且x0≠－1，a＝－，所以0<a<1⇒0<－<1，解得<x0<2，这与x0<0矛盾，故方程f(x)＝0没有负根．例4 解 (1)当n＝1时，f(1)＝1，g(1)＝1，所以f(1)＝g(1)；当n＝2时，f(2)＝，g(2)＝，所以f(2)<g(2)；当n＝3时，f(3)＝，g(3)＝，所以f(3)<g(3)．(2)由(1)，猜想f(n)≤g(n)，下面用数学归纳法给出证明．①当n＝1,2,3时，不等式显然成立，②假设当n＝k(k≥3)时不等式成立，即1＋＋＋＋…＋<－.20\n那么，当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋<－＋.因为－[－]＝－＝<0，所以f(k＋1)<－＝g(k＋1)．由①②可知，对一切n∈N*，都有f(n)≤g(n)成立．跟踪演练4 (1)解 ∵a1＝1，∴a2＝f(a1)＝f(1)＝；a3＝f(a2)＝；a4＝f(a3)＝.猜想an＝(n∈N*)．(2)证明 ①易知，n＝1时，猜想正确．②假设n＝k时猜想正确，即ak＝，则ak＋1＝f(ak)＝＝＝＝.这说明，n＝k＋1时猜想正确．由①②知，对于任何n∈N*，都有an＝.高考押题精练1．108解析 由三角形数表的排列规律知，aij＝2011，则i必为奇数．设i＝2m＋1.在第i行上面，必有m行为奇数行，m行为偶数行．在前2m行中，共有奇数m2个．最大的奇数为1＋(m2－1)×2＝2m2－1，由2m2－1<2011得m的最大值31.∴i＝63.最大的奇数为1921，在第63行中，首项为1923，即1923＋(j－1)×2＝2011，∴j＝45，故i＋j＝108.20\n2．x＋≥n＋1解析 已知所给不等式的左边第一个式子都是x，不同之处在于第二个式子，当n＝1时，为；当n＝2时，为；当n＝3时，为……显然式子中的分子与分母是对应的，分母为xn，分子是nn，所以不等式左边的式子为x＋，显然不等式右边的式子为n＋1，所以第n个不等式为x＋≥n＋1.3．证明 假设{Sn}是等比数列，则S＝S1S3，即a(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)．因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，即q＝0，这与q≠0矛盾，故{Sn}不是等比数列．20\n二轮专题强化练答案精析第4讲 推理与证明1．C [观察可得各式的值构成数列1,3,4,7,11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．继续写出此数列为1,3,4,7,11,18,29,47,76,123，…，第十项为123，即a10＋b10＝123.]2．B [由|x|＋|y|＝1的不同整数解的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解的个数为12，归纳推理得|x|＋|y|＝n的不同整数解的个数为4n，故选B.(本题用列举法也不难找出|x|＋|y|＝20的80个不同整数解)]3．C [因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．]4．B [从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn，是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理．]5．A [由已知得f(0)＝0，a1＋a5＝2a3>0，所以a1>－a5.由于f(x)单调递增且为奇函数，所以f(a1)＋f(a5)>f(－a5)＋f(a5)＝0，又f(a3)>0，所以f(a1)＋f(a3)＋f(a5)>0.故选A.]6.解析 由题意，得x⊗y＋(2y)⊗x＝＋＝≥＝，当且仅当x＝y时取等号．7．f(n)＝解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……，n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝个区域．8.解析 由题意知，凸函数满足≤f()，又y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，则sinA＋sinB＋sinC≤3sin＝3sin＝.20\n9．解 方法一 (1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－sin30°＝1－＝.(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.方法二 (1)同方法一．(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝＋－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝－cos2α＋＋(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－sinαcosα－sin2α＝－cos2α＋＋cos2α＋sin2α－sin2α－(1－cos2α)＝1－cos2α－＋cos2α＝.10．证明 (1)(分析法)要证＋≥成立，只需证(＋)(a2＋b2)≥9，即证1＋4＋＋≥9，即证＋≥4.根据基本不等式，有＋≥2＝4成立，20\n所以原不等式成立．(2)(综合法)因为a2＋b2＝m－2，＋＝2m－1，由(1)，知(m－2)(2m－1)≥9，即2m2－5m－7≥0，解得m≤－1或m≥.又因为a2＋b2＝m－2>0.所以m>2，故m≤－1舍去，所以m≥.11．B [依题意，就每组整数对的和相同的分为一组，不难得知每组整数对的和为n＋1，且每组共有n个整数时，这样的前n组一共有个整数，注意到<60<，因此第60个整数对处于第11组(每对整数对的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每对整数对的和为12的组中的各数对依次为(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个整数对是(5,7)．]12．8解析 由已知可观察出m3可分裂为m个连续奇数，最小的一个为(m－1)m＋1.当m＝8时，最小的数为57，第二个便是59.∴m＝8.13．S＋S＋S＝S解析 将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S＋S＋S＝S.14．(1)解 f(4)＝37，f(5)＝61.由于f(2)－f(1)＝7－1＝6，f(3)－f(2)＝19－7＝2×6，f(4)－f(3)＝37－19＝3×6，f(5)－f(4)＝61－37＝4×6，……因此，当n≥2时，有f(n)－f(n－1)＝6(n－1)，所以f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1)＝6[(n－1)＋(n＋2)＋…＋2＋1]＋1＝3n2－3n＋1.又f(1)＝1＝3×12－3×1＋1，所以f(n)＝3n2－3n＋1.(2)证明 当k≥2时，20\n＝<＝(－)．所以＋＋＋…＋<1＋[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝1＋(1－)<1＋＝.20
